Lagrange多項式插值及其應用

江楚萌

摘 要：本文圍繞Lagrange多項式插值進行論述，介紹了Lagrange插值方法的原理，給出了Lagrange插值在高中數學知識解題中的一些有趣應用，并結合MATLAB算法對某動態系統的實例進行了研究。

關鍵詞：多項式；Lagrange插值；MATLAB算法

中圖分類號：O174.42 文獻標識碼：A 文章編號：1671-2064（2018）20-0253-02

1 引言與預備知識

不論在數學學科的數值計算中，還是在工程領域的生產實踐中，許多問題都用函數來表示某種內在聯系或規律，而不少函數都只能通過實驗和觀測來了解，給不出精確的表達式，或者函數的表達式過于復雜不利于計算；如對實踐中的某個物理量進行觀測，在若干個不同的地方得到相應的觀測值；這時我們就需要構造這個函數的近似函數，數學上稱這種方法為插值[1-2]。插值法作為數值微分、函數逼近及微分方程數值解的基礎，在當今社會越來越受學者們的關注[3-4]。尤其是隨著計算機的普及，很多研究工作者將插值法與MATLAB等軟件結合，使得插值法在超大規模數值計算中得到了更廣泛的應用。

插值問題概述：設函數在區間有個不同點，且對應的函數值，在函數類中尋找一函數作為的近似表達式，使滿足：

這時稱為被插值函數，稱為插值函數，稱為插值點，簡稱節點，稱為插值區間。尋找插值函數的方法稱為插值方法。

常用的插值方法有：Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值和三次樣條插值等。本文主要圍繞Lagrange插值進行論述，從Lagrange插值原理的特點出發，給出了該方法在高中數學知識中有趣的一些應用，并結合MATLAB算法對某動態系統的實例進行了研究。

2 Lagrange插值公式

插值函數的構造，會因選擇函數類的不同，相應地會采用不同的插值方法。由于多項式函數具有結構簡單等一些良好的特征，譬如多項式是無窮光滑的，其導數及積分較容易計算。故本文圍繞多項式插值進行論述，多項式插值的基本問題是：求一個至多次的多項式：

使其在給定點處與同值，即滿足插值條件：

稱為插值多項式，并且有如下定理成立：

定理：當個節點不同時，插值多項式存在且唯一。

從幾何上看，次多項式插值就是過個點 ，作一條多項式曲線近似曲線（圖1所示）。

如何構造上述的插值多項式呢？法國天才數學家J.-L.Lagrange創造性地發明了一種方便而實用的方法來解決這個問題。該方法是先通過構造一組基函數：

其中是次多項式，滿足，然后定義如下的次多項式：

這樣的多項式滿足，稱為Lagrange插值多項式。

3 舉例應用

求過某些點的函數：

例1：求一個二次函數，使其在處與函數取相同的值。

解1：由于 ，取，應用Lagrange插值公式，有：

注：用待定系數法同樣可以求出函數的表達式，但必須求解相應的線性方程組。一般地，若尋求一個次函數，則需求解一個元線性方程組，計算麻煩且易出錯。

求函數在某點取值范圍：

例2：已知函數滿足：

，試判斷的取值范圍。

解2：取，應用Lagrange插值公式，有：

利用已知條件，我們有，故 。

求有窮數列的通項公式：

例3：求數列的一個通項公式。

解3：取，應用Lagrange插值公式，有：

注：任何一個有窮數列都有一個通項公式，并且通項可不唯一，例如：若給定，應用Lagrange插值公式，我們可以得到一個通項 ；同時注意到他們為著名的斐波那契數列（通項為：）的前4項，這些通項公式均為原數列的通項公式。

通常工程和數學計算中，已知的數據點會非常多，此時Lagrange插值公式將很難手動計算。為實現對高維數據點的插值計算，可以在計算機MATLAB軟件中編寫一個M文件得到Lagrange插值公式的精確表達式和Lagrange插值算法子程序。設個節點數據用數組輸出，數組分別表示插值點和插值，分別編寫名為lagrange.m和lagrange1.m的M文件實現Lagrange插值。

例4：表1為某動態系統在某時刻t（min）與對應測量值y：

那么在t=7min和t=10.5min時刻對應的測量值分別是多少？

解4：調用MATLAB中編寫的M文件，得到Lagrange插值公式為：

t=7min和t=10.5min時刻計算結果為：

Lagrange插值對應的曲線圖2所示：

4 結語

本文從Lagrange插值原理的特點出發，結合高中數學知識給出了一些相關應用，并結合MATLAB算法對某動態系統的實例進行了分析。同時我們注意到，Lagrange插值原理有很多推廣，比如重心Lagrange插值法等。尋找Lagrange插值方法及其推廣的更多實際應用，是我們進一步研究的工作。

參考文獻

[1]張韻華，奚梅成，陳效群.數值計算方法與算法[M].北京：科學出版社，2006.

[2]李慶揚，王超能，易大義.數值分析（第五版）[M].北京：清華大學出版社，2008.

[3]唐旭清.數值計算方法[M].北京：科學出版社，2016.

[4]林昌華，楊巖.拉格朗日插值法在工程設計及CAD中的應用[J].重慶理工大學學報（自然科學版），2013，（12）：34-37.