洛必達法則教學的幾點思考

摘 要 兩個無窮小（大）之比的極限可能存在，也可能不存在。如果極限存在，其極限值也不盡相同。因此，通常把這種極限叫做未定式。而洛必達法則，就是以導數為工具，研究未定式的極限的一種方法。

關鍵詞 型未定式 洛必達法則

中圖分類號：O171 文獻標識碼：A

在高等數學中，極限的計算是非常重要的，求解方法多樣。其中洛必達法則是求未定式極限的一種重要方法。一般未定式基本類型有型。在使用洛必達法則時，一定要注意使用的前提條件。本文結合學生在使用洛必達法則時較多出現的錯誤，做出分析，并給出正確的解法。這對我們學習洛必達法則是非常有幫助的。

預備知識：

定理1.（型洛必達法則）

設（1）時，函數及都趨于零；（2）在點a的某去心鄰域內，及都存在且；（3）存在（或為無窮大）則。

注意：（1）此兩個定理中將全部換成（或）也成立；

（2）此兩個定理中將全部換成（或；或）也成立；

（3）型洛必達法則類似。

在使用洛必達法則，應該注意以下幾點：

（1）使用洛必達法則時必須檢驗是否是未定式。若不是未定式，就不能使用洛必達法則。

（2）當不存在（無窮人除外）時，不能使用洛必達法則。

（3）檢查函數式中是否存在非零極限的乘積因子，如果有先將其分離出來。

（4）只要符合定理1中的所有條件，洛必達法則可多次使用。

（5）其它形如型也可通過代數運算或對數運算把其化成未定式，再用洛必達法則來計算。

下面從4個例題出發，先給出學生的常見錯誤解法，并對其錯誤進行分析，最后給出了正確的解法。

例1：求極限：

錯解：

分析：所求極限屬于型未定式，可以使用洛必達法則。此題解法中第一個等號是錯誤的，學生把洛必達法則公式與商的求導法則混淆了。，而是。

正解：

例2：求極限：

錯解：

分析：所求極限屬于型未定式，但大家注意此題求的是數列極限，不是函數極限。對于數列極限，不能直接使用洛必達法則。因為n為自然數，數列的定義域是離散點集，數列不存在導數。因此，此題的解法錯誤。我們可以將數列極限轉化為函數極限，再使用洛必達法則。我們知道，如果函數的極限存在，那么數列的極限也存在且等于函數的極限。

正解：

例3：求極限：

錯解：

分析：所求極限屬于型未定式，可以使用洛必達法則。但此題解法中第一個等號不成立。因為不存在（除無窮大以外），不滿足洛必達法則的第（3）個條件，所以不能使用洛必達法則。此題正確解法是：可利用等價無窮小替換，以及無窮小的性質（無窮小與有界函數的乘積是無窮小）來計算。

正解：

例4：求極限：

錯解： 不存在

分析：所求極限并不是未定式，其中分子極限不存在，分母極限是無窮大。不是未定式時，不能使用洛必達法則。因此此題解法中第一個等號不成立。此題正確解法是：可利用無窮小的性質（無窮小與有界函數的乘積是無窮小）來計算。

正解：

時，是無窮小；而是有界函數。

利用無窮小的性質，無窮小與有界函數的乘積是無窮小。

通過以上4個易錯例題的分析，學生在使用洛必達法則過程中需要對其使用的條件，結論全面的了解和掌握。通過多做相關習題，進一步加深理解。

作者簡介：高燕，（1973- ）.女，碩士研究生，講師，研究方向：基礎數學。

參考文獻

[1] 同濟大學數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2007：132-137.