多項(xiàng)式實(shí)根數(shù)目判定的Sturm方法

于沁涵

摘 要：一元多項(xiàng)式方程的求解是代數(shù)學(xué)的基本問題，本文通過探討Sturm方法的原理，對(duì)任意給定的一元多項(xiàng)式方程，可以判斷該多項(xiàng)式在任意給定區(qū)間上的實(shí)根的個(gè)數(shù)。

關(guān)鍵詞：多項(xiàng)式方程；Sturm方法；實(shí)根個(gè)數(shù)

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-2064（2018）20-0210-02

1 引言

方程是最基本的數(shù)學(xué)表達(dá)式，可以用來描述各種已知與未知之間的數(shù)量關(guān)系。從9世紀(jì)開始數(shù)學(xué)家們就對(duì)方程求解有很多研究，如阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家M.Khowarizmi（約780-約850）給出了一次和二次方程的一般解法；1541年，意大利數(shù)學(xué)家N.Tartaglia給出了三次方程的一般解法；1545年意大利數(shù)學(xué)家G.Cardano在他的名著《大術(shù)》中，把Tartaglia的三次方程的解法加以發(fā)展，并記載了數(shù)學(xué)家L.Ferrari的四次方程的一般解法。數(shù)學(xué)史上，如何求解五次以上代數(shù)方程的根式解很快變得撲朔迷離，在接下來的兩個(gè)多世紀(jì)中，很多優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家嘗試了不同的方法，試圖揭開謎團(tuán)。1788年，法國數(shù)學(xué)大師J.L.Lagrange提出了五次方程根式解不存在的猜想。1824年，挪威年輕的數(shù)學(xué)家N.H.Abel成功的證明了五次以上一般方程沒有根式解。在Abel之后，人們已經(jīng)知道五次以上的一般方程無根式解，但很多特殊的方程，如x5=1，可根式求解。到底哪些方程可以根式求解，哪些不可以，具體判斷的依據(jù)是什么？1828年，法國天才數(shù)學(xué)家E.Galois巧妙而簡(jiǎn)潔地證明了存在不能用開方運(yùn)算求解的具體方程，同時(shí)還提出了一個(gè)代數(shù)方程能用根式求解的判定定理。

對(duì)于低次方程，可以利用根式求解方法求得其精確解，進(jìn)而可以判斷實(shí)根的數(shù)目；但對(duì)于高次的情形，通常很難求出其精確解，而一些求近似實(shí)根的數(shù)值方法在實(shí)際應(yīng)用中又存在一定的局限性。為此，本文的研究目的：即任意給定的一個(gè)一元多項(xiàng)式，通過運(yùn)用Sturm方法，判斷該多項(xiàng)式在任意給定區(qū)間上實(shí)根的個(gè)數(shù)。

2 多項(xiàng)式實(shí)根數(shù)目判定預(yù)備知識(shí)

對(duì)給定的多項(xiàng)式，首先要先對(duì)根的界進(jìn)行估計(jì)，即可以找到一個(gè)數(shù)，使得的所有實(shí)根都包含在區(qū)間上。

定理1：設(shè)是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，假設(shè)，并記：

則對(duì)任意或，有。

對(duì)多項(xiàng)式實(shí)根數(shù)目進(jìn)行精確判定的結(jié)果最先由法國數(shù)學(xué)家J.C.Sturm給出，稱為Sturm定理[1-2]。在介紹Sturm方法之前，我們首先引入符號(hào)序列的變號(hào)數(shù)及相關(guān)概念。

設(shè)為一實(shí)數(shù)序列，稱 為A的符號(hào)序列。其中=1，若；=0，若；，若。

對(duì)給定的序列，令為其對(duì)應(yīng)的符號(hào)序列，定義的變號(hào)數(shù)為。并約定，時(shí)；若，同樣。所以有如下推論：

推論：一個(gè)符號(hào)序列的變號(hào)數(shù)與去掉中所有0元素后得到新序列的變號(hào)數(shù)一樣。

例1：求序列的變號(hào)數(shù)。

解1：對(duì)應(yīng)的符號(hào)序列為，從而變號(hào)數(shù)。

定義：對(duì)于一個(gè)多項(xiàng)式序列和一個(gè)實(shí)數(shù)，則在處的變號(hào)數(shù)為 。

注：上式中可以取無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，此時(shí)只需關(guān)注多項(xiàng)式序列中每一項(xiàng)的首項(xiàng)的正負(fù)號(hào)即可。

3 Sturm定理

由定理1知，存在一個(gè)正整數(shù)使得多項(xiàng)式的所有實(shí)根都在區(qū)間上。以下我們判斷多項(xiàng)式在任意給定區(qū)間上的實(shí)根數(shù)目，現(xiàn)引入Sturm序列的定義及Sturm定理。

Sturm序列[3]：一個(gè)有限的多項(xiàng)式序列 稱為多項(xiàng)式的Sturm序列，若滿足以下條件：

1）是無平方的（沒有重根）；2）若，則有；3）若，則有 ；4）的符號(hào)不改變。

可采用如下方法來構(gòu)造Sturm序列：

這里和表示多項(xiàng)式關(guān)于多項(xiàng)式的余式和商。由于構(gòu)造的多項(xiàng)式的次數(shù)滿足，上述過程一定可以終止。并且最后一項(xiàng)是多項(xiàng)式和的最大公因子。

Sturm定理：設(shè)為一元實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，為的Sturm序列，對(duì)任意一個(gè)區(qū)間，記為在區(qū)間上的不同實(shí)根的個(gè)數(shù)，則有： 。

4 舉例應(yīng)用

例2：考慮多項(xiàng)式，試判斷此多項(xiàng)式分別在區(qū)間，和上的實(shí)根數(shù)目。

解2：采用前一章Sturm序列的構(gòu)造過程，得對(duì)應(yīng)的Sturm序列，其中：

注意這里構(gòu)造的Sturm序列中的多項(xiàng)式首項(xiàng)系數(shù)已約減為±1。由Sturm定理，在區(qū)間上的實(shí)根數(shù)目為：

；類似可得到和 。可以看出：多項(xiàng)式只有1個(gè)實(shí)根，另外有2個(gè)復(fù)根。

通常工程和數(shù)學(xué)計(jì)算中，多項(xiàng)式的形式會(huì)相當(dāng)復(fù)雜、次數(shù)也會(huì)相當(dāng)高，此時(shí)Sturm序列將很難手動(dòng)計(jì)算。為實(shí)現(xiàn)高次多項(xiàng)式實(shí)根數(shù)目的判定，計(jì)算機(jī)代數(shù)MAPLE軟件提供了計(jì)算Sturm序列和Sturm序列在相應(yīng)區(qū)間的變號(hào)數(shù)的命令。分別如下：

給定多項(xiàng)式，命令計(jì)算對(duì)應(yīng)的Sturm序列；再次調(diào)用命令計(jì)算多項(xiàng)式在區(qū)間上對(duì)應(yīng)的實(shí)根數(shù)目?，F(xiàn)分析下例高次多項(xiàng)式。

例3：考慮多項(xiàng)式：

，試判斷此多項(xiàng)式在和上的實(shí)根數(shù)目。

解3：在MAPLE里調(diào)用得對(duì)應(yīng)的Sturm序列：

，其中：

再次調(diào)用命令，得到在區(qū)間上的實(shí)根數(shù)目為2；調(diào)用命令，得到在區(qū)間上的實(shí)根數(shù)目為6?？梢钥闯觯憾囗?xiàng)式一共有6個(gè)實(shí)根，2個(gè)復(fù)根。

參考文獻(xiàn)

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[2]王東明，夏壁燦，李子明.計(jì)算機(jī)代數(shù)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2007.

[3]王東明，等.多項(xiàng)式代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2011.