工程車輛車橋位移譜統計分布建模及分步參數識別

劉巧斌，史文庫，陳志勇，商國旭

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工程車輛車橋位移譜統計分布建模及分步參數識別

劉巧斌，史文庫，陳志勇※，商國旭

（吉林大學汽車工程學院，汽車仿真與控制國家重點實驗室，長春 130022）

針對非公路用車的車橋實測位移譜統計分布建模中模型選擇、參數識別的初值選取主觀性大和計算效率低等難題，該文以實測的車橋位移信號為研究對象，分別進行時域分析、頻域功率譜分析，對信號進行分組，統計頻數，獲得統計直方圖和累計概率分布曲線。分別采用正態分布、雙峰正態分布、威布爾分布和雙峰威布爾分布模型對位移譜進行建模，提出分步參數識別方法。引入灰色關聯度目標函數，以人工魚群算法獲得的參數作為模型參數的初始值，采用迭代非線性最小二乘法levenberg-marquardt（LM）算法進行精確參數識別，使用相關系數和kolmogorov-smirnov（KS）檢驗對各模型的擬合優度進行比較。結果表明，混合威布爾分布與統計直方圖的相關系數為（0.9800,0.9908,0.9867,0.9665），混合正態分布為（0.9793,0.9904,0.9783,0.9661），威布爾模型為（0.8613,0.9113, 0.8618,0.8854），正態模型為（0.8611,0.9127,0.8624,0.8869），混合威布爾模型可以對車橋位移譜進行高精度擬合，而所提出的分步參數識別法可以高效、準確地進行模型的參數識別。研究結果可為車輛疲勞載荷譜的編制和臺架試驗提供參考。

模型; 參數識別；車橋位移譜；灰色關聯；非線性最小二乘法；混合威布爾模型

0 引 言

非公路用車的車橋位移譜統計分布研究是進一步進行載荷譜編制和疲勞可靠性臺架試驗的基礎。正態分布和威布爾分布是在可靠性工程中應用較為廣泛的2種概率統計分布模型[1-4]。一般單獨的正態分布或威布爾分布并不完全適用于所有的可靠性數據建模，而混合模型通過將實際分布分解為2個或2個以上的獨立分布，采用加權疊加的思想去逼近實際分布，具有很強的實際應用價值，受到了越來越多學者的重視?；旌戏植寄Ｐ偷囊霂砹酥T多挑戰，而模型參數識別難度的增加是其中最為主要的一項，尋找簡單、高效而精確的混合分布模型參數識別方法已經成為可靠性研究領域的一個焦點。

傳統的可靠性模型參數識別方法有圖解法、非線性最小二乘法、最大似然估計法和貝葉斯估計法等[5-12]。這些算法存在的主要弊端有：①計算效率有待提高，傳統算法大多依賴迭代求解，為提高參數辨識精度，一定程度上犧牲了計算效率，增加了參數辨識的時間成本。②參數識別優化目標的選取不當，現有研究，多數將參數識別的目標函數定義為模型與實測數據的平方和，這樣不可避免地忽略了樣本點和仿真點之間橫坐標的仿真誤差，而只考慮了縱坐標的仿真誤差。③參數識別的經驗依賴度高，參數識別的初始值對結果影響大。

智能算法在多維非線性、初始值不易確定的模型的參數識別問題上展現出了巨大的潛力，許多學者采用智能優化算法對模型參數識別問題進行了大量的研究[13-27]。智能算法應用于參數識別存在的問題是，不同的智能算法對解決同一問題的效率和適用性不盡相同，有必要針對具體問題選取一種最適合的智能算法或針對問題對算法進行改進，保證算法在具有較高精度的同時提高算法效率。

針對以上問題，本文以實測礦用車輛的車橋位移譜統計分布建模及參數識別為例，提出一種新型參數識別方法，引入灰色關聯度目標函數，應用了分步識別的思想，采用人工魚群算法進行參數的初步估計，在此基礎上，使用levenberg-marquardt(LM)算法進行參數的精確識別，分別建立正態分布、威布爾分布、混合正態分布和混合威布爾分布模型對實測數據擬合逼近，采用相關系數和kolmogorov-smirnov(KS)檢驗評價指標對各模型的擬合優度進行評價。

1 實測位移譜

為獲取某礦用車輛的實際位移譜，在車輛的實際使用道路上進行車橋位移譜的采集，圖1a所示是試驗所用車輛和試驗場地的具體情況。試驗在某采礦區進行。試驗車在山下裝載，載貨約40 t，然后運至山頂某卸料廠卸載，再空車原路返回裝載處，往返距離約3 km，平均車速為10 km/h，完成1個完整的采集循環，1個周期的信號采集時間為1 200 s。試驗路面為未鋪裝砂石路，平均坡度10%，最大坡度17%。試驗中采用IMC多通道數據采集設備采集試驗數據。圖1b所示是車橋傳感器的安裝圖，所使用的傳感器為CELESCO拉繩式位移傳感器，試驗所測得的位移為輪胎與車架縱梁之間的垂向相對位移。試驗時，數據采集頻率為200 Hz。試驗共采集5個循環的載荷數據。由于實測的試驗數據存在干擾，應對其進行濾波、剔除奇異值和消除趨勢項等預處理。最終選取1組穩定的數據作為后續處理的樣本。

圖1 試驗車輛和傳感器的安裝

圖2所示是采集到的位移信號的時間歷程曲線，由圖2可知，中橋、后橋上布置的4個測點的位移呈現同樣的時程規律，即信號存在2個不同幅值，在200～800 s的時間內，位移幅值為200 mm左右，在900～1 150 s的時間內，位移幅值大于第一段時間內的幅值。

圖2 實測位移譜時間歷程

為觀察位移信號的頻域特性，對采集到的時域信號求自相關函數的傅里葉變換，獲得功率譜密度（power spectral density，PSD），圖3所示是4個位移測點獲得信號的功率譜密度曲線，由圖3可知，位移信號呈現低頻聚集性，隨著頻率增加，功率譜密度減小，不存在明顯的共振峰，說明路面的位移激勵是寬頻的隨機信號。因此，為了定量分析位移信號的宏觀規律，并進行高精度的可靠性仿真分析和臺架試驗研究，采用統計學方法對位移譜進行統計分布研究具有較大的理論意義和實際工程應用價值。

圖3 位移信號的功率譜密度

2 位移譜統計分布模型

為研究位移譜統計規律，在對數據進行初步的統計直方圖分析后，選取工程中常用的正態分布、威布爾分布及這2種分布對應的混合分布作為位移譜的統計分布模型，以下分別介紹正態分布、威布爾分布和混合分布的數學模型。

2.1 正態分布

正態分布的密度函數為

正態分布的分布函數為

2.2 三參數威布爾分布

三參數威布爾分布的密度函數為

三參數威布爾分布的分布函數為

2.3 混合分布

混合分布是由若干個單一分布線性加權疊加形成。混合分布的密度函數和分布函數分別如式（5）和式（6）所示。

3 參數識別方法

合理的分布模型選取是統計建模的基礎，而對于確定的某一分布模型能否準確描述客觀事物的規律，對分布模型的參數進行精確識別是關鍵所在。為進行車橋位移譜統計分布的參數識別，本文提出分步參數識別方法，在人工魚群算法獲得的粗略的參數值的基礎上，進一步采用LM算法進行參數的精確識別。以下分別對人工魚群算法和LM算法進行介紹。

3.1 人工魚群算法

人工魚群算法（artificial fish school algorithm, AFSA）是一種基于動物行為的群體智能優化算法。該算法通過模擬魚類的覓食、聚群、追尾、隨機等行為在搜索域內進行迭代尋優，是集群思想的一個成功應用[28-30]。

人工魚群算法的主要行為有魚群初始化、覓食行為、聚群行為、追尾行為和隨機行為。算法主要步驟如下

本文采用人工魚群算法進行參數的初步估計，經反復測試并參考文獻資料[29]，將算法的運行參數設置如表1所示時，參數估計結果較為理想。

表1 人工魚群算法運行參數

3.2 LM算法

Levenberg-marquardt（LM）算法是梯度優化迭代求解方法的一種。LM算法采用目標函數的二階微分，并采用了方向矢量的方法對收斂方向進行動態調整，以此增加收斂性能，同時保證較好的收斂速度。式（13）所示為LM算法的變量迭代公式[11]。

LM算法的主要步驟如下

3.3 分步參數識別法

3.3.1 目標函數

選定一個合適的目標函數，是進行分布模型參數識別的前提?，F有的參數識別目標函數絕大部分都是以模型和實測曲線的誤差平方和作為優化目標，不可避免的存在只考慮縱軸方向誤差而忽略橫軸方向誤差，一些學者提出的全最小二乘法方法一定程度上緩解了最小二乘誤差計算的固有弊端[14]。本文引入灰色關聯度目標函數，以實測和模型之間的灰色關聯度最大化作為第一步參數識別的目標函數進行參數的初步識別。

灰色關聯度分析是灰色系統理論的重要組成部分[31-32]。采用灰色關聯度評價模型和實測曲線的接近程度，可以實現所辨識模型和實測曲線的宏觀幾何相似程度的最大化，從而在保證了參數識別結果的精確性。

灰色關聯度目標函數的計算過程如下

1）求實測數據和模型計算結果的歸一化序列，如式（16）。

2）求歸一化后的2個數據序列之間的絕對差序列，如式（17）。

3）求絕對差序列的最值，如式（18）。

4）計算關聯系數，如式（19）。

3.3.2 參數識別流程

本文所提出的分步參數識別方法流程如圖4所示。

圖4 分步參數識別流程

4 結果與分析

4.1 不同位移譜分布模型對比

根據統計學中直方圖的分組經驗，將實測位移信號從小到大分為50個區間，統計每個區間的頻數和累計頻數，作為位移譜統計分布實測的概率密度和分布函數值。采用本文提出的分步參數識別方法分別對4個測點獲得的位移譜進行4種不同模型的參數識別，表2為各模型的參數識別結果。

圖5～圖8是4個測點位移譜的擬合結果，由圖5～圖8可知，威布爾模型的擬合效果優于正態分布模型，而混合模型的擬合效果優于單一分布模型，4種模型之中，混合威布爾模型的逼近精度最高。以中橋左側位移譜為例，單一分布模型的概率密度誤差最大值為0.013，而混合分布模型的概率密度誤差為0.006；單一分布模型的累計概率誤差最大值為0.091，而混合分布模型的累計概率誤差最大值為0.052?？梢?，混合分布的擬合精度普遍大于單一分布，單一分布將數據的實際分布“均勻化”，從而抹去了數據中相對較小的峰值，而只保留了最大峰值。在2種混合分布中，混合威布爾模型擬合精度高于混合正態分布，混合正態分布的概率密度曲線和累計概率分布圖都與頻數統計的趨勢十分的吻合。

4.2 擬合優度檢驗

4.2.1 相關系數

表2 4種不同模型的參數識別結果

Tabel 2 Parameter estimation results of 4 models

模型 Model中橋左側 Left side of middle bridge中橋右側 Right side of middle bridge后橋左側 Left side of rear bridge后橋右側 Right side of rear bridge 正態分布 Normal distribution 混合正態分布 Mixed normal distribution 威布爾分布 Weibull distribution 混合威布爾分布 Mixed Weibull distribution

注：為正態分布的位置參數；為正態分布的形狀參數；為威布爾分布的尺度參數為威布爾分布的形狀參數；為威布爾分布的位置參數；為子分布的權重比例。

Note:is the positional parameter of normal distribution;is the shape parameter of normal distribution;is the scale parameter of Weibull distribution;is the shape parameter of Weibull distribution;is the positional parameter of Weibull distribution;is the weight ratio of the sub-distributions.

圖5 中橋左側位移譜分布曲線

圖6 中橋右側位移譜分布曲線

圖7 后橋左側位移譜分布曲線

圖8 后橋右側位移譜分布曲線

4.2.2 KS檢驗

4.2.3 擬合優度檢驗結果

以上所述的相關系數和KS檢驗統計量分別從概率密度函數的曲線擬合效果和概率分布函數曲線的擬合效果上對擬合優度進行了檢驗。表3所示是各模型的擬合優度指標，從表3可知，混合分布的相關系數均在0.95以上，最大KS值不大于0.25。因此，混合分布的擬合效果優于單一分布，而威布爾分布的擬合效果優于正態分布。

表3 4種不同模型的擬合優度對比

注：為相關系數；為KS值。

Note:is the correlation coefficient andis the KS value.

4.3 混合模型的分解

為了對混合模型擬合精度高的原因及其內在組成規律進行具體分析，以中橋左側位移譜的混合威布爾分布為例，對混合模型進行分解。圖9a和圖9b分別是混合模型分解出的分布密度函數曲線和累計分布概率曲線，由圖9可知，混合分布實現了獨立分布的加權線性疊加，曲線的形狀由組成子分布共同決定，且在不同的區間內，各個子分布的影響程度不同。由圖9a的分布密度函數曲線可知，在第一個子分布的峰值鄰域內，第一個子分布對曲線的影響占主要地位，而在第二個子分布的峰值鄰域內，第二個子分布對曲線的影響是主要的。由圖9b的累計分布概率函數曲線可知，累計分布呈現2個不同的上升斜率，第一段斜率主要由第一個子分布決定，而第二段上升斜率主要由第二個子分布決定。

注：f(x)為混合概率密度；f1(x)為子分布1的概率密度；f2(x)為子分布2的概率密度；為混合累計概率；為子分布1的累計概率；為子分布2的累計概率。

本文研究的主要是雙重混合分布，而對于多重混合分布，其規律可由二重混合分布推廣。

5 結 論

1）所采集到的車橋位移譜呈現出雙峰規律，采用混合威布爾模型可以較好的進行描述，且混合威布爾分布的各項擬合優度指標均優于正態模型、威布爾模型和混合正態模型, 混合分布的相關系數均在0.95以上，最大KS值不大于0.25；

2）以灰色關聯系數作為初步參數識別的目標函數，可以保證擬合曲線和原曲線的幾何相似程度最大，以全最小二乘誤差作為LM算法的優化目標，解決了混合可靠性模型參數識別中目標函數的選取問題；

3）提出的分步參數識別方法，綜合了人工魚群算法這種智能優化算法和傳統迭代算法的優點，以人工魚群算法優化解作為LM算法的初始值，解決了非線性最小二乘參數識別法的初值選取困難問題?？蔀橄嚓P的參數識別問題提供參考。

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Statistical distribution modeling and two-step parameter identification of vehicle bridge displacement spectrum

Liu Qiaobin, Shi Wenku, Chen Zhiyong※, Shang Guoxu

(130022,)

The study of the statistical distribution is the basis for further loading spectrum and fatigue reliability platform test. Normal distribution and weibull distribution are 2 kinds of probability statistical distribution models widely used in reliability engineering. The idea of weighted superposition is used to approximate the actual distribution by so-called mixed model, and it has a strong practical application value, so it has been paid increasing attention by many scholars. The introduction of mixed distribution model brings many challenges in model parameter identification. Finding a simple, efficient and accurate mixed distribution model parameter estimation method has become a focus in the field of reliability research. The traditional reliability model parameter identification methods include graphic method, nonlinear least square method, maximum likelihood estimation and bias estimation, and so on. The main disadvantages of these algorithms are as follows: (1) The calculation efficiency needs to be improved, and the traditional algorithms mostly rely on iterative solution. Requirement to improve the accuracy of parameter estimation distinct increases the time cost. (2) The selection of parameter identification and optimization targets is improper. Most of the existing studies have defined the objective function of parameter identification as the square sum of the model and the measured data, which inevitably ignores the simulation error of the transverse coordinates between the sample points and the simulation points, that only considers the simulation error of the ordinate. (3) The empirical dependence of parameter identification is high, and the initial value of parameter identification has a great influence on the results. However, the intelligent algorithm shows great potential in the problem of parameter identification of the model with multidimensional nonlinearity and uneasy initial value. In view of this, the measured vehicle bridge displacement signal was taken as the research object in this paper, the time domain analysis and frequency domain power spectrum analysis were carried out respectively. In order to further study the statistical law of the displacement signals, the signal was grouped and the frequency was counted, the statistical histogram and the cumulative probability distribution curve were obtained. The normal distribution, mixed normal distribution, weibull distribution and mixed weibull distribution were employed respectively. A novel two-step parameter identification method was proposed, and the grey correlation degree objective function was introduced. The grey correlation coefficient objective function could ensure the maximum geometric similarity between the fitting curve and the original curve. By doing this, the inherent malpractice of the optimization process with the square sum of error as the fitness was overcome to some extent. The proposed parameter estimation method's tep was as following: Firstly, the parameters obtained by the artificial fish swarm algorithm were applied as the initial values of the model parameters. Secondly, the iterative nonlinear least square method, namely, levenberg-marquardt (LM) algorithm was used to identify the parameters accurately. Thirdly, the goodness of fit for each model were calculated by using the kolmogorov-smirnov test index and correlation coefficient. The result showed that the mixed weibull model could be used to describe the tested displacement signal best. The correlation coefficient between the mixed Weibull distribution and the statistical histogram was (0.9800, 0.9908,0.9867,0.9665), whereas, the mixed normal distribution was (0.9793,0.9904,0.9783,0.9661), the weibull model was (0.8613,0.9113,0.8618,0.8854), and the normal model was (0.8611,0.9127,0.8624,0.8869). The proposed two-step parameter identification method combined the advantages of the artificial fish swarm optimization algorithm and the traditional iterative algorithm, and used the artificial fish swarm optimization result as the initial value of the LM algorithm. It solved the problem of the difficulty in selecting the initial value of the nonlinear least square method and improved the efficiency of the parameter identification. This study can provide reference for the fatigue load spectrum and the bench test of off-road vehicles.

model; parameter identification; rehicle bridge displacement spectrum; grey relation; nonlinear least square method; mixed Weibull model

劉巧斌，史文庫，陳志勇，商國旭. 工程車輛車橋位移譜統計分布建模及分步參數識別[J]. 農業工程學報，2018，34(23)：67－75. doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2018.23.008 http://www.tcsae.org

Liu Qiaobin, Shi Wenku, Chen Zhiyong, Shang Guoxu.Statistical distribution modeling and two-step parameter identification of vehicle bridge displacement spectrum[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2018, 34(23): 67－75. (in Chinese with English abstract) doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2018.23.008 http://www.tcsae.org

2018-06-05

2018-10-27

吉林省科技發展計劃項目基金（20150307034GX）；吉林省重大科技攻關項目基金（20170204063GX）

劉巧斌，博士生，主要研究方向為汽車系統動力學。Email：liuqb17@mails.jlu.edu.cn

陳志勇，副教授，主要研究方向為汽車振動噪聲控制。Email：chen_zy@jlu.edu.cn

10.11975/j.issn.1002-6819.2018.23.008

U463.2

A

1002-6819(2018)-23-0067-09