談?wù)剶?shù)學(xué)解題的得與失

趙新澳

作為一名高三黨，解數(shù)學(xué)題是家常便飯，但我以為不能只是簡單刷題，有時候解完題后再多問幾個為什么，或許會“別有滋味”，在我們沉浸于“原來如此”的喜悅的同時，可以在解題的思路更新和能力創(chuàng)新方面得到真實的歷練.最近在學(xué)習(xí)向量的時候，我就遇到了一道題，在老師的鼓勵和幫助下，嘗試對問題進行變式推廣，頗有些得意，特記錄下來與同學(xué)們一起分享.

一、就題論題，問題解決

原題 在等腰直角△ABC中，∠BAC =90°，AB =AC =2，M，N分別為BC邊上的兩個動點，且滿足MN=√2，則AM.AN的取值范圍為____.

一般情況下，向量問題有三種處理思路，即直接法、坐標(biāo)法和基向量轉(zhuǎn)換法.考慮到這道題沒有給出向量長度和夾角，從而用定義直接處理的思路就首先否定了；然后又因為題目中有垂直，因為我在處理時選擇的是坐標(biāo)法，以A為原點、AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，其解題過程如下：

因BC的直線方程為y=2 z，故而設(shè)M（m，2-m）.N（n.2-n）（0≤m

MN=√2 （n-m）2+[（2-n）-（2-m）]2=2 n-m=1.

有AM.AN=（m.2-m）.（n，2-n）=mn+（2-m）（2-n）=2m2-2m +2，m∈[0，1].

由二次函數(shù)性質(zhì)，當(dāng)m=1/2時，AM.AN有最小值3/2；當(dāng)m-0或1時，有最大值2.

所以取值范圍就為[3/2，2].

當(dāng)然類似地，以AB，AC為基向量，然后將AM，AN轉(zhuǎn)化為基向量的線性表達式，因為基向量已知，這樣就可以把AM.AN表示出來，于是同樣也可求出相應(yīng)數(shù)量積的范圍，

本來題目做到這兒就可以結(jié)束了，但我發(fā)現(xiàn)m=1/2時，MN恰好處于線段BC的中間位置（MN的中點即為BC的中點）；而m=0或1時，MN偏向線段BC的一側(cè)（有一個端點與線段BC的端點重合）；加之本題的背景是等腰直角三角形，從圖形的對稱性上也能解釋特殊法的合理性，于是我就想，這樣的結(jié)論是否可以推廣到一般的等腰三角形中呢？

順著這個思路我對題目做了個推廣，∠BAC=θ（θ為常數(shù)），AB=AC=a，MN設(shè)為定長6（

二、眾里尋它，方得始終

第二天帶著問題求教老師，老師帶我用GeoGebra軟件做了推廣驗證（如圖1），改變M點的位置，得到數(shù)量積的計算值；而以M點的橫坐標(biāo)、數(shù)量積的計算值分別為橫縱坐標(biāo)構(gòu)造E點后，然后以M點為主動點、E點為從動點構(gòu)造軌跡（如圖2）；軌跡圖象有力地支持了我的猜想，而這樣的圖象特性（在中點處取得最小值、在端點處取得最大值）恰與θ角的大小無關(guān)，真是“有圖有真相”，這一驗證讓我頓時信心百倍.

而回首我昨晚的證明過程，經(jīng)過討論我們發(fā)現(xiàn)，之所以沒證出來關(guān)鍵是題設(shè)字母設(shè)的不合理，MN這一定值不應(yīng)設(shè)為絕對值，而應(yīng)設(shè)為相對值（可設(shè)為MN =tBC，t∈[0，l]），這樣計算起來應(yīng)該方便些.再者，考慮到書上有關(guān)于三點共線的一個結(jié)論：P點在直線AB上，則有OP=mOA+nOB且m+n=1.于是在老師的鼓勵下，我修正了原來的解法，整理推廣過程如下：

因為MN在BC上，所以有MN =t BC，t∈[0，1].

設(shè)BM =λBC，BN=μBC，0≤λ<μ≤1，

于是MN =BN-BM=（μ-λ）BC =tBC μ-λ=t，

BM =λBC， BN=μBC AM=（1-λ） AB+λAC， AN=（I-μ）AB+μAC，

所以AM.AN =（1-λ）AB +λAC].[（1-μ）AB+μAC]

=（1-λ）（1-μ）AB2+[（1-λ）μ+λ（1-μ）]AB.AC +λμAC2

=[1-（λ+μ）+2μλ]a2+[（λ+μ）-2λμ]a2cosθ

=a2+[2λμ-（λ+μ）]a2（1-cOsθ）.

說實在題目解到這兒已是不易，接下來往哪兒走卻很關(guān)鍵.冷靜再冷靜回頭看，我發(fā)現(xiàn)題中有M，N兩個動點，它們分別對應(yīng)著變量λ和μ，這樣四個字母中就λ和μ是變量了；于是只需要重點考慮2μ-（λ+u）即可，結(jié)合兩限制條件0≤λ<μ≤1，μ-λ=t，可以想到消元，于是想到干脆提取出λ為未知元建立函數(shù)進行研究：設(shè)f（λ） =2λμ-（λ+μ），由μ-λ=t，消元得f（A） =2λ22（1-t）λ -t，λ∈[0，1-t].

二次函數(shù)f（λ）圖象的對稱軸為λ=（1-t）/2，這樣結(jié)合函數(shù)性質(zhì)，可得出結(jié)論：當(dāng)A=（1-t）/2時，f（λ）取得最小值（此時μ=（1+t）/2，MN恰好在BC的中間位置）；λ=0或1-t時，f（λ）取得最大值（此時M，B重合或N，C重合）；于是猜想得證.這樣，我們就可從原題得到一推廣命題：

在等腰三角形ABC中，∠BAC=θ（θ為常數(shù)），AB =AC =a，M，N分別為BC邊上的兩個動點，且滿足MN =t BC，t∈[0，1].當(dāng)MN位于BC中間位置時，AM -AN取得最小值a2 丟（t2 +l）a2（1-cosθ）；當(dāng)MN偏向線段BC一側(cè)（有一端點與線段BC端點重合）時，AM.AN取得最大值a2-ta2（1-cOsθ）.

這次探究經(jīng)歷，于我而言，“得”遠遠大于“失”，“失”的是寶貴的時間（過程很費周章），“得”的卻是對數(shù)學(xué)解題滿滿的體驗：

1.對數(shù)學(xué)解題的全新思考.通過題目特殊位置特殊值的分析，猜想一般化的結(jié)論，繼而證明猜想，從而發(fā)現(xiàn)一有關(guān)數(shù)量積范圍的推廣命題，我覺得這才是日常做數(shù)學(xué)的感覺.

2.數(shù)學(xué)解題需要有一定的想象和思維發(fā)散，在推廣過程中我的發(fā)散思維得到了鍛煉，我對問題的本質(zhì)認識更加清晰，事實上原題中MN=√2即相當(dāng)于推廣題中t=1/2，這樣只要將推廣題的證明稍作改動就得到原題的基向量的證法（事實上據(jù)我調(diào)查，原題的基向量的證法，我們班還沒幾個同學(xué)可以得出，原因還在于他們不會處理√2這個條件）.

3.數(shù)學(xué)解題需要明辨方向、梳理思路，原來我之所以會陷入困境，主要還是忽視了書上的三點共線性質(zhì)，看來回歸課本在高三復(fù)習(xí)中不僅重要還很必要；而有了這次經(jīng)歷，下次再遇到含多個字母的試題，我會更有底氣與毅力.