淺談隨機事件獨立性的性質

馬麗瓊 左東

摘 要：隨機事件的獨立性無論是在實際應用還是理論研究中都有著十分重要的意義。除了“補運算不改變事件的獨立性”這一性質外，隨機事件的獨立性還具有更一般的性質。本文以四個事件相互獨立為例，最終給出在一定條件下，事件的和、差、積、對立等運算不改變事件的獨立性這個更一般的性質。

關鍵詞：隨機事件；獨立性；性質

隨機事件的獨立性無論是在實際應用還是理論研究中都有著十分重要的意義。在多數《概率論與數理統計》的本科教材中，關于隨機事件獨立性的性質，都只給出了 “補運算不改變事件的獨立性”這一條，即把一個獨立事件組中的某些事件換成其對立事件，新的事件組仍然獨立。而理論上，隨機事件的獨立性有更一般的性質。本文通過舉例的方式來給出這個更一般的性質。

定義：對于n個事件A1，A2，…，An，若對于所有可能的組合1≤i

都成立，則稱事件A1，A2，…，An相互獨立。

特別地，兩個事件A與B相互獨立的充分必要條件是 。

假設事件A1，A2，A3，A4相互獨立，現在把這四個事件分為兩組：A1，A2一組，A3，A4一組。從而可得：

由此得出事件A1與事件A3∪A4相互獨立。類似可得事件A2與事件A3∪A4相互獨立，進一步可得事件A1A2與事件A3∪A4相互獨立。同理可得事件A1A2與事件A3∪A4相互獨立，又由差事件A1-A2=A1A2可知事件A1-A2與事件A3∪A4相互獨立。

從而可得A1∪A2與A3∪A4相互獨立。

可見，把四個相互獨立的事件分成兩組，同一事件沒有同時屬于兩組。每組內的事件不管進行了和、差還是積的運算后，得到的兩個事件仍然是相互獨立的。

將以上結論推廣至一般情況，有如下結論：

若事件A1，A2，…，An相互獨立，則將其分為 組，同一事件不能同時屬于兩組，則對每組任意進行和、差、積、對立等運算后，所得的m個事件仍然相互獨立。

特殊情況：若事件A1，A2，…，An相互獨立，則將其中任意m個事件換成其對立事件后仍然相互獨立。

例：設A，B，C，D為相互獨立的四個事件，則下列四對事件有可能不獨立的是（ ）

（A） 與 （B） 與

（C） 與 （D） 與BD

分析：由A，B，C，D相互獨立，把A，B分為一組，D，D分為一組，從而利用上述結論，可知選項（A）與選項（B）中的兩對事件相互獨立，同理把A，C分為一組，B，D分為一組，可知選項（D中兩個事件相互獨立，從而可得答案應選擇（C）選項。

隨機事件的獨立性的一般性質告訴我們，在一定條件下，事件的和、差、積、對立等運算不改變事件的獨立性。有了這個性質，我們就可以利用它來直接判斷一個獨立事件組里的若干事件進行各種運算之后是否還滿足相互獨立，而不再需要利用定義來進行推斷了，這就為我們節約了大量的時間和精力。

參考文獻

[1]劉赪，程世娟，趙聯文，何平，概率論與數理統計[M]，科學出版社，2011年6月.

[2]曹顯兵，概率論與數理統計輔導講義[M]，西安交通大學出版社，2010年5月.

作者簡介

馬麗瓊（1979-），女，漢族，四川峨眉人，研究生學歷，就職于西南交通大學數學學院公共數學教學研究部峨眉教研室，講師，理學碩士，研究方向：應用概率統計。