帶有Neumann邊界波動方程初邊值問題的達朗貝爾類解

陳松林, 馬文冉

(安徽工業大學 數理科學與工程學院, 安徽 馬鞍山 243002)

振動問題是機械工程領域的基本的問題之一，例如，桿在剛體的縱向沖擊下的振動問題[1-2]；斜拉橋建筑中，載重橋梁本身存在振動問題，受風雨作用斜拉纜索也會發生振動，如何在纜索邊界施加控制約束，使其振動盡量少地影響橋梁也是一個具有實際意義的問題[3]。對于帶有初值條件的無界弦振動方程，達朗貝爾解法的物理思想是將弦振動視作兩列行波的疊加[4],而對于有限長的波動方程初邊值問題求解通常采用分離變量法求解[5-6]，但最后所得到的解為傅里葉級數的無限和形式，不便計算，而且對于非線性波動方程，基于疊加原理的分離變量法難以奏效。近年來，關于D’Alembert方法研究和推廣已有一些研究成果[7-14]，如有限長上具有阻尼邊界條件線性波動方程的達朗貝爾解，線性演化方程解的結構，耦合方程初值問題解的D’Alembert矩陣形式。本文將獲得有限長區間上帶有Neumann邊界的波動方程邊值問題閉形式解。

對于如下的初值問題

utt(x,t)-c2uxx(x,t)=0,-∞0

(1)

u|t=0=g(x),ut|t=0=v(x),-∞

(2)

對自變量做變換

(3)

可得到解的表示

(4)

這就是D’Alembert公式。由公式可以看出解具有這樣的結構

u(x,t)=φ(x+ct)+ψ(x-ct)

(5)

其中,

(6a)

(6b)

本文試圖通過延拓的方法來獲得帶Neumann邊界的有限長波動方程形如式(5)的解，稱為達朗貝爾類解。本文作如下安排第一節通過對時間t的逐步延拓來獲得帶有Neumann邊界的有限長波動方程的解，第二節通過對g(x)，v(x)的定義域進行延拓來獲得帶Neumann邊界的有限長波動方程的達朗貝爾類解。

1 關于時間t的逐步延拓解

1.1 問題分析

本文考慮下面的問題

utt-c2uxx=0,0

(7)

初始條件

u(x,0)=g(x),ut(x,0)=v(x),0≤x≤L

(8)

邊界條件

ux(0,t)=a,t≥0

(9a)

ux(L,t)=β,t≥0

(9b)

在有限長度范圍內波的行進會受邊界條件的影響，為方便，記時間常數τ=L/c,τx=x/c，ψk和φk表示分別含左右邊界第k次反射的波。例如圖1選取x=L/4時，波反射和疊加情況或在x-t平面上表示波的反射和疊加情況如圖2所示。

圖1 x=L/4處波的反射和疊加Fig.1 Reflection and superposition of waves at point x=L/4

根據示意圖1考慮到邊界反射知，當x

u(x,t)=

(10)

當x>L/2時，解可由式(11)表示

圖2 x-t平面上x=L/4處波的反射和疊加Fig.2 Reflection and superposition of waves at point x=L/4 on the x-t plane

u(x,t)=

(11)

當x=L/2時，解可由式(12)表示

u(x,t)=

(12)

當x=0時，解可由式(13)表示

(13)

當x=L時，解可由式(14)表示

(14)

1.2 對時間t延拓

下面就x

當0≤t≤τx時，這時兩個邊界點處的反射波還沒有到達x處，此時的解由D’Alembert公式直接給出

φ0(x+ct)+ψ0(x-ct)

(15)

其中，

(16)

(17)

當τx≤t<τ-τx時，從圖1可以看出此時段內由左邊界反射的波經過x處，而右邊界反射的波還沒有到達。即此時段的解為式(10)中的第二個式子，其中φ0已經知道，現要求出ψ1，我們可以通過式(13)及邊界條件式(9a)得到

(18)

即有

(19)

令x=-ct，上式兩邊同時對x積分可以得到

ψ1(x)=αx+φ0(-x)+k1

(20)

式中:k1為積分常數，由于波的連續性，所以在x=τx時由式(16)及式(20)，可以解出

k1=0

(21)

所以此時段的解為

u(x,t)=φ0(x+ct)+ψ1(x-ct)=

(22)

當τ-τx≤t<τ+τx時，在這個時段經過x處的波都是反射波，此時段的解由式(10)的第三行表示其中ψ1已經求出，現在需求出φ1。利用式(14)及邊界條件式(9b)得到

(23)

即有

(24)

令x=L+ct，兩邊同時對x積分可以得到

φ1(x)=βx+ψ0(2L-x)+k2

(25)

式中:k2為積分常數，由于波的連續性，所以在t=τ-τx時，由式(17)及式(25)解出

k2=-βL+V(L)

(26)

所以此時段的解為

u(x,t)=φ1(x+ct)+ψ1(x-ct)=

α(x-ct)+β(x+ct)-βL+V(L)

(27)

當τ+τx≤t<2τ-τx時，此時由右邊界反射的波再由左邊界反射到達x處，此時的解表示為式(10)的第四行。現φ1已知，ψ2未知，下面我們求ψ2。利用式(13)及邊界條件式(9a)我們有

(28)

即有

(29)

令x=-ct，上式兩邊同時對x積分可以得到

ψ2(x)=αx+φ1(-x)+k3

(30)

式中:k3為積分常數，由于波的連續性，所以在t=τ+τx時，由式(20)及式(30)解出

k3=0

(31)

所以在此時段的解為

u(x,t)=φ1(x+ct)+ψ2(x-ct)=

1/2(g(2L-x-ct)+g(2L+x-ct))-

1/2(V(2L-x-ct)+V(2L+x-ct))+

α(x-ct)+β(x+ct)+β(ct-x)-

2βL+2V(L)

(32)

當2τ-τx≤t<2τ+τx時，此時由右邊界反射的波再由左邊界反射到達x處，由左邊界反射的波再由右邊界反射也經過x處，所以此時的解可表示式(10)的第五行。現ψ2已知，下面我們求φ2。利用在x=L邊界條件式(9b)我們有

(33)

即有

(34)

令x=L+ct，兩邊同時對x積分可以得到

φ2(x)=βx+ψ1(2L-x)+k4

(35)

式中:k4為積分常數，由于波的連續性，所以在t=2τ-τx時，由式(25)及式(35)解出

k4=-βL+V(L)

(36)

所以此時段的解為

u(x,t)=1/2(g(x+ct-2L)+g(2L-ct+x))+

1/2(V(x+ct-2L)-V(2L-ct+x))+

α(2L-x-ct)+α(x-ct)+β(x+ct)+

β(ct-x)-2βL+2V(L)

(37)

因此，t在[0,2τ+τx)時間內解的構造情況如下表，表1是解中關于初始位移和初始速度產生的波，表2是解中關于邊界反射產生的波。

表1 初始條件產生的波Tab.1 The waves generated by the initial conditions

其中:ug(x,t),uv(x,t)分別為由初始位移和初始速度決定的波;ewα,ewβ,ewV為由邊界所產生的波，因此,t在[0,2τ+τx]時間內解的表達式如下

(38)

按照t在[0,2τ+τx]內求解的算法，繼續進行計算后便得到關于t在時間段[2kτ+τx,(2k+2)τ+τx)k=1,2,3,…的解的表達式

(39)

表2 邊界產生的波Tab.2 Waves produced by boundary conditions

2 關于初始速度和位移的延拓解

在前面所給的解比較繁瑣，因為xL/2時所對應的解的表達式不同，另外在上文的討論中由于在同一x處不同時刻反射波經過情況不同，因而所得的解的表達式是分段表示的，下面我們將尋找一種可以用一個表達式表達出來的解，即類似于D’Alembert公式的形式。

首先我們由邊界條件(9a)可以得到

ux(0,t)=φ′(0+ct)+ψ′(0-ct)=α

(40)

所以

ψ(x)=αx+φ(-x)+K1

(41)

由邊界條件式(9b)可以得到

ux(L,t)=φ′(L+ct)+ψ′(L-ct)=β

(42)

所以

φ(x)=βx+ψ(2L-x)+K2

(43)

式中:K1,K2為積分常數。

下面利用以上由邊界條件得到的關系依次對ψ(x),φ(x)的定義域進行延拓，即對g(x),v(x)的定義域的延拓,首先根據ψ(x),φ(x)在[0,L]的如下定義

(44)

(45)

當x∈[-L,0)?-x∈(0,L)由式(41)得

ψ(x)=α·x+φ(-x)+C1=

(46)

為了保證連續性所以在x=0時，由式(44)及式(46)解出

C1=0

(47)

所以在x∈[-L,0)時

(48)

當x∈(L,2L]?2L-x∈[0,L)由式(43)得

φ(x)=β·x+ψ(2L-x)+C2=

(49)

連續性所以在x=L時，由式(45)及式(49)解出

C2=-βL+V(L)

(50)

所以在x∈(L,2L]時

βL+V(L)

(51)

當x∈(2L,3L]?2L-x∈[-L,0)由式(43)得

φ(x)=β·x+ψ(2L-x)+C3=

β·x+α·(2L-x)+

(52)

為了保證連續性所以在x=2L時，由式(51)及式(52)解出

C3=-βL+V(L)

(53)

所以在x∈(2L,3L]時，

β·x+α(2L-x)-βL+V(L)

(54)

當x∈[-2L,-L)?-x∈(L,2L]由式(41)得

ψ(x)=α·x+φ(-x)+C4=

V(2L+x))-βL+V(L)+C4

(55)

為了保證連續性所以在x=-L時，由式(48)及式(55)解出

C4=0

(56)

所以在x∈[-2L,-L)時

(57)

當x∈[-3L,-2L)?-x∈(2L,3L]由式(41)得

ψ(x)=α·x+φ(-x)+C5=

α·x-β·x+α(2L+x)+

βL+V(L)+C5

(58)

為了保證連續性所以在x=-2L時，由式(57)及式(58)解出

C5=0

(59)

所以在x∈[-3L,-2L)時

ψ(x)=α·x+a(2L+x)-β·x+

βL+V(L)

(60)

當x∈(3L,4L]?2L-x∈[-2L,-L)由式(43)得

φ(x)=β·x+ψ(2L-x)+C6=

β·x+α·(2L-x+β(x-2L)+

βL+V(L)+C6

(61)

為了保證連續性所以在x=3L時，由式(54)及式(61)解出

C6=-βL+V(L)

(62)

所以在x∈(3L,4L]時

φ(x)=β·x+ψ(2L-x)+C6=

β·x+α·(2L-x)+β(x-2L)+

2βL+2V(L)

(63)

(64)

(65)

有關α,β,V(L)的項分別記為

ewal(x)=

(66)

ewβl=

(67)

ewVl(x)=

(68)

式中:k=1,2,3,…。

(69)

(70)

(71)

(72)

(73)

所以，

ewαl(x+ct)+ewβl(x+ct)+

ewVl(x+ct)

(74)

ewαr(x-ct)+ewβr(x-ct)+

ewVr(x-ct)

(75)

這樣所討論初邊值問題式(7)～式(9)的解

(76)

即具有D’Alembert行波解的形式。

3 延拓方法的應用

例現考慮下面方程初邊值問題

解對該類的初邊值問題，通常運用變量分離法通過特征函數求解得

(77)

法二：用式(76)計算

從上述計算可見，與運用變量分離法所得到的無窮級數解相比，本文運用法一，法二獲得的解是有限表示，計算方法簡便。

接著，分別用第二節方法得到的解式(38)式(39)和第三節方法得到的解式(76)，計算繪出在x=1/4處，t∈(0,4)時間內解的情況，圖3為繪出的圖像。若取式(77)中的前10項和以及前20項和，繪出的圖像見圖4和圖5，由此可見圖4和圖5越來越逼近圖3，這證實了本文所得結果的正確性。

圖3 本文兩種方法繪制解的圖像Fig.3 The image of the solution is drawn by two methods in this paper

圖4 分離變量法n=10時解的圖像Fig.4 Image of the solution obtained by separating variable when n=10

圖5 分離變量法n=20時解的圖像Fig.5 Image of the solution obtained by separating variable when n=20

以上均為數學軟件Mathmatica上運行出的結果。

4 結 論

本文首先通過對時間t的逐步延拓獲得了帶有Neumann邊界的有限長波動方程的解的表示，但是在求解時需要根據不同的x,t判斷用哪段表達式求解，比較繁瑣。第三部分先對g(x),v(x)定義域進行延拓，最終獲得具有D’Alembert解的形式，輸入x,t可以直接得到結果。另外和分離變量法相比，本文兩種方法獲得的解均是有限表示，不是無限和的形式；此處分離變量法在求解過程中要用到疊加原理，因而對于非線性問題是不適用的。接下來我們將利用本文的研究方法探索研究一些非線性以及方程組問題，希望可以獲得一些新的結果。