談談“開門大吉”“雙色球”中的概率問題

甘志國

一、“開門大吉”中的概率問題

中央電視臺第3套節目“開門大吉”，相信很多人都看過，這里面有什么奧秘嗎？筆者據此編擬了一道概率問題，一起來看看.

“開門大吉”的規則是：選手面對1～8號8扇大門，依次按響門上的門鈴，門鈴會播放一段音樂（將一首經典流行歌曲以單音色旋律的方式演繹），選手需正確回答出這首歌的名字，方可獲得該扇門對應的家庭夢想基金；回答每一扇門的問題后，選手可自由選擇：帶著獎金離開比賽，還是繼續挑戰后面的門以獲得更多獎金；但是一旦回答錯誤，獎金將清零，選手也會離開比賽；每一扇門的聽音時間為15 s（可自由支配，一次性聽完，或多次聽開始部分），15 s后選手必須回答，整個游戲過程中選手有一次求助親友團的機會.選手闖過各扇門后所得的家庭夢想基金及累計家庭夢想基金依次是：

已知一位選手能闖過各關（把回答問題正確叫闖關成功，也叫闖過該關）的概率與該關的家庭夢想基金成反比，且該選手能闖過第一關的概率是1.

（1）求該選手能闖過八關的概率；

（2）請從統計角度分析該選手應決定闖幾關后離開該比賽？

解 由題設可得該選手能闖過第1，2，3，…，8關的概率依次是

PI=P2=p3=1！ p1=0.5， p5=p6=p7=0.2， P8 =O.1.

（1）該選手能闖過八關的概率是

P1 P2P3P4P5P6P7P8=0.0004.

（2）設該選手闖過第i關后所得的累計家庭夢想基金分別為隨機變量Xi（i=1，2，3，…，8），可得E（X8）=30 000×0.000 4+0×0.999 6 =12（元）.

所以E（Xi）（i=1，2，3，…，8）的最大值是E（X3）=3 000元，因而該選手應決定闖三關后離開該比賽.

二、“雙色球”中的概率問題

1.“雙色球”的中獎規則“雙色球”每注2元，投注號碼由6個紅色球號碼和1個藍色球號碼組成.紅色球號碼從1～33中選擇；藍色球號碼從1～16中選擇.雙色球游戲，每期按彩票銷售額的50%、15%和35%，分別計提彩票獎金、彩票發行費和彩票公益金.

“雙色球”彩票單注獎金封頂的最高限額為1 000萬元.

“雙色球”彩票以投注者所選單注投注號碼（復式投注按所覆蓋的單注計）與當期開出中獎號碼相符的球色和個數確定中獎等級：

一等獎：7個號碼相符（6個紅色球號碼和1個藍色球號碼）（紅色球號碼順序不限，下同）；

二等獎：6個紅色球號碼相符；

三等獎：5個紅色球號碼和1個藍色球號碼相符；

四等獎：5個紅色球號碼，或4個紅色球號碼和1個藍色球號碼相符；

五等獎：4個紅色球號碼，或3個紅色球號碼和1個藍色球號碼相符；

六等獎：1個藍色球號碼相符（有無紅色球號碼相符均可）.

當期每注投注號碼只有一次中獎機會，不能兼中兼得.

2.任投一注“雙色球”，中獎的概率是297247/430 272≈0.0670945.

（1）任投一注“雙色球”，中一等獎的概率是p1=1/17721088'

（2）任投一注“雙色球”，中二等獎的概率是p2=15/17721088'

中二等獎，即所投注的6個紅色號碼與開獎的6個紅色號碼完全相同（所投注的藍色球號碼與開獎的藍色號碼不同）.因為從33個紅色號碼中任取6個有C633種情況，從16個藍色號碼中任取1個有C116種情況，而從15個藍色號碼（非中獎號碼）中任取1個有C115種情況，

根據中獎規則，中六等獎包括三種情況：所投注的號碼有2個紅色球號碼和1個藍色球號碼與開獎的相應號碼相同；或1個紅色球號碼和1個藍色球號碼與開獎的相應號碼相同；或0個紅色球號碼和1個藍色球號碼與開獎的相應號碼相同.對應的概率分別為

3.任投一注“雙色球”獲得獎金的期望

我們任投一注“雙色球”，不光關注其中獎的概率，還會關注其中獎的期望.

本文假設任買一注“雙色球”，獲得一等獎、二等獎、三等獎、四等獎、五等獎、六等獎的獎金分別是50 000元、5 000元、1 800元、300元、20元、5元.

由第2節的解答，可得獎金X的分布列及期望分別是

即任買一注“雙色球”獲得獎金的期望約是0.603 3941元.