均布荷載下的拋物線形拱矢跨比的優化理論解

王康平 張 齊

(1.廣東技術師范學院 天河學院， 廣州 510540； 2.三峽大學 土木與建筑學院， 湖北 宜昌 443002)

拱結構被廣泛應用于渡槽、涵洞、地下建筑、屋蓋、橋梁等建筑物中．在拱軸形狀的設計中，人們提出了“合理拱軸線”的概念，并導出了在均布荷載作用下的合理拱軸線方程[1-3]，如圖1所示．

y=4f(Lx-x2)/L2(1)

圖1 均布荷載作用下的三鉸拱示意圖

這種合理拱軸線使拱圈的橫截面上只受軸心壓力的作用，從拱的受力性能來看，應該說是實現了拱軸形狀的優化設計．但是拱軸力大小沿拱軸線分布為[3]

N=H/cosφ(2)

式中，H為拱的水平推力；φ為截面法線與水平坐標軸的夾角．

由式(2)與(3)可見，軸力與cosφ成反比，兩腳處cosφ小，故軸力大；拱頂處cosφ大，故軸力小．若為了施工方便可仍采用等截面拱；若為了使拱截面應力大小沿拱軸線也均勻分布，常采用變截面高(截面寬b取為常量)[3]

h=h頂/cosφ(4)

但從經濟性的角度來看，問題還需進一步研究．眾所周知，確定拱形的一個重要參數是矢高，當荷載及跨長一定時，矢高的改變對拱的受力性能及工程造價都有很大影響．拱的矢跨比究竟取何值，才能使設計出的拱用料最省，造價最低?對這個問題，至今理論上沒有確切的答案．文獻[4]對這個問題進行了研究，在合理拱軸線與等截面的基礎上，首先分析、建立了優化設計的數學模形，然后采用數值方法進行求解，導出了均布荷載作用下的最優矢跨比為1/3左右，并認為可取0.3～0.4．本文在拱軸線形與截面優化的基礎上，用理論的方法得出均布荷載下的拋物線形變截面拱矢跨比的優化理論解;在拱軸線形優化的基礎上，用理論的方法得出均布荷載下的拋物線形等截面拱矢跨比的優化理論解．

1 均布荷載下的拋物線形變截面拱矢跨比的優化理論解

由圖1、式(2)與式(3)可見，矢高小的拱軸力大，要求截面大，但這時拱軸線較短；反之，矢高大的拱軸力小，要求截面小，但這時拱軸線較長．因此，必有一個最優的矢高使供體體積最小而使材料最省．下面就來求解這個最優的矢高．設拱體，弧長為S，體積為V，則

(5)

因為tanφ=y，所以

(6)

將公式(4)、(6)與(7)代入(5)得

由公式(1)求出y′代入公式(8)解得

設拱體容許壓應力為[σ]，則bh頂=H/[σ]，將公式(3)代入本公式后再代入公式(9)得

(10)

(11)

2 均布荷載下的拋物線形等截面拱矢跨比的優化理論解

若為了施工方便可采用等截面拱，其截面積

A=H/([σ]cosφ腳) (12)

拱腳處y′=4f/L，代入式(6)得

同理，仍有一個最優的矢高使供體體積最小而使材料最省．下面就來求解這個最優的矢高．拱體體積為

V=AS(14)

由公式(1)求出y′代入公式(7)再代入公式(15)得

將公式(3)、(13)代入(12)再連同(16)代入(14)并整理得

由dV/df=0解得最優矢跨比f/L=0.341 8，這時d2V/d2f>0，故有

(18)

綜上所述，均布荷載下的拋物線形等截面拱矢跨比的優化理論解是0.341 8，其優化結果也是拱體體積最小．但從公式(11)與公式(18)可以看出，均布荷載下的拋物線形等截面拱最小體積比變截面的大35%．

3 均布荷載下的拋物線形拱矢跨比優化理論的應用范圍

由圖1可見，上述理論都是針對均布荷載下的拋物線形三鉸拱的．那么，上述理論是否也適用于均布荷載下的拋物線形兩鉸拱或無鉸拱呢？下面應用結構力學力法原理來回答這一問題．

同理，把二次拋物線形無鉸拱拱頂與兩腳截面均變成鉸也得二次拋物線形三鉸拱作為力法求解的靜定基，運用結構力學力法原理(只考慮彎曲變形的影響)也可求得拱頂與兩腳處的多余約束力偶對均為零，即拱頂與兩腳處均可改為鉸，即無鉸拱也變成了三鉸拱．順便指出，由于均布荷載下的懸索也呈拋物線形，且懸索只受軸心拉力，故均布荷載下的懸索與均布荷載作用下的拋物線形拱的不同只是拉壓之別，故上述均布荷載作用下的拋物線形拱矢跨比的優化理論可精確運用于均布荷載下的懸索．綜上所述，上述均布荷載作用下的拋物線形拱矢跨比的優化理論可精確運用于三鉸拱與均布荷載下的懸索，也可近似運用于無鉸拱與兩鉸拱．

4 結 論

2)均布荷載下的拋物線形等截面拱矢跨比的優化理論解是0.341 8，其優化結果也是拱體體積最小(見公式(18))．但從公式(11)與(18)可以看出，均布荷載下的拋物線形等截面拱最小體積比變截面的多35%．

3)均布荷載作用下的拋物線形拱矢跨比的優化理論可精確運用于三鉸拱與均布荷載下的懸索，也可近似運用于無鉸拱與兩鉸拱．