基于PSO算法的CT系統(tǒng)標(biāo)定模板的優(yōu)化設(shè)計

張 路，林勇康，艾昕晨，沙 超，王汝傳

(1.南京郵電大學(xué) 計算機(jī)學(xué)院、軟件學(xué)院、網(wǎng)絡(luò)空間安全學(xué)院，江蘇 南京 210003； 2.南京郵電大學(xué) 電子與光學(xué)工程學(xué)院、微電子學(xué)院，江蘇 南京 210003)

0 引 言

CT系統(tǒng)，即電子計算機(jī)斷層掃描，是一種可以利用人體不同組織對X射線吸收率的不同而對人體內(nèi)部進(jìn)行成像的儀器[1-2]。此外，CT也可以應(yīng)用在工程上，工程CT可以對工程對象內(nèi)部進(jìn)行成像，完成工程結(jié)構(gòu)檢測等任務(wù)[3]。

然而，在CT系統(tǒng)安裝完成后，系統(tǒng)往往存在誤差，需要用已知參數(shù)的標(biāo)定模板來進(jìn)行誤差參數(shù)標(biāo)定，便于進(jìn)行誤差補(bǔ)償。因此，標(biāo)定模板的設(shè)計往往影響著標(biāo)定誤差參數(shù)的精度，進(jìn)而影響到最后的成像質(zhì)量。文中提出的基于PSO算法的標(biāo)定模板設(shè)計方案，具有精度高、收斂快等特點，并與爬山法、遺傳算法進(jìn)行了對比。

1 CT系統(tǒng)工作原理

一種常見的CT系統(tǒng)如圖1所示。系統(tǒng)工作時，樣品以及托盤靜止不動，512個等間距的“光源-探測器單元組”繞托盤某固定旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)180次。由于旋轉(zhuǎn)誤差的存在，不一定是等間距旋轉(zhuǎn)。經(jīng)過處理后，計算機(jī)得到180組接收信息，每組接收信息包含512個探測器的探測數(shù)值，即可根據(jù)探測器信息結(jié)合標(biāo)定的參數(shù)還原樣品截面圖。CT系統(tǒng)的參數(shù)標(biāo)定是指標(biāo)定安裝完成后的旋轉(zhuǎn)中心點的坐標(biāo)，探測器單元的間距，以及CT系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)的180個方向角。

圖1 CT系統(tǒng)工作原理

為了提高標(biāo)定的精度和穩(wěn)定性，需要對模板進(jìn)行最優(yōu)化設(shè)計。模板的設(shè)計圍繞以下3個目標(biāo)進(jìn)行：標(biāo)定精度盡量高；單個探測器的接收信息方差盡量大；探測器的利用率盡量高。

其中，“單個探測器的接收信息方差盡量大”這個目標(biāo)會充分利用探測器的量程，以對不同材質(zhì)起到更好的區(qū)分度。但是，此目標(biāo)將導(dǎo)致模板呈現(xiàn)直桿形狀，因為直桿形狀下的模板能讓單個探測器的接收信息從0變化到最大值。

而“探測器的利用率盡量高”這個目標(biāo)，會充分利用探測器資源。但是，此目標(biāo)將導(dǎo)致模板呈現(xiàn)半徑較大的圓形。因為半徑大的圓形在任何角度下都能被更多的探測器探測到。

綜上所述，在各個目標(biāo)的制約與均衡下，最終的模板主體形狀會是一個介于圓與直桿之間的形狀，即橢圓形。此外，為了能夠更加便捷地測定探測器間距，并能夠使模板產(chǎn)生不對稱性，以增大各個方向的接收信息區(qū)別，在橢圓右側(cè)引入一個圓。

故最終的標(biāo)定模板為一個橢圓與一個圓構(gòu)成的圖形，假定圓位于橢圓右側(cè)。在標(biāo)定模板的設(shè)計方案中，需要求解的參數(shù)有橢圓的離心率e，長軸長度a，圓的半徑r，圓心和橢圓中心的距離d。設(shè)定模板為均勻的單一材質(zhì)，吸收率μ為1。

2 多目標(biāo)規(guī)劃模型的建立

為了求解出最優(yōu)的標(biāo)定模板，針對上文中的待定參數(shù)，建立多目標(biāo)規(guī)劃模型，分別確定目標(biāo)函數(shù)和約束條件，過程如下所述。

2.1 目標(biāo)函數(shù)的建立

2.1.1 目標(biāo)函數(shù)一：標(biāo)定精度盡量高

由于接收信息經(jīng)過了增益等處理，結(jié)合Beer-lambert定律[4]，理論值可以通過下式計算。

(1)

2.1.2 目標(biāo)函數(shù)二:單個探測器接收信息方差盡量大

2.1.3 目標(biāo)函數(shù)三：探測器的利用率盡量高

2.1.4 目標(biāo)函數(shù)的轉(zhuǎn)化

對于三個目標(biāo)函數(shù)，求解的難度相對較大，因此，在保證目標(biāo)不變的情況下，可對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行一定的改進(jìn)。

目標(biāo)函數(shù)一可轉(zhuǎn)化為：max(d-b-r)2。目標(biāo)使圓與橢圓間隔盡可能大，根據(jù)探測器間距測量方法，能提高探測器間隔的標(biāo)定精度。

目標(biāo)函數(shù)二可轉(zhuǎn)化為：maxe。此目標(biāo)使得橢圓盡可能扁平，從而使得單個探測器接收信息方差盡可能大。

目標(biāo)函數(shù)三可轉(zhuǎn)化為：maxa2+b2，此目標(biāo)使得橢圓盡可能大，從而提高探測器利用率。其中，a為橢圓形模板的半長軸，b為橢圓的半短軸。

其示意圖如圖2所示。

圖2 待求解模板示意圖

考慮到所求的目標(biāo)函數(shù)都是要求最大值，因此首先考慮相加。但是因為數(shù)量級上有差異，首先要將其進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化[5]，建立一個目標(biāo)函數(shù)F。將上述三個目標(biāo)函數(shù)分別記作F1,F2,F3，則最終的目標(biāo)函數(shù)為:

(2)

2.2 約束條件的確定

約束條件一：橢圓長軸長度與離心率范圍的約束。一方面，橢圓要限定在托盤內(nèi)。文中的系統(tǒng)托盤寬度為100 mm。另一方面，橢圓不能與圓相交，由此得到如下兩個約束關(guān)系：

(3)

約束條件二：圓的半徑范圍約束。圓的半徑范圍一方面與橢圓離心率有關(guān)；另一方面，半徑和圓與橢圓中間距離也限定了圓不能超出托盤區(qū)域，關(guān)系式如下：

0

(4)

約束條件三：圓與橢圓相對位置關(guān)系的約束。為了能夠更加方便地測定探測器間距，要保持圓和橢圓之間有一定的間距，關(guān)系式如下：

(5)

3 基于PSO算法的優(yōu)化求解

根據(jù)新設(shè)計的模塊信息，可采用對參數(shù)遍歷的方式來達(dá)到多目標(biāo)規(guī)劃的最優(yōu)解。然而，考慮到需要對橢圓的離心率e，橢圓的長軸長度a，圓的半徑r、橢圓中心和圓心的間距d，分別進(jìn)行遍歷，計算量繁重且結(jié)果不精確。故根據(jù)收斂速度及求解精度的需要，采用PSO算法[6-10]對模型進(jìn)行求解。

PSO算法，即粒子群優(yōu)化算法，是由Eberhart和Kennedy基于群鳥覓食行為提出。在粒子群算法中，每個粒子都被當(dāng)成一只鳥。在群鳥覓食的過程中，每只鳥的初始位置和飛翔方向都是隨機(jī)的。每只鳥都不知道食物的具體位置。但是，隨著時間的推移，這些鳥通過相互學(xué)習(xí)、信息共享和不斷積累覓食的經(jīng)驗，自發(fā)組織積聚成一個群落，并朝著食物前進(jìn)。迭代終止的條件一般為目前搜索的最優(yōu)位置滿足目標(biāo)函數(shù)的最小容許誤差，或者達(dá)到了最大迭代次數(shù)。

在本例中，PSO算法的具體步驟如下：

步驟1：由于需要對橢圓的離心率e，橢圓的長軸長度a以及圓的半徑r、橢圓中心和圓心的間距d進(jìn)行遍歷求解，因此，首先確定一個四維粒子(a,e,r,d)，根據(jù)已經(jīng)確定的約束條件，在范圍內(nèi)對四維粒子進(jìn)行賦值。

(6)

步驟2：在已經(jīng)確定的約束條件下，進(jìn)行第一次選取。為了能夠得到全局最優(yōu)解，需要先設(shè)置100個粒子，粒子按照粒子運(yùn)動規(guī)律在全局范圍內(nèi)演變。在滿足最優(yōu)化目標(biāo)的條件下，從粒子群中選取較小的(a,e,r,d)作為下一次選取的上限：amax,emax,rmax,dmax。

步驟3：同理，在滿足最優(yōu)化目標(biāo)的條件下，從粒子群中選取較大的(a,e,r,d)作為下一次選取的下限：amin,emin,rmin,dmin。

步驟4：在已經(jīng)確定的上下限范圍內(nèi)進(jìn)行下一次選取。

(7)

步驟5：設(shè)定迭代次數(shù)。經(jīng)過測試，本例中的PSO算法大部分在31～73次迭代之后達(dá)到收斂條件。為了兼?zhèn)浣Y(jié)果的精確性和速度，選定最大迭代次數(shù)為100次。

在托盤尺寸為100 mm×100 mm，探測器為512組，旋轉(zhuǎn)180個角度的情況下，對表1中PSO算法的求解參數(shù)進(jìn)行求解。

表1 PSO算法參數(shù)值

借助MATLAB的粒子群工具箱，求得標(biāo)定模板的各項參數(shù)值，如表2所示，此時的目標(biāo)函數(shù)值為2.086 2。

表2 標(biāo)定模板的各項參數(shù)

4 不同算法對比

為了檢測PSO算法與其他優(yōu)化算法在求解本問題上的優(yōu)劣，分別采用爬山法[11-12]和遺傳算法[13-15]進(jìn)行求解。

爬山法是一種求解局部最優(yōu)解效果較好的算法。通過不斷與鄰居節(jié)點的函數(shù)值進(jìn)行比較，如果鄰居節(jié)點函數(shù)值較大，則用鄰居節(jié)點代替當(dāng)前節(jié)點，從而尋求到最優(yōu)解。若初值選取的不恰當(dāng)，爬山法往往找到的是局部最優(yōu)解。

遺傳算法是基于達(dá)爾文進(jìn)化論產(chǎn)生的一種隨機(jī)搜索算法，通過模擬自然界生物進(jìn)化過程尋找最優(yōu)解。包含復(fù)制、交叉、變異三種算子。對非線性問題有良好效果。

爬山算法和遺傳算法的參數(shù)如表3所示。

表3 爬山算法與遺傳算法求解參數(shù)

爬山法 遺傳算法 參數(shù)名參數(shù)值參數(shù)名參數(shù)值反射因子100種群數(shù)量100收縮因子0.729變異率0.01拓展因子1.494交叉率0.85全收縮因子1交叉方法均勻交叉

在MATLAB R2017b下，經(jīng)過求解，得到的迭代搜索對比如圖3所示。

圖3 不同算法迭代搜索圖

由圖可以看出，在本例中，爬山法容易陷入局部最優(yōu)解的狀況，在多次測試中，只有少數(shù)幾例由于隨機(jī)初值選取在全局最優(yōu)解附近，使得爬山法取得了全局最優(yōu)解，其他大部分情況均陷入了局部最優(yōu)解。而本例中存在4個維度的搜索，遺傳算法在高維問題的收斂速度較慢甚至很難收斂。

5 結(jié)束語

提出了一種基于PSO算法的標(biāo)定模板的設(shè)計方案。首先根據(jù)設(shè)計目標(biāo)確定標(biāo)定模板大致形狀，然后根據(jù)相關(guān)目標(biāo)與約束條件建立多目標(biāo)規(guī)劃模型，最后采用PSO算法求解出模板的參數(shù)，得到了在指定情況下的最優(yōu)化模板設(shè)計方案。與爬山法、遺傳算法的對比結(jié)果證明了PSO算法在本例中的優(yōu)越性。

但是，在運(yùn)行過程中，PSO算法同樣存在一些問題，例如求解參數(shù)的設(shè)置對最終結(jié)果影響很大，局部搜索能力較差，結(jié)果不穩(wěn)定等。因此，如何降低對參數(shù)的依賴性，提高結(jié)果的穩(wěn)定性和局部搜索能力，是下一步的研究方向。