六自由度機器人控制器參數的可區分性分析

魏雅慧 楊 超

(1. 三峽大學 大學生素質教育中心， 湖北 宜昌 443002； 2. 三峽大學 電氣與新能源學院， 湖北 宜昌 443002)

六自由度機器人，即有6個關節節點，各關節由多軸運動控制器進行獨立地伺服控制[1]．閉環系統中的轉矩控制、速度控制及位置控制均由伺服控制器完成．為使閉環系統獲得較高的動態響應，需要優化系統的驅動特性，即優化控制器的參數，使機電系統達到最佳匹配，從而獲得最佳的穩態和動態性能[2]．

由于六自由度機器人控制器的參數眾多，優化目標和控制器參數之間的函數關系有時無法直接得到，難以用解析方法進行區分．因此，本文提出一種基于軌跡靈敏度的控制器參數可區分性方法，通過探討參數是否可被區分，判定參數優化過程中是否存在唯一的最優解．這種分析方法在電力系統動態分析中的應用比較成熟和廣泛．在電力系統穩定分析研究方面，主要包括了能量函數法對穩定裕度靈敏度進行計算[3]，網絡結構保持下的能量裕度靈敏度計算方法[4]，對單機能量函數下的軌跡靈敏度函數關系的推導，發現快速計算靈敏度和暫態穩定極限的方法[5]．然而在控制系統中，基于軌跡靈敏度的分析方法應用較少，如介紹混合靈敏度控制在電液位置控制系統中的應用[6]，混合靈敏度控制方法在直驅式液壓系統中的應用[7]，電動助力轉向控制系統基于H∞的混合靈敏度算法[8]．

在實際應用中，包括結構參數及工作參數在內的很多參數都能影響機器人系統的動態特性．靈敏度分析作為一種定量的分析方法，能有效地研究控制器參數對系統動態性能的影響[9-10]．本文通過分析靈敏度曲線的相位，確定不可區分的控制器參數，并以六自由度機器人單個模塊控制器為例進行分析，分析結果驗證了本文方法的有效性．

1 軌跡靈敏度的計算

軌跡靈敏度定義為當控制器參數發生一定變化時，相應的閉環系統動態軌跡的變化程度，反映了系統軌跡與控制器參數之間的關系．簡單地說，軌跡靈敏度是軌跡關于參數的導數，一般應用于非線性系統，且隨參數的變化而不同，具有時變性．狀態變量或輸出變量的軌跡變化對控制器參數的變化率，定義為軌跡靈敏度[11]

yi(K1，…，Kj，…，Km，t)]/ΔKj(1)

式中，yi為系統變量i的軌跡，Kj為系統參數，m為參數總數，t為時間采樣點．

為減小由式(1)帶來的誤差，提高計算精度，故采用中值法計算導數，即分兩次計算軌跡：

yi(K1，…，Kj+ΔKj，…，Km，t)

yi(K1，…，Kj-ΔKj，…，Km，t)

然后計算軌跡靈敏度的相對值：

yi(K1，…，Kj，…，Km，t)]/yi0}/(2ΔKj/Kj0) (2)

式中，Kj0為參數Kj的初始值，yi0為參數Kj0的穩態值．

為了對各參數的靈敏度大小進行比較，對于軌跡靈敏度曲線上的各點，取其絕對值的平均值：

(3)

式中N為軌跡靈敏度曲線的總點數．

由此可得：若系統軌跡yi對參數Kj的靈敏度較大，則說明Kj對yi的影響較大，根據yi可以較容易地區分出Kj；反之，若所有的系統軌跡yi對參數Kj的靈敏度都非常小，則說明Kj對所有系統軌跡的影響微小甚至幾乎沒有影響，Kj不容易被區分．

2 從軌跡靈敏度的角度分析可區分性

在控制器參數的優化整定過程中，該參數是否可被區分的判定標準為該參數能否被唯一確定．設模型中的兩個參數分別為Kj、Kj+1，分析系統軌跡可以發現，若Kj、Kj+1不可區分，則說明它們以一種隱函數的關系作用于軌跡[12]，即

y=f[K1，…，φ(Kj+Kj+1)，…，Kn，t] (4)

假設φ(Kj+Kj+1)對兩個參數均可導，根據微積分鏈式規則可得

(5)

則有

(6)

式中，?y/?Kj，?y/?Kj+1是時變的，而?φ/?Kj，?φ/?Kj+1是非時變的．因此，在時間軸上軌跡靈敏度?y/?Kj，?y/?Kj+1互相成比例即在零點處相交，若軌跡靈敏度是振蕩曲線，則表現為曲線同相位或反相位．

由上述分析可知，若一些參數的軌跡靈敏度曲線在零點處相交，則這些參數不能被唯一確定，即這幾個參數不能被區分．若所有參數的軌跡靈敏度曲線都不在零點處相交，那么所有參數基本上能被唯一確定．

3 單個機器人模塊的控制器模型

六自由度機器人的單個運動控制模塊相當于一個交流伺服系統，由位置回路、速度回路及電流回路3個反饋回路組成．性能要求如下：1)瞬態響應具有穩定、平滑的特征；2)為獲得高精度的位置控制性能，系統需有較小的穩態跟蹤誤差和動態位置跟蹤誤差[13]．該系統的控制模型如圖1所示．

圖1 交流伺服系統控制模型

本文采用的交流伺服系統為Ι型系統，對階躍輸入能無靜差地復現，但對于其他非階躍輸入，則要經歷振蕩，為改善系統性能需要進行參數調節和附加控制環節．因此，將系統的伺服放大器、伺服電機及速度測量部分，整體作為伺服控制的調節對象對速度環進行簡化，簡化后的系統加入比例微分控制，最終得到的系統框圖如圖2所示．

圖2 加比例微分控制的交流伺服系統框圖

機器人模塊等效為一個二階系統，R(s)為輸入位置信號，P(s)為輸出位置信號，Kd、Kf分別為PID控制器微分、反饋比例系數．輸出位置信號：

式中，ωn為伺服阻尼自然頻率，ζ為伺服阻尼比．

4 單個模塊控制器參數的可區分性分析

4.1 算例系統

如圖3所示，本文的研究對象為六自由度機器人位置控制系統，其型號為REBot-V-6R，定位精度±0.01 mm，作業半徑725 mm，S軸(回旋)動作范圍為±170°．該控制系統參數/輸入初值見表1．

圖3 六自由度機器人

參數/輸入ωnζKdKf初值0.2530.7202

以位置輸出P為軌跡變量，對應于式(1)中的y．由圖2可知，位置系統PID控制器包含2個參數Kd、Kf，對應于式(1)中的K．將這2個控制器參數在其缺省值的基礎上，上下變動10%，計算其軌跡靈敏度．表2為2個控制器參數對位置輸出P的軌跡靈敏度平均值．由表2可以看出，對于軌跡變量位置輸出P，Kf對其影響較大，Kd的影響較?。?/p>

表2 機器人控制器參數軌跡靈敏度

4.2 軌跡靈敏度與可區分性

以位置輸出P為軌跡變量，PID控制器參數Kd、Kf的軌跡靈敏度曲線如圖4所示．從圖中可以看出，以軌跡變量P為參考變量，參數Kd、Kf的靈敏度曲線在零點處相交，表現出同相位的特征，說明參數Kd、Kf不能被唯一確定，即它們是不可區分的參數．

圖4 PID控制器參數的軌跡靈敏度曲線

為了對上述結論完成進一步驗證，分別對Kd、Kf取不同的參數值，再對軌跡變量P進行Matlab仿真．本文對Kd、Kf的取值組合有3個，如下所示：

①Kd=20，Kf=2；

②Kd=7，Kf=9；

③Kd=6，Kf=8．

其中參數組合①為初值，而參數組合②，③為在使系統穩定的參數區間內任意選取的值．

仿真得到的軌跡動態曲線如圖5所示．可見參數組合②，③對應的動態軌跡相差不大，而與參數組合①對應的動態軌跡有較大區別，說明Kd、Kf為不可區分的參數，驗證了本文方法的有效性．

圖5 PID控制器參數軌跡變量仿真曲線

5 結 論

本文針對六自由度機器人系統，提出了控制器參數的可區分性問題，即參數的最優解能否被唯一確定．提出了通過分析參數的軌跡靈敏度實現對控制器參數的可區分性的分析，為機器人控制系統參數的可區分性分析提供了新的途徑．研究結果表明，若一些參數的軌跡靈敏度曲線相交于零點，則說明它們之間存在相關性，為不可區分參數；若這些參數的軌跡靈敏度都沒有在零點處相交，也不存在線性相關的關系，則它們之間不存在相關性，為可以區分的參數．通過對具體算例進行分析，確定了參數Kd、Kf為該六自由度機器人單個模塊控制系統中，不能被區分的控制器參數，它們之間存在某種關系，在系統的優化整定過程中無法被唯一確定．因此，為降低控制器優化的維數、提高優化效率，參數Kd、Kf可以取默認值，或者取經過一次優化整定后的值，不必再對其進行繼續優化．