基于等效線性化的慣容減震結構優化設計

羅 浩 張瑞甫 翁大根 沈 華

(同濟大學結構工程與防災研究所,上海 200092)

0 引 言

慣容器是一類具有兩節點質量單元的新型控制裝置,早期應用于車輛工程領域,近年來逐漸發展為建筑結構振動控制領域的研究熱點之一[1]。根據慣性質量實現方式的差異,可將慣容器分為螺桿型、齒輪型和液壓型三類[2]。調諧黏滯質量阻尼器(Tuned Viscous Mass Damper,TVMD)是一種基于位移增效原理的螺桿型慣容器。將這種阻尼器應用于結構時,結構的層間水平相對運動可轉化為阻尼器內筒和質量的轉動,使得阻尼器的黏滯阻尼效應和質量效應顯著放大,從而可以降低結構的動力響應。

近十幾年來,不少學者針對TVMD的研發與應用開展了研究工作。在1999年,Arakaki等[3]最早提出旋轉阻尼管(Rational Damper Tube,RDT)的概念,它是通過軸承將縱向運動變為高速的旋轉運動,以此放大縱向位移,達到增強阻尼的效果。2004年Saito等[4]對RDT進行了改進,通過在軸承上安裝旋轉飛輪,開發了有顯著質量效應的黏滯質量阻尼器(Viscous Mass Damper,VMD)。2007年,Hwang等[5]將VMD與套索裝置結合,證明該裝置可以有效地降低結構的動力響應。2008年,Saito等[6]在VMD的基礎上增加彈性,開發了具有調諧效果的黏滯質量阻尼器,即TVMD。2009年,Arai等[7]對設置黏滯阻尼器、VMD和TVMD的三種結構體系進行了比較分析,并將TVMD應用于彈塑性結構體系。2012年,Ikago等[8]基于定點理論給出了TVMD結構體系的參數優化設計公式,并對配置TVMD的結構體系進行了地震臺試驗,驗證了TVMD對結構地震響應的控制效果。2013年,Lazar等[9]對附加TMD和TVMD的多質點體系進行了對比分析,結果表明采用TVMD可以獲得更大的質量效應和更好的振動控制效果。2016年,Zhang等[10]分別將包括TVMD在內的四類阻尼器安裝于結構底層,以位移峰值最小為目標,采用數值方法得到了四類不同阻尼體系的優化參數。

上述學者已對TVMD用于控制結構振動的有效性進行了證明,然而目前還沒有可以考慮主體結構阻尼的TVMD參數設計方法。Ikago等[8]基于定點理論推導了TVMD參數設計公式,然而,該公式不能考慮主體結構阻尼的影響。對于實際結構而言,結構阻尼一般不宜忽略[11-16],設計過程中不考慮主體結構阻尼,可能使得設計參數與實際優化結果偏差較大。因此,本文采用了一種等效線性化方法,對現有基于定點理論推導的優化設計公式進行修正,從而得到考慮主體結構阻尼的TVMD參數優化設計公式。

1 TVMD結構體系響應分析

圖1給出了附加TVMD的單自由度體系示意圖。圖中,m,kb和cb分別為主體結構的質量、剛度和阻尼系數;md,kd和cd分別為TVMD的等效質量、等效剛度和等效黏滯阻尼系數。

圖1 附加TVMD的單自由度體系Fig.1 SDOF system with a TVMD

(1)

式中,x和xd分別為主體結構的相對位移和TVMD質量單元的相對位移。

(2)

(3)

式中,

為對結構的位移響應進行優化控制,以位移放大系數的峰值最小為控制目標,對TVMD體系進行優化設計。從而得到優化問題:對于給定主體結構,取不同TVMD質量比μ,確定相應的頻率比β和附加阻尼比ζ,使位移放大系數Rd的峰值最小。其數學模型可表示為

(4)

2 基于定點理論的TVMD結構優化設計

當不考慮主體結構阻尼時,令ξb=0,代入式(3),則可將配置TVMD的結構體系位移放大系數簡化為

(5)

其中,

根據式(5),取結構固有圓頻率為1.0 rad/s,質量比μ為0.1,頻率比β為1.05,通過設置不同的TVMD附加阻尼比,可以得到位移放大系數Rd與激勵頻率比λ的一簇關系曲線,如圖2所示。

圖2 TVMD體系頻響曲線(ξb=0)Fig.2 Resonance curve of the TVMD system (ξb=0)

由圖2可知,不同附加阻尼比時,各曲線相交于兩個固定點P與Q。根據定點理論[17],要使位移放大系數的峰值最小,需滿足:① P與Q點為曲線的峰值點;② P與Q點幅值相等?；诖死碚?Ikago等[8]推導得到TVMD體系的優化頻率比和優化附加阻尼比的表達式:

(6)

(7)

令剛度比κ=kd/kb,由式可得基于定點理論推導的TMVD體系優化剛度比為

(8)

根據定點理論推導的上述優化公式(下文記作Ikago公式)比較簡單,便于計算使用。然而,這種方法的假設前提是主體結構不存在阻尼。實際上,當需要考慮主體結構阻尼時,定點理論的前提條件不再適用。比如,設結構固有圓頻率為1.0 rad/s,結構阻尼比ξb為0.05,質量比μ為0.1,頻率比β為1.05時,根據式(3),可以得到位移放大系數Rd與激勵頻率比λ的一簇關系曲線,如圖3所示。

圖3 TVMD體系頻響曲線(ξb=0.05)Fig.3 Resonance curve of the TVMD system (ξb=0.05)

由圖3可知,考慮主體結構固有阻尼時,不同附加阻尼比條件下的頻響函數曲線并不存在固定點。因此,在這種情況下,定點理論的前提條件不再成立。在實際結構中一般均需考慮主體結構阻尼比的影響,比如鋼筋混凝土結構常取阻尼比為0.05。對于一些阻尼較大的結構若采用這種方法設計,設計參數可能與優化結果相差較大。因此,有必要提出可以考慮主體結構阻尼的參數優化設計公式。

3 基于加權均方差最小的線性等效方法

考慮一個有阻尼的單自由度體系,其控制方程可寫為

(9)

若將其等效為無阻尼體系,控制方程可改寫為

(10)

式中:ωe為等效圓頻率,令其滿足下式:

(11)

(12)

最小。式中,參數γ與λ可由如下方程確定:

?W/?γ=0

(13)

?W/?λ=0

(14)

令x=acosφ,φ=ωet+φ0,Φ=ωeD,代入式(12)-式(14),可得參數γ與λ分別為

(15)

(16)

將式(15)代入(11),整理可得關于ωe的一元二次方程,求解該方程,并令Φ=π/2,可得:

(17)

常取ρ=1/2,式(17)可進一步簡化為

(18)

因此,在給定結構阻尼和固有圓頻率的情況下,可由式(18)確定其等效無阻尼體系的等效圓頻率。

4 基于等效線性化方法的TVMD結構優化設計

對于TVMD結構的優化設計,為考慮主體結構阻尼對優化結果的影響,本文采用上述等效線性化方法,將有阻尼結構等效為無阻尼結構,再利用適用于無阻尼體系的Ikago公式,得到TVMD有阻尼體系的優化設計公式。將圖1所示的TVMD有阻尼體系等效為TVMD無阻尼體系,如圖4所示。圖中,ke為等效體系的結構剛度。

圖4 TVMD等效無阻尼體系簡化模型Fig.4 Simplified model of the equivalent un-damped system with a TVMD

(19)

針對圖4所示的TVMD無阻尼體系,可根據定點理論得到相應的優化設計公式。因此,根據式(6)-式(8),可得TVMD有阻尼體系的優化頻率比、附加阻尼比和優化剛度比分別為

(20)

(21)

(22)

由式(20)-式(22)可知,TVMD有阻尼體系的優化參數可通過在定點理論所得優化結果的基礎上乘以修正系數η或者η2而得到。將ξb=0代入式(19),可得修正系數η的值為1,因此,式(20)-式(22)也適用于TVMD無阻尼體系。

5 比較分析

為驗證本文提出的TVMD體系參數優化公式的合理性,對無TVMD的結構體系(ST0)、采用Ikago公式設計的TVMD體系(ST1)和采用本文修正公式設計的TVMD體系(ST2)三種體系進行比較分析,圖5分別給出了三種體系的位移放大系數與激勵頻率比的關系曲線,相應地,表1分別給出了不同結構阻尼比情況下,兩種優化方法設計的優化剛度比、附加阻尼比和TVMD體系位移放大系數峰值。

由圖5可知,對于無阻尼結構體系,兩種優化方法得到的頻響曲線完全重合,均有兩個幅值相等的峰值點。然而,對于有阻尼體系,基于定點理論設計的TVMD體系的頻響曲線有兩個數值相差較大的峰值點,而采用本文修正公式設計的TVMD體系的頻響函數兩個峰值相差較小,相應的位移放大系數最大值更小。

圖5 兩種優化方法TVMD體系的頻響曲線Fig.5 Resonance curves of different TVMD systems

由表1可知,對于設置TVMD的有阻尼結構體系,隨著結構阻尼比增大,按本文修正公式計算的優化頻率比和優化附加阻尼比隨之減小。然而,由于Ikago優化公式沒有考慮主體結構阻尼影響,若采用該公式進行優化設計,則不論結構阻尼比多大,所得優化頻率比與優化附加阻尼比均與ξb=0的情況一致。針對有阻尼結構體系,與Ikago公式所得結果相比,本文修正公式所得優化剛度比和優化附加阻尼比更小,從而可以使得設計更加經濟。同時,與按照Ikago公式設計的體系響應相比,按照本文修正公式設計的TVMD體系的位移響應峰值更小,位移響應的控制效果更好。由表2可知,隨著質量比的增大,按兩種方法計算的優化頻率比和優化附加阻尼比均隨之增大;但由于修正系數不變,兩種方法計算的參數之比不變。隨著質量比的增大,兩種體系的位移響應峰值均隨之降低;與按照Ikago公式設計的體系響應相比,按照本文修正公式設計的TVMD體系的位移響應峰值更小,位移響應的控制效果更好。

表1兩種優化方法的設計結果比較(μ=0.1)

Table 1 Comparison between the design results of the two optimal methods (μ=0.1)

表2兩種優化方法的設計結果比較(ξb=0.05)

Table 2 Comparison between the design results of the two optimal methods (ξb=0.05)

6 結 論

本文對附加TVMD的有阻尼結構體系進行了優化設計研究,主要得到如下結論:

(1) 基于定點理論推導的TVMD參數設計公式沒有考慮結構阻尼的影響,當將其應用于有阻尼結構體系時,TVMD體系的位移放大系數曲線有兩個數值不等的峰值點,不再滿足定點理論的假設條件。

(2) 本文提出的TVMD參數設計修正公式可以考慮結構阻尼的影響,在質量比相同的情況下,所得的優化頻率比和附加阻尼比均比基于定點理論設計公式所得的相應結果小,并且優化設計的TVMD體系的位移響應更小。

(3) 對于一般的小阻尼結構,兩種方法得到的差異較小,可直接采用定點法設計TVMD結構體系的參數;對于具有較大結構阻尼比的結構,宜采用本文提出的等效線性法設計TVMD結構體系的參數。