一道例題引發的思考

王玉珍

有位同學在學習蘇科版《數學》九年級上冊第四章“等可能條件下的概率”的一道例題后，與老師交流了自己的思考，具體內容如下：

一、例題再現

一個不透明的袋子中裝有1個白球和2個紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從袋中任意摸出1個球，記錄顏色后放回、搖勻，再從中任意摸出1個球.求兩次摸到紅球的概率.

【解析】從題目中的“不透明”發現這是一個隨機事件，把兩個紅球編號，再“搖勻”，說明摸到每一個球的機會均等，所以這是一個等可能事件.借助樹狀圖或表格列出所有可能的結果，再代入等可能條件下的概率公式即可求出.

把兩個紅球編號為紅球1、紅球2，用表格列出所有可能的結果：

第二次摸球結果白紅1紅2第一次摸球白紅1紅2（白，白）（紅1，白）（紅2，白）（白，紅1）（紅1，紅1）（紅2，紅1）（白，紅2）（紅1，紅2）（紅2，紅2）

由表格可知，共有9種可能出現的結果，并且它們是等可能的.將“兩次都摸到紅球”記為事件B，它的發生有4種可能，所以事件B發生的概率為：P（B）=.即兩次都摸到紅球的概率是.

【點評】本題屬于摸兩次球的情況，可以用樹狀圖或表格列出所有可能的結果.

二、拓展

思考1：如果把例題中的“放回”改為“不放回”，應該怎么做呢？

【解析】本題是一個求等可能條件下的概率問題，“不放回”就是摸到一個球以后，下次再摸就不會摸到同一個球.

把兩個紅球編號為紅球1、紅球2，用表格列出所有可能結果：

第二次摸球結果白紅1紅2第一次摸球白（白，紅1）紅1紅2（紅1，白）（紅2，白）（白，紅2）（紅1，紅2）（紅2，紅1）

由表格可知，共有6種可能的結果，并且它們是等可能的.將“兩次都摸到紅球”記為事件B，它的發生有2種可能，所以事件B發生的概率P（B）==.即兩次都摸到紅球的概率是.

【點評】“不放回”表格內的數據要少一些，不出現的情況用斜線劃掉，所以遇到概率問題時我們要看清題目中的關鍵詞.

思考2：如果把例題中兩個紅球拿掉1個，又按照之前的方法再摸一次，求3次都摸到紅球的概率.應該怎么做呢？

【解析】本題是一個求等可能條件下的概率問題.表格只適用于兩次摸球的情況，3次就不夠用了，所以本題只能用樹狀圖列出所有可能的結果.

用樹狀圖列出所有可能的結果：

由上圖可知，共有8種可能的結果，并且它們是等可能的.將“3次都摸到紅球”記為事件B，它的發生有1種可能，所以事件B發生的概率：P（B）=.即3次都摸到紅球的概率是.

【點評】課本例題出現過橫著畫的樹狀圖，如果摸3次的話，縱向占用的空間比較大.

思考3：如果把例題中“放回”改為“不放回”，又按照之前的方法再摸一次，求“前兩次摸到紅球，最后一次摸到白球”的概率.這又應該怎么做呢？

【解析】解題思路與思考2類似.再抓住題目中的關鍵詞“不放回”即可.

把2個紅球編號為紅球1、紅球2，用樹狀圖列出所有可能的結果：

由上圖可知，共有6種可能的結果，并且它們是等可能的.將“前兩次都摸到紅球，最后一次摸到白球”記為事件B，它的發生有2種可能，所以事件B發生的概率：P（B）==.即前兩次都摸到紅球，最后一次摸到白球的概率是.

【點評】沿用思考2中的畫圖方法，同學們可將此處的樹狀圖橫向繪制，感受一下解題方法的多樣性.

三、小結

遇到問題，我們應該仔細、認真讀題，抓住題目中的關鍵詞，搞清題目的意思，再“對癥下藥”.比如兩次摸球，既可以用表格，也可以用樹狀圖列出所有可能的結果，用哪一種更好呢？筆者認為，球的總數在4個以內，同學們可根據自己的喜好隨便選，但總數等于或超過4個的話，用表格可能更好一些.另外，列表格時題目中出現“不放回”，需把不出現的情況用斜線劃掉.再比如3次摸球，表格就滿足不了，只能用樹狀圖列出所有可能的結果了，橫著畫還是豎著畫，就根據個人喜好了.