探究高中數(shù)學(xué)不等式的易錯(cuò)題型及解題技巧

龍泠羽

（湖南省石門(mén)縣一中，湖南 石門(mén)）

不等式的學(xué)習(xí)對(duì)于高中生來(lái)說(shuō)存在著一定的難度，而且也是其特別容易出現(xiàn)錯(cuò)的地方。因此，必須對(duì)高中數(shù)學(xué)不等式的易錯(cuò)題型進(jìn)行整理，并總結(jié)相關(guān)的解題技巧，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解與運(yùn)用，從而促進(jìn)其更好地學(xué)習(xí)不等式知識(shí)。

一、不等式與線(xiàn)性規(guī)劃相結(jié)合的題型與解題技巧

不等式與線(xiàn)性規(guī)劃相結(jié)合這一題型由于涉及的知識(shí)比較多，如面積計(jì)算、定義域以及最值等，一直都是高考中考核的重點(diǎn)，而這也是學(xué)生最容易出錯(cuò)的題型之一［1］。

例題1：已知不等式組y≤-x+2，y≥kx+1，x≥0表示的平面區(qū)域是面積為1的三角形，求實(shí)數(shù)k的數(shù)值？

三條直線(xiàn)圍成的圖形是三角形是這道題的難點(diǎn)與易錯(cuò)點(diǎn)。由于這道題是選擇題，所以只要準(zhǔn)確畫(huà)出三條直線(xiàn)的示意圖，之后再把四個(gè)選項(xiàng)代入其中，就可以發(fā)現(xiàn)選項(xiàng)B是正確答案。

這類(lèi)易錯(cuò)題型的解答技巧有兩個(gè)：第一，對(duì)于求函數(shù)最值的問(wèn)題，最重要的就是根據(jù)已知條件把其可行域準(zhǔn)確畫(huà)出來(lái)，并充分理解目標(biāo)函數(shù)所代表的幾何意義。第二，若是目標(biāo)函數(shù)中存在參數(shù)的話(huà)，就應(yīng)該分析目標(biāo)函數(shù)的結(jié)論，通過(guò)對(duì)圖形的動(dòng)態(tài)分析，準(zhǔn)確定位變化過(guò)程中的相關(guān)量，從而有效解決相關(guān)問(wèn)題。

二、高次不等式題型與解題技巧

高次不等式也是高中生很容易做錯(cuò)的題型，而造成其出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因有三個(gè)：首先，學(xué)生經(jīng)常會(huì)忽視題目中的某些隱藏要求，如在解答高次分式不等式的時(shí)候，學(xué)生就經(jīng)常會(huì)忘記分母不可以為零這一隱性要求；其次，學(xué)生有時(shí)候還會(huì)忘記某些特殊的區(qū)域；最后，學(xué)生在利用“穿根法”解題的時(shí)候，不能準(zhǔn)確判斷函數(shù)的升降。

例題 2：求不等式（x+3）·（x-2）·（x-4）≤0 的解集。

學(xué)生在解決這一問(wèn)題的時(shí)候，首先要把-3、2以及4這三個(gè)方程的零點(diǎn)在數(shù)軸上標(biāo)出來(lái)，這樣數(shù)軸就被分成了4個(gè)區(qū)間；之后，學(xué)生把最右邊的第一區(qū)間設(shè)為正，并根據(jù)正負(fù)相間，標(biāo)明每一個(gè)區(qū)域的正負(fù)號(hào)；最后，學(xué)生通過(guò)觀察圖示就可以得出這一不等式的解集是（-∞，-3］∪［2，4］。

這種高次不等式題型的解題技巧就是要學(xué)會(huì)利用函數(shù)圖線(xiàn)簡(jiǎn)圖對(duì)區(qū)間進(jìn)行準(zhǔn)確的劃分，同時(shí)還要注意到某些隱性的要求。

三、含參不等式題型與解題技巧

含參不等式由于在不等式中含有未知的參數(shù)，所以算是不等式中比較難的題型，在解題的過(guò)程中，學(xué)生需要分析未知數(shù)，并保證沒(méi)有遺漏、重復(fù)等問(wèn)題。

例題3：求關(guān)于x的不等式ax2-2x+1＞0（a為常數(shù)，a∈R）的解集。

在解這一問(wèn)題的時(shí)候，學(xué)生要對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論，也就是分別討論a＞0、a=0以及a＜0這三種情況。另外，在討論a＞0的時(shí)候，還要對(duì)Δ的值進(jìn)行區(qū)分。

這類(lèi)易錯(cuò)題型的解答技巧就是首先要把不等式看成一個(gè)函數(shù)，明確其定義域，之后再把函數(shù)的增減性當(dāng)作基礎(chǔ)，最后需要做的就是進(jìn)行分類(lèi)討論，需要注意的是，在分類(lèi)討論之后，必須對(duì)分類(lèi)的結(jié)果求并集，只有這樣，才能得到準(zhǔn)確的答案。

四、分式不等式題型與解題技巧

這種題型的解題思路與高次不等式差不多，但是由于學(xué)生忘記其中的隱性條件，所以成為一類(lèi)易錯(cuò)題型。

在解這一題的時(shí)候，學(xué)生首先需要把不等式變成（x-2）（x+1）（x-6）（x+2）≥0 這一形式，之后學(xué)生由題算出（x-2）（x+1）（x-6）（x+2）=0時(shí)的根為2，-1,6，-2。然后在序軸中標(biāo)出這四個(gè)零點(diǎn)，并通過(guò)穿根法得出結(jié)果為（-∞，-2］∪［-1，2］∪［6，+∞）。由于忘記了分式中分母不能為零的條件，很多學(xué)生把這一結(jié)果作為最終答案，這也就是其出錯(cuò)的原因。因此，學(xué)生應(yīng)該充分考慮分母為零的情況，繼續(xù)進(jìn)行解答，令（x+2）（x-2）≠0，從而得出該題的最終解集是（-∞，-2）∪［-1，2）∪［6，+∞）。

這一類(lèi)型不等式的解題技巧就是熟練掌握與運(yùn)用穿根法，從而使題目的難度降低，同時(shí)，在得出解集后，學(xué)生要充分考慮其臨界點(diǎn)，看其是否能夠納入解集的范圍，從而有效保證答案的正確性。

五、不等式恒成立題型與解題技巧

不等式恒成立這一題型通常是和抽象函數(shù)或者是數(shù)列聯(lián)系在一起的，而這也就使得其具有較強(qiáng)的抽象性，從而容易使學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤。

例題5（2014年陜西高考卷23題）：設(shè)函數(shù)f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)。（Ⅰ）令g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n∈N*，求gn（x）的表達(dá)式；（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（Ⅲ）設(shè)n∈N*，比較g（1）+g（2）+…+g（n）與n-f（n）的大小，并加以證明［2］。

這道題需要學(xué)生結(jié)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)以及不等式的相關(guān)知識(shí)求出閉區(qū)間上函數(shù)的最值，同時(shí)還需要對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行研究。這類(lèi)題的解題技巧就是要使用分離變量或者是構(gòu)造函數(shù)等方法，再通過(guò)基本不等式或者是函數(shù)的單調(diào)性等知識(shí)來(lái)求出答案。其中求最值的問(wèn)題可以將其轉(zhuǎn)變成基本不等式來(lái)進(jìn)行解答。

通過(guò)以上分析可以發(fā)現(xiàn)，與線(xiàn)性規(guī)劃相關(guān)的不等式、高次不等式、含參不等式、分式不等式以及不等式恒成立等題型是高中生容易出錯(cuò)的題型，因此，必須總結(jié)這些題型的解題技巧，并讓學(xué)生掌握函數(shù)簡(jiǎn)圖、穿根法等知識(shí)，從而使其有效避免錯(cuò)誤的出現(xiàn)，提高其數(shù)學(xué)成績(jī)。