隨機應變求最值

曾秀云

摘 要：在初中數學中，最值問題是較為常見的一類問題，學生遇到求最值方面的問題時，常感到較為困難，這是因為一方面學生對求最值的常用方法不能從整體上把握，另一方面轉化的思想和數學建模能力有所欠缺。因此，教師應注重求最值的常用方法的介紹和培養學生靈活、綜合運用數學知識的能力。在教學實踐中對這類問題進行了匯總、分類，歸納出如下幾種求最值的基本方法：構造不等式模型求最值，構造函數模型求最值，利用軸對稱思想求最值，構造輔助圓求最值等。希望學生能掌握求最值的基本思想方法，做到隨機應變求最值。

關鍵詞：函數；輔助圓；對稱；基本不等式

在初中數學中，求實際問題或圖形中某種量的最值是一種常見的題型，筆者在教學過程中發現：學生在遇到這類問題時，常感到無從下手，找不到解決問題的思路、方法。這類問題，可考查學生對數學基礎知識、基本技能的掌握情況，及靈活運用數學知識的能力，同時也展示了學生數學核心素養的差異。如果說數學中函數與圖形的性質是一頂皇冠，那么最值問題就是皇冠上最璀璨的一顆明珠！有鑒于此，筆者認為，教師應注重培養學生求最值方面的能力，讓學生切身體驗數學的應用價值和獨特魅力，逐步培養學生愛數學、學數學、用數學的思想意識，踐行新課程改革的精神。

在教學實踐中，筆者發現最值問題的表現形式多種多樣，數的方面，有求實際問題中某種量的最值；圖形方面有求最短距離，線段的長的最值，有求封閉圖形周長和面積的最值等。不同的題型，不同的條件，求解類似的結果。這就要求學生能依據問題的特點，靈活選擇解決問題的途徑和方法。在教學實踐中，我對這類問題進行匯總、分類、解析，歸納出如下幾種類型，與業內同行交流，不足之處還請斧正。

一、構造不等式模型求最值

生活中同類的量之間有相等的情況，和相等的情況相比，不等的情況更為普遍，不等式（組）是刻畫不等關系的數學模型。當實際問題中的某種量受到一些不等關系的約束時，我們可以建立不等式（組）模型，求出該種量的最值。

例1.某舞臺劇在市藝術中心舉行，觀眾在門口等候檢票進入大廳，且排隊的觀眾按一定的速度增加。檢票的速度是一定的，當開放一個大門時，需用半小時待檢觀眾才能全部進入大廳；當開放兩個大門時，只需十分鐘；現在想提前開演，必須在五分鐘內全部檢完票，問至少需同時開放多少個大門？

答：至少需同時開放4個大門。

二、構造函數模型求最值

我們生活在一個變化的世界中，世間萬物皆有關聯，初中階段函數是刻畫兩個相關聯的變量之間關系的數學模型，是初中數學知識體系的重要組成部分，也是難點之一，函數是最值問題和圖形最值問題的重要載體，構造函數模型求實際問題中某種量的最值是中考重點考查的內容，這類問題主要有如下兩種情況：

1.求實際問題中某種量的最值

這種類型以銷售類的實際問題較為常見，可構造的函數模型涵蓋一次函數、反比例函數、二次函數、分段函數等，解決問題的思想方法較為成熟，限于篇幅不再列舉。

2.最優化問題

在現實生活和生產中，有諸如“材料最省”“利潤最大”“成本最少”“造價最省”等，這類問題可稱之為“最優化問題”，可考慮構建二次函數模型解決。

例2.為了節省材料，某水產養殖戶利用水庫的岸堤（岸堤足夠長）為一邊，用總長為80m的圍網在水庫中圍成了如圖所示的①②③三塊矩形區域，而且這三塊矩形區域的面積相等，設BC邊的長為xm，矩形區域ABCD的面積為ym2。

（1）求y與x的函數關系式，并注明自變量x的取值范圍；

（2）x為何值時，y有最大值？最大值是多少？

解析：本題的關鍵在于準確求解第（1）小題。

解（略）

三、利用軸對稱思想求最值

生活中處處都有對稱美，精致的窗花、壯觀的天安門、和諧的樹葉、翩翩的蝴蝶等。可以說我們生活在一個對稱的世界中，對稱顯得端莊、沉穩，讓人有踏實感；對稱能讓我們由局部認識整體，由已知認識未知，見微知著，一葉知秋。在我們數學領域，對稱思想是一種很重要的數學思想，在解決幾何最值方面有強大的威懾力，我們研究的函數圖象，特殊四邊形，圓和正多邊形無不具有軸對稱性，運用軸對稱思想既可求幾何問題的最值，還具有確切的經濟價值和現實意義。

前面列舉了初中數學中求最值的幾種常用方法，以期同學們能夠從整體上把握求最值的思想方法，誠然，最值問題類型繁多，表現形式各異，有構造三角函數求最值，有曲面上的最值問題，有視圖方面的最值和坐標平面內某一平面圖形面積的最值等。最值問題既像龍宮里奪目的夜明珠，又像深山中最珍貴的草藥，若隱若現，若即若離，它激勵我們去追求與采擷。我們要不畏艱辛，奮力進取，學會隨機應變求最值，切身體會最值的唯美特質，進而學會在生活中去發現美、鑒賞美、創造美，培育數學核心素養中的數學美學理念。

參考文獻：

[1]胡炯濤.數學教學論[M].廣西教育出版社，1996-01.

[2]莫由著.90年代的數學教育：國際性展望的綜述[J].數學教學，1989（3）.