地下結構地震反應分析中確定側向邊界的等效土柱模型

田樹剛 陳清軍,*

(1.同濟大學土木工程防災國家重點實驗室,上海 200092; 2.同濟大學結構工程與防災研究所,上海 200092)

0 引 言

土-結構動力相互作用問題中土體邊界條件的設置方式以及遠場地基土體的簡化模型有較大的研究價值和較強的研究意義。研究土-結構動力相互作用問題過程中的一個關鍵環節是對人工邊界的處理,一般做法是從無限地基域割離出一定范圍的近場地基,近似地認為這一部分地基土體對結構動力反應的影響代表了無限地基域對結構的影響。這樣就引出了人工截斷邊界的問題。在截斷邊界上存在波的反射,反過來影響結構的反應,有阻尼時,這種反射波的能量逐漸被阻尼消散,無阻尼時,其將在土-結構系統內震蕩。

如何降低土-結構動力相互作用問題中人工截斷邊界處波動反射的影響是一個熱點研究課題。目前已有一些方法可以一定程度的解決這個問題,其中黏彈性人工邊界方法是一種應用較多的邊界處理方法,能達到有效的耗能目的,如文獻[1-2]在高拱壩及地鐵車站的地震響應的影響因素分析中應用了黏彈性人工邊界條件來解決邊界反射問題,文獻[3-4]在土-橋梁結構及土-風電塔結構的動力相互作用分析中使用了黏彈性人工邊界作為透射邊界,文獻[5-6]將黏彈性人工邊界應用到懸臂擋土墻及高架罐體的土結構動力相互作用研究中。文獻[7-8]研究了成層地基黏彈性人工邊界的波動輸入方法及多源輸入條件下的黏彈性人工邊界方法等。研究表明,動力無限元邊界條件也能較好的實現從有限元到無限元的能量衰減效果,如文獻[9]在高速鐵路路堤震動問題的研究中應用了動力無限元邊界,文獻[10]將動力無限元邊界條件應用于不同幾何類型及底層條件的邊坡的地震放大效應的研究中,文獻[11]在研究地下工程數值計算中輸入地震動的方法中應用了動力無限元單元作為人工截斷邊界條件,文獻[12]研究了ABAQUS中的動力無限遠人工邊界的基本原理等。在地基土體的人工截斷邊界的處理中,遠置側向邊界條件也被廣泛使用,其中一個主要的研究點是側向邊界尺寸的確定,如文獻[13]對土層隨機地震反應分析中側向人工邊界的選取進行了研究,提出了確定土體側向邊界尺寸的方法,文獻[14]研究了水平成層土層有限土層范圍的選取對計算精度的影響,并應于與河谷上拱形結構的動力計算中。土-結構相互作用問題中,狹義的邊界條件只是為了減弱邊界波動反射對結構的影響而設置,如遠置自由邊界,耗能邊界,透射邊界等,廣義的邊界條件也可以包括兩步法(子結構方法)的推廣,等效處理遠場地基土對近場地基-結構體系的作用。如文獻[15-17]提出的土-結構動力相互作用的簡化計算模型,保留近場地基,遠場土用理想匹配土層PML (perfect matched layer)代替,并通過阻抗函數(impedance function)來近似確定遠場土對近場土-結構的作用,并用與頻率相關的剛度系數和阻尼系數來實現。耗能邊界的設置可減小計算量,但其應用需要一些額外工作和一些特殊的輸入方法。遠置自由邊界對于大型土-結構相互作用問題的計算成本較高,但對于小型或者一些簡單的二維模型計算成本相對可以接受且操作簡單,其物理模型更接近真實情況,能達到與設置了耗能邊界模型相近的計算效果。

本文基于彈性波在水平成層土層中的傳播理論,提出一種操作簡單的確定土-結構動力相互作用問題中土體自由邊界尺寸的等效土柱模型方法,以一個土-地下隧道結構為例,通過等效土柱模型方法確定了其合理的土體自由邊界尺寸,并與粘彈性人工邊界近似法及動力無限元邊界方法的計算結果進行了對比印證,分析了不同邊界條件的設置對隧道結構地震反應的影響,同時為解決土-結構動力相互作用問題中邊界條件的設置提供了一定的參考。

1 基本理論與方法

1.1 問題描述

在土-結構動力相互作用問題中,往往人為切割出部分近場土域地基作為無限地基土體對結構作用的近似。圖1為實際無限半空間模型及人工截斷模型示意。

圖1 土-結構相互作用體系土體人工邊界處理Fig.1 Half space soil foundation and artificial soil boundary

需要尋求適當的方法來解決彈性波在人工截斷邊界上的傳播問題,如不對截斷邊界做特殊處理,在其上會產生波的反射,反過來導致結構的附加反應,需把這種邊界反射效應降低到可接受的范圍。處理這個問題最簡單的方法是設置遠置自由人工邊界,即土體橫向范圍取得足夠遠。遠置自由邊界尺寸的選取需滿足兩方面的要求:一是尺寸不能太大以至增加計算量,費時;二是尺寸不能太小,以至不能將邊界反射對結構的影響降低到一定程度。

1.2 等效土柱模型確定水平成層土體自由邊界尺寸

在土-地下結構動力相互作用問題中,地下結構的存在對土-結構體系在其人工截斷邊界部位的土體反應是有影響的,但這種影響隨著人工截斷邊界尺寸的增加呈現逐漸減小的趨勢,且逐漸趨近于水平成層的無限半空間土體受相同激勵下的反應,而水平成層無限半空間土體可以用等效土柱代替。地震工程中常將覆蓋土層及下臥基巖簡化為物理力學指標豎向成層變化,橫向均勻的半無限空間[18],據文獻[19-20]對波在土柱中的傳播理論的闡述,如果只考慮地震動的水平分量,則地震波在水平土層中的傳播就可以簡化為剪切運動,即與土柱軸向垂直的橫向運動(u)在土柱中的傳播。置于基巖上的水平土層如圖2所示,假設基巖輸入位移為ug(t),則距離土體頂部z深度處dz部分土柱隔離體上所受的力主要有慣性力、黏性力以及上下相鄰土體作用其上的剪力的差值,其運動方程為[19]:

圖2 基巖輸入水平剪切地震作用時半無限土層截面及其邊界條件Fig.2 Half space soil layer and its boundary conditions

(1)

其中,上下相鄰土體對隔離體剪力的差值為

(2)

方程的解可以表達為

(3)

式(3)中Xn(t)滿足如下條件:

(4)

式(4)可用逐步積分法求解,如Newmark 方法等。在水平單向輸入地震動作用下,土柱運動方程的解也是與其對應的水平成層半無限空間土體運動方程的解。基于以上推理,提出一種簡單的確定土體自由邊界尺寸的方法。該方法的主要思路是建立土體側向邊界尺寸為大于10倍、20倍及30倍地下結構橫向尺寸的整數的土-結構相互作用模型及同條件下可以代表水平成層的半無限空間的等效土柱模型,見圖3,對二者輸入相同的地震動,對比土柱與土-結構體系土域邊界處頂部土體反應即圖中的輸出a和輸出b,計算二者的相對誤差,并建立相對誤差隨土-結構相互作用模型土體側向邊界尺寸的回歸曲線,反過來可以通過該回歸曲線標定相對誤差為5%時的土-結構相互作用模型的土體側向邊界尺寸。所選取的比較參照點是基于認為在基巖輸入地震動作用下,土-結構相互作用體系中的遠場土體反應與代表無限半空間土柱的土體反應接近時,結構的存在對遠場土體的反應影響甚微,反過來認為所取的土體尺寸已經足夠大,波的邊界反射效應對結構反應影響甚小這一邏輯。需指出這里暫未考慮半無限空間出平面SH波的影響。當有土層的剪切模量比及阻尼比與剪應變的關系曲線數據時,等效土柱模型可以用SHAKE或EERA等土層等效線性化動力分析程序代替,如上相同的操作同樣可以確定土-結構動力相互作用模型的土體側向邊界的尺寸。

圖3 水平成層無限半空間等效土柱校準土-結構相互作用體系土體邊界示意Fig.3 Half space soil foundation and artificial soil boundary

1.3 黏彈性人工邊界近似法及動力無限元邊界方法

以下列出黏彈性人工邊界近似法的邊界元件剛度及阻尼系數的基本公式,羅列了動力無限元邊界的基本方程及其在ABAQUS中的實現。

1.3.1黏彈性人工邊界近似法

二維黏彈性人工邊界在ABAQUS中的邊界彈簧的切向的彈簧的剛度系數KT和阻尼系數CT及法向彈簧的剛度KN和阻尼系數CN見公式(5)[8]。

(5)

地震波在土層中的縱波及橫波波速見式(6)

(6)

式中:ρi為第i層土的密度;r為人工邊界點到波源的距離,近似可以取近場結構幾何中心到要施加人工邊界的邊界線或者邊界面的距離;λ和G為拉梅常數;E和μ分別為彈性模量和泊松比,以上均滿足i=1～n,分別代表自上而下的各大類地基土層;αT和αN為相關的系數。

黏彈性人工邊界的輸入需要做一些特殊處理,需以等效荷載的形式施加在底部邊界和側向邊界上,等效荷載計算公式及輸入方法可參考文獻[20]等。

1.3.2動力無限元邊界

ABAQUS軟件自帶一種吸能邊界單元-無限元單元,是由無限元靜力人工邊界和黏性動力吸收邊界組合而成,該單元能夠較好地模擬無限地基的輻射阻尼且能模擬無限遠處位移為零的邊界條件[21]。ABAQUS動力分析中的無限元是基于Lysmer和Kuhlemeyer的研究成果。動力分析中無限元的材料是線彈性的,其平衡方程為

(7)

(8)

界面上的阻尼力為

(9)

式中:d是阻尼系數。

(10)

三維情形只需更改一下波速的公式,即

(11)

按式(11)計算阻尼系數即可實現邊界上無反射波的條件。ABAQUS中無限元的設置需要結合CAE和修改Input文件同時操作來實現。在CAE中,有限元和無限元可只建一個Part,后用Partition工具將有限元與無限元分離。無限元的材料特性與其對應的有限元部分的線彈性部分一致,定義屬于無限元的Section上選擇與其相應的線彈性材料,后將其賦予對應的無限元區域。無限元的Mesh Control選Sweep技術,Sweep的方向指向無限地基域的方向,且沿其長度方向只劃分一個單元。為做區分,無限元單元類型可以選擇與有限元部分不一致的單元類型,例如,有限元單元類型為CPE4R,無限元的單元類型可以設置為CPE4RH,或者選Acoustic單元AC2D4(三維情形選AC3D8R)。寫Input文件,將Input文件中的無限元單元類型改成CINPE4 (三維為CIN3D8),將更改后的Input文件提交求解器計算。假設從有限元-無限元交界處輸入的地震動即為實際傳播到模型基巖處的地震動,由于無限元單元只是對從有限元區域向外傳播的波有效,如此能滿足內源入射的假定,其輸入方式以等效力的形式輸入。需明確的是,為模型施加了無限元單元相當于已經為模型施加了邊界條件,故除了在模型土體底部有限元與無限元交界處輸入地震動之外,無須再施加其他邊界約束條件,這里暫未考慮外域地震波動對無限地基域輻射阻尼的影響。

2 算例

2.1 工程背景及數值模型

以某沉管隧道工程為背景,應用等效土柱方法確定其側向自由邊界尺寸,并與黏彈性人工邊界近似法及動力無限元邊界的計算結果進行了對比。該工程隧道典型橫截面設計見圖4。

圖4 隧道典型橫斷面設計圖(單位:cm)Fig.4 Representative cross section of immersed tube tunnel (Unit:cm)

據地勘提供的土層資料,將隧道場區土層歸為四大土類,自上而下分別是淤泥、粉質黏土、粉細砂及粗砂、風化巖。土層材料物理力學指標列于表1。

表1土層材料參數表

Table 1 Parameter table of soil

土體采用基于摩爾庫倫準則的理想彈塑性本構模型,并選用四節點四邊形雙線性平面應變單元(CPE4R)。工程樁采用線彈性本構模型,隧道周圍一般回填固定碎石、隧道底部的碎石墊層以及兩側的鎖定回填碎石均選用線彈性本構模型,隧道混凝土采用塑性損傷本構模型,該模型材料參數見表2。

表2混凝土塑性損傷本構模型參數

Table 2 Concrete Damaged Plasticity model parameters

考慮到剪切波從基巖垂直入射,沿土層深度方向土層網格尺寸需滿足一定條件。這里,土層豎向網格尺寸需滿足

(12)

式中:Lmesh為沿土層深度方向的最大網格尺寸;Lwave為地震波的波長;Vs為土層的剪切波速,理論上應以所有土層最小剪切波速來控制最大網格尺寸,依據勘察單位提供的剪切波速測試報告,取Vs=104.6 m/s;fcontrol為輸入地震動的控制頻率,這里fcontrol取15 Hz。

最終沿土體深度方向網格尺寸定為0.8 m,模型橫向網格尺寸可以設定為沿深度方向網格尺寸的3～5倍,這里設定為4 m。

地基土體深度依勘察結果取102.3 m,據文獻[14]的建議,地基土體的長深比應大于7,即最小橫向尺寸應大于716.1 m。為實現本文提出的確定地基橫向尺寸的方法,依照地基橫向尺寸不同分別建立10倍、20倍及30倍隧道橫向尺寸的模型,即分別為379.5 m,759 m,1 138.5 m,為方便可取整數即400 m、800 m (大于716.1 m)及1 200 m三種尺寸的遠置邊界模型。400 m地基土體-地下結構相互作用模型如圖5上右圖所示,1 200 m地基土體-地下結構相互作用模型見圖5下,同時建立一個代表水平成層的半無限空間地基的等效土柱模型,土柱模型如圖5上左圖所示,其土層劃分以及輸入地震動情況均與設置側向邊界的土-地下結構模型相同。

據工程場地設計地震動參數研究報告[22],選取多遇地震情形(ODE),即120年超越概率63%的地震動進行計算,調整輸入地震動的幅值為0.53 m/s2。選取El Centro和Kobe 及該工程設計地震動參數研究報中的一條人工波GZA作為輸入地震動,輸入地震動加速度時程見圖6。

圖5 等效無限半空間地基土柱模型及地基-地下隧道結構遠置旁軸邊界模型Fig.5 FE Model of horizontal layered half space soil column and foundation-tunnel far boundary interaction system

圖6 輸入地震動加速度時程Fig.6 Input ground motion and its Fourier spectrum

2.2 等效土柱模型確定土-隧道體系側向邊界

經計算,土柱的土層頂部加速度反應時程與設置了不同側向邊界尺寸的土-結構體系土體左側邊界頂部的加速度反應時程對比如圖7所示,土柱模型的頂部反應與400 m側向邊界模型的土體頂部反應差值相對是最大的,隨著土-結構體系側向邊界尺寸的增大,這種差異逐漸減小,當增至1 200 m時,二者加速度反應基本一致,說明當不做其他吸能或透射邊界處理時,此隧道工程的土體側向邊界尺寸取1 200 m即可基本忽略邊界反射的影響。

圖7 不同遠置邊界尺寸模型與半無限空間土柱模型加速度反應對比Fig.7 Comparison of response acceleration at soil corner between soil column and tunnel-soil systems

由圖8可知,土柱模型的頂部位移反應與400 m側向邊界模型的土體頂部位移反應相對是最大的,且比二者加速度反應的差異更明顯。隨著側向邊界尺寸的增大,這種差異逐漸減小,直至土體側向邊界尺寸增至1 200 m時,二者位移反應基本一致,圖9更清楚地表達了三種尺寸的側向邊界模型加速度反應及位移反應與土柱的同項目反應絕對誤差的遞增序列,得到的加速度及位移的誤差符合預期規律,即隨土-結構相互作用模型側向邊界尺寸的增加,土-結構相互作用體系人工截斷邊界處土層頂部的位移和加速度反應與能代表辦無限空間的土柱頂部的土體反應的相對誤差是減小的規律。當側向邊界為1 200 m時,三條波輸入下的加速度及位移的相對誤差均相對較小。

圖8 不同遠置邊界尺寸模型與半無限空間土柱模型位移反應時程對比/mFig.8 Comparison of response displacement at soil corner between soil column and tunnel-soil system/m

圖9 絕對誤差的遞增序列Fig.9 Difference between far boundary model and soil column

土-結構相互作用體系與等效土柱的相對誤差對比見圖10,從圖10(a)及圖10(b)的相對誤差直方圖可見,隨著土-結構相互作用體系土體側向邊界尺寸的增加,加速度和位移的相對誤差是減小的規律。以三條波的均值相對誤差為基礎進行線性回歸的結果見圖10(c),得到回歸方程后,可以得到滿足相對誤差為5%時所需的結構側向邊界尺寸。當相對誤差等于工程誤差5%時,本例模型基于位移的相對誤差回歸曲線得到的土體邊界尺寸為1 012.53 m (約27倍隧道橫截面橫向尺寸),基于加速度的相對誤差回歸曲線得到的土體邊界尺寸為945.91 m (約25倍隧道橫截面橫向尺寸)。如果想控制相對誤差為2%以內,基于加速度校準的邊界尺寸至少應為1 173.48 m (約30倍隧道橫截面橫向尺寸),基于位移校準的邊界尺寸至少應為1 125.74 m (約31倍隧道橫截面橫向尺寸)。如果想消除這種相對誤差,土體側向邊界尺寸至少應為1 325 m (32倍隧道橫截面橫向尺寸)。 最終采用等效土柱模型方法近似確定的地基-隧道相互作用體系的土體側向自由邊界尺寸選擇為1 200 m時,可以控制相對誤差在2%以內。

圖10 相對誤差對比/%Fig.10 Relative Error between far boundary model and soil column/%

表3相對誤差對比表

Table 3 Relative error

3 等效土柱模型確定的側向自由邊界與耗能邊界的對比

這里選用黏彈性人工邊界近似法及動力無限元邊界進行對比印證由等效土柱模型確定的側向自由邊界模型。據文獻[13]的研究成果,在土-結構相互作用問題中,對于黏彈性邊界模型,當土體長深比L/H>5時,相對誤差可以控制在5%以內,本文所依托之隧道工程實際勘測土體最深處達102.3 m,故土體長度方向尺寸應大于511.5 m,這里取520 m。以520 m側向自由邊界模型為基礎分別建立黏彈性人工邊界模型及有限元-無限元邊界模型,與前述確定的1 200 m (相對誤差小于2%)側向自由邊界模型的結構地震反應進行了對比。

3.1 側向自由邊界與黏彈性人工邊界近似法對比

據式(5)、式(6)可以確定二維黏彈性人工邊界的輸入參數即邊界上彈簧單元的剛度系數和阻尼元件的阻尼系數,具體數值列于表4中。這里取i=1～4,分別代表自上而下的淤泥、粉質黏土、粉細砂及粗砂和風化巖四大類地基土層。式中αT的取值范圍為[0.35～1.00],αN取值范圍[0.8～2.0],這里參考文獻[20,23],取αT=0.67,αN=1.33。

表4地基黏彈性人工邊界參數

Table 4 Parameter table of viscoelastic boundary

對比采用等效土柱方法確定的1 200 m側向自由邊界模型與設置了粘彈性人工邊界的模型的計算結果,以驗證其合理性。選取隧道結構外側頂部角點作為參考點進行結構反應的對比。有效應力反應時程對比如圖11(a)所示,經計算知二者最大差異在0.06 MPa以內。

位移反應時程對比見圖11(b),可知在20 s之前符合較好,22～28 s二者差異相對前部分稍大一些,最大差值為0.01 m。加速度反應時程對比見圖11(c),總體來說,二者在整個過程中符合均較好,最大差值為0.006 m/s2。說明1 200 m側向自由邊界模型與設置了黏彈性人工邊界模型的計算結果較為接近,側向邊界尺寸的選取是合理的。

3.2 側向自由邊界與動力無限元邊界對比

基于520 m側向自由邊界尺寸的模型建立有限元-無限元模型,在有限元模型的底邊和兩個側邊施加一層無限元單元,如圖12(a)所示,圖12(b)為隧道周圍網格劃分局部放大圖,隧道周邊一般回填碎石范圍內的局部土體網格做了細化。

圖11 側向邊界與黏彈性人工邊界方法結構時程對比Fig.11 Compare of structural response between viscoelastic method and far boundary

施加了動力無限元邊界單元之后,在某一典型時刻體系位移反應分布如圖13所示,可見無限元部分有效地實現了對外行波的衰減,直至最外圍幾乎達到零值。

1 200 m側向自由邊界與無限元邊界模型的Mises應力時程對比如圖14(a)所示,二者符合較好。無限元模型與黏彈性邊界模型在所選取的特征點的加速度及位移反應較為接近,基本一致,故1 200 m側向邊界模型與無限元模型的差異同前述其與黏彈性邊界模型反應的差異。

側向邊界與耗能邊界結構反應的絕對誤差見圖15,從圖中可知各個分量的絕對誤差均在合理范圍內。

圖12 隧道-地基有限元-無限元模型Fig.12 Finite-infinite element model of tunnel-foundation system

圖13 有限元-無限元地基-隧道模型位移反應分布圖/mFig.13 Response displacement distribution of finite-infinite foundation-tunnel model/m

結果表明三種邊界處理方式的結構反應均較為接近,說明等效土柱方法確定的側向自由邊界模型基本能滿足將邊界反射波的影響降低到一定程度的要求,同時說明在土-結構動力相互作用問題中,無論是大尺寸側向自由邊界模型還是小尺寸加耗能邊界的模型均能達到預期的對邊界反射影響抑制的目的,但小尺寸側向自由邊界模型存在明顯的邊界反射的影響。需指出,以上均未考慮基礎結構產生的散射波的影響。

4 結 論

圖14 側向邊界與無限元邊界方法結構時程對比Fig.14 Compare of structure response between infinite boundary and far boundary

基于彈性波在水平成層土層中傳播的基本原理,提出了采用等效土柱模型校準確定土-結構相互作用問題中土體側向自由邊界尺寸的方法。以一個地下隧道工程為例,采用等效土柱模型確定了其側向自由邊界尺寸。后與黏彈性人工邊界近似法及動力無限元邊界方法進行了對比印證,同時考察了邊界條件的設置對地下結構地震反應的影響。結果表明:

(1) 采用本文提出的方法,側向邊界改變三次就基本能確定合理的土體側向邊界的尺寸,且可得到相對誤差與土體側向邊界尺寸的回歸曲線。并基于該曲線計算出能滿足工程誤差5%的要求的土-結構相互作用體系的最小側向邊界尺寸,據相對誤差曲線得到的土-結構相互作用體系的最小側向邊界尺寸為1 012.53 m,約等于27倍隧道橫截面的橫向尺寸。

圖15 側向邊界與耗能邊界結構反應絕對誤差的遞增序列Fig.15 Error comparation of structure response between infinite boundary and far boundary

(2) 采用相對誤差小于2%的1 200 m遠置自由邊界模型與黏彈性邊界近似法及動力無限元邊界模型的結構反應符合較好。

(3) 黏彈性邊界近似法及動力無限元邊界模型可以相對小的側向自由邊界尺寸達到與大尺寸側向自由邊界模型相近的計算精度的效果。

通過等效土柱模型確定土體側向自由邊界的方法為土-結構動力相互作用問題中土體側向自由邊界尺寸的確定提供了一種有效思路,同時文中所用其他邊界處理方法也為土-地下結構相互作用問題中土體邊界條件的設置提供了參考。對于復雜三維土-結構模型可采用黏彈性人工邊界及動力無限元邊界等耗能邊界,以減小計算量,對簡單二維平面問題可以選取以上三種任一種方法處理土體邊界。