一題多解在圓錐曲線極值求解中的應(yīng)用

李晨曦

（洛陽市第一高級(jí)中學(xué)，河南 洛陽）

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，往往需要花費(fèi)大量的時(shí)間去做習(xí)題，但是數(shù)學(xué)成績(jī)提高并不明顯，題海戰(zhàn)術(shù)并沒有帶來想要的結(jié)果。于是，有人抱怨，題海戰(zhàn)術(shù)已經(jīng)不適應(yīng)當(dāng)代孩子們、創(chuàng)新思維已經(jīng)被禁錮在大量的練習(xí)和考試中等。其實(shí)，對(duì)任何事情的看法都不應(yīng)以偏概全，客觀看待數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的題海戰(zhàn)術(shù)方法，并從中提煉出學(xué)習(xí)技巧，往往會(huì)獲得事半功倍的效果。比如，利用發(fā)散思維，從不同角度去解決同一個(gè)數(shù)學(xué)問題，即一題多解，久而久之，題海戰(zhàn)術(shù)就會(huì)演變成解題思維的靈活性和創(chuàng)新性。

新課標(biāo)要求全面培養(yǎng)高中生的思維能力，其途徑就是培養(yǎng)其數(shù)學(xué)思維能力，一題多解是掌握和運(yùn)用所學(xué)基本知識(shí)和技能，訓(xùn)練和培養(yǎng)思維的靈活性和創(chuàng)造性的重要途徑。由于每個(gè)人在解讀同一個(gè)問題時(shí)視角不同、知識(shí)運(yùn)用差異，因此，同一問題可能得到幾種不同的解法，這種方法可以讓我們多方思考、聯(lián)想推理以及合理轉(zhuǎn)化，提高數(shù)學(xué)解題能力和創(chuàng)新思維能力。下面以求圓錐曲線的離心率之和的最大值為例進(jìn)行闡述。

已知，如下圖，F(xiàn)1、F2是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，則橢圓和雙曲線的離心率倒數(shù)之和的最大值為多少？

這是一個(gè)求極值的問題，以下以三角換元法、向量法、二次函數(shù)法以及三角形法進(jìn)行解答。設(shè)橢圓方程為離心率為e1，雙曲線方程為，離心率為e2，由余弦定理可得

解法一：三角換元法

利用輔助角公式得：

解法二：向量法

解法三：二次函數(shù)法

假設(shè)P點(diǎn)在第一象限，且設(shè)在△PF1F2中，由余弦定理得

聯(lián)立①②式可得：

解法四：解三角形法

例題中解法一中利用換元法，利用設(shè)輔助角減少未知量的個(gè)數(shù)，利用三角函數(shù)求最值；解法二中巧妙利用設(shè)置向量，利用向量的定理求解；解法三將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解，解法四利用三角形的正弦定理求解等等，這些想法、技巧都是在日常大量的練習(xí)中培養(yǎng)出的邏輯思維。

一題多解激發(fā)了我學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。運(yùn)用平時(shí)積累的做題方法，通過歸納和整理，提煉出屬于自己的解題技巧。在解題過程中，既可以獲得成就感.還可以有機(jī)會(huì)將自己的解題方法、解題思路以及解題想法在同學(xué)面前展現(xiàn)，獲得老師的認(rèn)可，能清楚地意識(shí)到自己在學(xué)習(xí)中的創(chuàng)造性和自主學(xué)習(xí)的能力，極大地增強(qiáng)了學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，激發(fā)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，同樣也能感受到了數(shù)學(xué)的樂趣。

一題多解強(qiáng)化了我的邏輯思維。心理學(xué)研究表明，在解決問題的過程中，如果主體所涉及的不是生硬的模式化問題，那么就需要?jiǎng)?chuàng)造性的思維和技巧，而創(chuàng)造的過程或解決問題的過程即是獲得解題技巧。數(shù)學(xué)問題的解題技巧是指探求數(shù)學(xué)問題的答案時(shí)所采取的途徑和方法，利用技巧可以解決其他的數(shù)學(xué)問題，即學(xué)會(huì)了“漁”，而不是被動(dòng)地接受“魚”。