基于萊溫伯格-馬夸特的TDOA測向算法研究

侯東升,崔遜學(xué)

(陸軍炮兵防空兵學(xué)院 a.研究生管理大隊; b.六系,合肥 230031)

0 概述

近年來,隨著傳感器與通信領(lǐng)域的發(fā)展,基于到達(dá)時差(Time Difference of Arrival,TDOA)的聲陣列定位算法引起了廣泛關(guān)注。當(dāng)輻射源距離陣列很遠(yuǎn)時,人們難以直接通過TDOA雙曲線交叉方法精確估計輻射源坐標(biāo)。但如果在不同位置分散部署多個陣列,便可以利用各陣列所接收到的信號平面波之間的時差來估計波達(dá)方向(Direction of Arrival,DOA)[1-2]。該過程計算量小、易于實現(xiàn),且只要求傳感器之間滿足嚴(yán)格時間同步,因此,便于在實際中操作與應(yīng)用[3]。

文獻(xiàn)[4]較早提出基于時差的輻射源方向問題,其設(shè)計一種線性最小二乘(Linear Least Squares,LLS)測向算法,由3個分量構(gòu)成的DOA矢量估計可計算出輻射源的方位角和俯仰角。LLS算法具有簡捷、易操作的特點,且其提供的解方案是閉式的。

基于時差的測向問題最近得到較多關(guān)注,特別是在槍聲定位等公眾安全領(lǐng)域。如果測向陣列是固定結(jié)構(gòu),則可通過聯(lián)合建立若干個TDOA測量方程并利用三角函數(shù)關(guān)系來求解三維空間中輻射源的方位角和俯仰角[5]。當(dāng)陣列結(jié)構(gòu)屬于不規(guī)則拓?fù)湫螤顣r,可采用文獻(xiàn)[4]提出的LLS算法來獲得DOA估計的閉式解。但 LLS算法的不足之處在于當(dāng)TDOA測量噪聲較大時,會干擾DOA的估計結(jié)果,使算法性能下降。

如果知道輻射源現(xiàn)場傳播信號的速度參量,例如對于聲信號而言,通過測量現(xiàn)場的氣象參數(shù),則可計算出實際聲速的估計值[6],再結(jié)合LLS算法的DOA估計結(jié)果,即通過采用一些優(yōu)化方法可以直接獲得輻射源方位角和俯仰角這2個變量的估計值。文獻(xiàn)[7]提出采用智能優(yōu)化方法來搜索得到這2個參變量的估計值,但需人工設(shè)置較多參數(shù),不利于工程實現(xiàn)。

有研究結(jié)果表明,由多個到達(dá)時差測量值構(gòu)成的測量方程具有非線性的特點,通常需要將其轉(zhuǎn)換為線性方程組后再進(jìn)行求解。文獻(xiàn)[8]提出的泰勒級數(shù)展開法(以下簡稱Taylor算法)對處理非線性方程組十分有效,且操作步驟較易設(shè)計,文獻(xiàn)[9-10]即提供了Taylor算法的具體過程和步驟。但由文獻(xiàn)[11]可知,Taylor算法為局部收斂迭代算法,對初始值要求較高,迭代初始值必須接近于真實值,否則會發(fā)生局部最小化現(xiàn)象或者不能保證結(jié)果收斂[12]。

針對上述方法存在的問題,本文以聲音在空氣中傳播的測向問題作為應(yīng)用背景,提出一種基于萊溫伯格-馬夸特(Levenberg-Marquardt,LM)[13]的測向算法。用LLS算法求出的閉式解作為LM算法的初始方位估計,通過LM算法直接求得輻射源的方位,以進(jìn)行對聲源方位的高精度估計。在實驗環(huán)節(jié)將LLS算法、Taylor算法和本文提出的LM算法進(jìn)行性能比較,以驗證本文LM算法的定位性能。

1 基于時差測向模型

三維空間測向問題示意圖如圖1所示。

圖1 三維空間輻射源測向示意圖

(1)

其中,3個分量kx、ky、kz分別為輻射源DOA在3個坐標(biāo)軸上的單位投影。在本文中,符號上方有“^”的值為估計值或測量值,否則為真實值。

通常假定第0個傳感器為TDOA的測量基準(zhǔn),其位于坐標(biāo)系原點,則存在如式(2)所示的TDOA測量方程。

(2)

則式(2)變?yōu)槿缦戮仃囆问?

cτ=SK

(3)

由于真實TDOA值無法獲得,實際測量結(jié)果均存在測量誤差,用Δτ表示TDOA的測量誤差矢量,則:

(4)

傳統(tǒng)的LLS算法通過對式(3)進(jìn)行求解,得到如下的估計結(jié)果[4]:

(5)

(6)

根據(jù)DOA在三維空間的三角函數(shù)關(guān)系,方位角和俯仰角的估計值可分別表示為:

(7)

2 LM測向算法

本文LM算法對初值的要求較低。將LLS算法的估計結(jié)果作為LM算法的初值,完全可以滿足要求。在此基礎(chǔ)上進(jìn)行迭代運算,可以提高方位估計的精度。

將式(2)變換為:

(8)

則目標(biāo)函數(shù)定義為:

(9)

(10)

將式(10)右邊取最小化,則:

(11)

為避免計算海森函數(shù)的二階信息,將式(11)化簡,結(jié)果為:

(12)

(13)

λk=λk-1/1+α

阻尼因數(shù)更新后,根據(jù)式(12)更新增長矢量,然后根據(jù)式(13)更新方位估計,循環(huán)運行該過程,直至方位估計增加矢量足夠小。

總結(jié)上述過程,可將LM算法的步驟表示為:

算法1LM測向算法

輸入傳感器數(shù)目及其坐標(biāo)、TDOA測量值、迭代精度EPS

3 誤差分析

3.1 克拉姆-拉奧下界

由式(8)可得測量方程為:

(14)

(15)

通過一些數(shù)學(xué)處理可以得出費歇爾信息矩陣:

(16)

其中:

則克拉姆-拉奧下界(Cramer-Rao Lower Bound,CRLB)為:

CRLB=FIM-1(γ)=((F)TW-1(F))-1

(17)

3.2 均方差估計

命題LM算法估計結(jié)果的均方差為:

MSE(Δγ)=((h(γ)))-1

(18)

(19)

由式(17)可得:

(20)

cov(Δγ)=(h(γ))-1

(21)

將式(21)與克拉姆-拉奧下界進(jìn)行比對:

cov(Δγ)= (h(γ))-1=

(c(F)T(c2W)-1(c(F)))-1=

4 實驗驗證

4.1 累積分布函數(shù)

4.1.1 參數(shù)設(shè)置

本次實驗的性能評估指標(biāo)是測向誤差的累積分布函數(shù)(Cumulative Distribution Function,CDF)。CDF描述實數(shù)隨機變量的概率分布情況,其值越大,表示算法性能越好。輻射源測向誤差為輻射源的估計方向與真實方向之間的差值。模擬實驗以聲源測向為背景,具體參數(shù)設(shè)置如下:

1)采用Matlab工具,每輪蒙特卡洛模擬均運行10 000次實驗,LM算法和Taylor算法的迭代精度閾值為10-5。

2)傳感器的位置隨機部署,其x軸和y軸坐標(biāo)在15 m半徑的圓形內(nèi),z軸坐標(biāo)在 [-5 m,5 m]的范圍內(nèi)。這與通常的聲探測野外部署條件相似,且DOA估計結(jié)果位于合理范圍內(nèi)。

3)輻射源方位角與俯仰角的取值范圍均為[30°,60°]。

4)考慮傳感器數(shù)目變化,實驗分2種情形:傳感器數(shù)目較少,在[4,8]范圍內(nèi)隨機選取;傳感器數(shù)目較多,在[8,12]范圍內(nèi)隨機選取。

5)TDOA測量誤差服從高斯分布,不考慮測量的系統(tǒng)偏差問題。標(biāo)準(zhǔn)偏差在[0,20]范圍內(nèi)隨機選取(單位為ms)。

6)由于LM算法和Taylor算法需要聲音的速度參量,模擬現(xiàn)場測量的氣象條件為:氣溫20 ℃,風(fēng)速10 m/s,風(fēng)向為π/3 。野外環(huán)境下氣象參數(shù)通常會隨著時間而改變,假定氣溫變化范圍為±5°,風(fēng)速變化范圍為±6 m/s,風(fēng)向變化范圍為±π/8 。實驗中根據(jù)文獻(xiàn)[6]方法計算現(xiàn)場聲速的估計值。

7)如果迭代后輸出的結(jié)果中包含如下情況:方位角超出其周期2π的整數(shù)倍或俯仰角超出其周期π的整數(shù)倍,則相應(yīng)加上或減去若干個各自的周期值,使得估計結(jié)果位于合理的角度范圍內(nèi)。否則,在統(tǒng)計測向誤差和精度時會產(chǎn)生很大的不合理偏差。

4.1.2 實驗結(jié)果

傳感器數(shù)目在[4,8]范圍內(nèi)隨機選取時實驗結(jié)果如圖2所示,傳感器數(shù)目在[8,12]范圍內(nèi)隨機選取時實驗結(jié)果如圖3所示。由圖2、圖3可以看出,LM算法具有最佳的性能,Taylor算法次之,LLS算法性能表現(xiàn)最差。另外,當(dāng)傳感器數(shù)目較多時,3種算法對方位角的估計性能幾乎相同,原因是傳感器的x軸和y軸坐標(biāo)均在半徑為15 m的圓內(nèi)取值,較多的傳感器數(shù)目使得各算法的方位角估計性能接近一致。

圖2 傳感器數(shù)目較少時算法DOA估計誤差的CDF值

圖3 傳感器數(shù)目較多時算法DOA估計誤差的CDF值

4.2 迭代算法性能分析

本次實驗對Taylor算法和本文LM算法的不收斂率與平均迭代次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計,以比較算法的性能。

傳感器數(shù)目較少時的實驗結(jié)果如表1所示,傳感器數(shù)目較多時的實驗結(jié)果如表2所示。由表1、表2可以看出,相對Taylor算法,LM算法在不收斂率及平均迭代次數(shù)上性能優(yōu)越且穩(wěn)定。另外,在實驗中測得傳感器數(shù)目為6時,Taylor算法不收斂率很高,主要原因是傳感器數(shù)目少,LLS算法的DOA估計結(jié)果與真實值并不很接近,而Taylor算法對初值有很高的要求,當(dāng)LLS算法的DOA估計結(jié)果作為Taylor算法迭代的初值時,必然會導(dǎo)致Taylor算法的不收斂率增高。

表1 傳感器數(shù)目較少時算法性能比較

表2 傳感器數(shù)目較多時算法性能比較

4.3 均方根誤差

4.3.1 參數(shù)設(shè)置

本次實驗以測向的均方根誤差(Root Mean Square Error,RMSE)作為性能評估指標(biāo)。RMSE描述方位估計偏差[16],能夠反映測向的精度。實驗主要參數(shù)設(shè)置如下:

1)TDOA測量誤差服從高斯分布,不考慮測量的系統(tǒng)偏差問題。標(biāo)準(zhǔn)偏差取值范圍為[10,20](單位為ms)。

2)傳感器數(shù)目固定為8個,當(dāng)?shù)谝粋€傳感器坐標(biāo)平移后設(shè)置為坐標(biāo)原點時,一組隨機生成的陣列坐標(biāo)如下:(0,0,0),(0.63,1.70,-3.45),(6.56,9.85,-6.38),(1.60,15.33,0.45),(7.66,5.28,1.55),(18.22,8.28,-5.55),(-1.96,24.40,-3.21),(14.37,11.49,1.54) (單位為m)。

3)輻射源方位角與俯仰角取值均為45°。

4.3.2 實驗結(jié)果

各算法RMSE實驗結(jié)果如圖4所示,其中,CRLB線為克拉姆-拉奧下界曲線。由圖4可以看出,在測量噪聲較高時,LM算法的性能能夠達(dá)到測向誤差的CRLB,表明其具有較高的有效性和魯棒性。

圖4 不同算法DOA估計的RMSE值

5 結(jié)束語

本文研究聲源測向問題,提出一種基于萊溫伯格-馬夸特的測向算法LM。該算法能夠較好地解決TDOA測量噪聲干擾測向精度的問題,并且避免Taylor算法對初值要求較高及結(jié)果不收斂的現(xiàn)象。實驗結(jié)果表明,相對LLS算法、Taylor算法,該算法性能優(yōu)越,能夠達(dá)到克拉姆-拉奧下界。但在某些環(huán)境下,若聲速偏差較大會嚴(yán)重干擾本文算法的測向精度,解決該問題將是今后的研究重點。