基于改進的社會力模型對相向運動人群流中自組織現象的模擬

鄧宇菁，胡列格，馮頁新

（1.湖南警察學院交通管理系，長沙 410138；2.長沙理工大學交通運輸工程學院，長沙 410138；3.湖南大學物理與微電子科學學院，長沙 410138）

0 引言

在社會動力學（Social Dynamics）研究中，對人群集體運動行為進行理論研究及計算模擬是近年來的研究熱點之一[1]，該類研究在應用和理論領域都有著重要意義[2-4]。隨著人類社會的高速發展、城市化過程的不斷增速，對人群集體運動的規律進行研究在市政和交通設施的建設、危機情況處理、城市交通規劃等領域發揮著更加重要的作用[1-8]。另外，對人群集體運動行為進行理論研究和計算模擬也一直是基礎研究中的難點課題之一。

近年來，理論研究發現當人群大量聚集，密度達到臨界值后，行人之間的相互作用發揮了重要影響，而這種作用力往往會引發很多自組織現象發生。同時，研究表明類似行為并不是人群運動中的獨有現象。在眾多的自驅動顆粒的集體運動中都會出現類似自組織現象。研究者們對人群運動中的自組織行為進行研究已有近半世紀的歷史。早期的此類研究主要以實驗觀測為主；而隨著研究的不斷深入和高性能計算機的高速發展，理論研究特別是計算模擬起到愈來愈重要的作用。而近期，由于各種新方法的發展和計算能力的快速提高，這類自組織現象吸引了人們更多的研究興趣。在這些新方法中，Helbing等人發展的社會力模型[9,10]，正是最流行的一種人群運動模型。社會力模型已經成功預測出很多人群集體運動中出現的獨特模式和行為（例如人群疏散中的阻塞效應，快即是慢現象）[9-14]。而自從社會力模型被人們廣泛應用，就不斷有研究者們對它進行改進、修正和進一步發展[15-22]。其中，筆者和合作者們在近些年發現行人的心理因素和行人運動的隨機性對人群的運動發揮著重要的影響[21]。因此，我們基于傳統的社會力模型，在其基礎上引入兩個變量：焦慮因子和隨機因子，并構建了改進的社會力模型。我們發現該模型可以準確地描述人們的心理因素和隨機行為對人群集體運動的影響，從而能夠更加準確地模擬人群的疏散行為。

在本文中，我們基于上述改進的社會力模型，對人群相向運動時的自組織行為開展了計算模擬研究，重點關注該過程中的行道形成現象（Lane Formation）。我們成功地在計算模擬中再現了現實生活中觀察到的人群分流現象，并對該現象的實時過程進行了細致的模擬。我們的模擬結果表明，在特定情況下，人群相向而行30秒后會出現人群分流的跡象，而在200秒后可以達到穩定的集體運動模式。同時，我們對人行道的寬度、人群密度對該自組織現象的影響進行了分析。計算結果表明當人行道寬度增加時，會出現多組相對運動的人流，而人群密度增加時，則需要經過更長的時間人群才能達到穩定的集體運動模式。我們的研究可以幫助研究者們更好地理解人群集體運動中的自組織現象和集體行為，對道路交通設置的設計、建設有積極的作用。

1 計算方法：改進的社會力模型

傳統的社會力模型的主要思想是采用類似于牛頓方程的動力學方程描述人群的集體運動行為[9,0]：

該公式中，mi代表行人質量，vi代表行人的速度矢量，行人沿著單位矢量的方向具有大小為的期望速度（Desired Velocity），該期望速度的數值存在上限vmax，τi表示行人速度變化的響應時間，我們用描述行人在運動過程中受到的作用力。

這里，fij描述不同行人之間的作用力，具有下列形式:

其中，Aiexp[rij-dij]/Bi代表行人間的排斥相互作用（由行人的社會性決定），Ai和Bi是常數，我們在這里用kg(rij-dij)來描述行人間的排斥相互作用，而用來表示行人間的摩擦作用力。

另外，fiW表示行人與邊界間的相互作用,形式和fij相似：

在本文中，我們在改進的社會力模型中額外引入了行人運動的隨機性。因此，我們在標準的社會力模型中引入一個新的參數：隨機因子。

具體來說，行人的運動有別于普通的物質顆粒。無生命顆粒的運動是機械式和決定性的；而行人的運動具有一定的隨機性和不確定性。因此，我們在社會力模型中考慮隨機因子trandom對行人運動的影響。行人下一步的速度并非由動力學方程完全決定，具體來說，我們在決定期望運動方向的單位矢量e0i(t)上引入隨機性的影響。因此，修正后的單位矢量表示成下列形式：

其中，erandom是單位矢量，它的方向是隨機決定的；trandom是隨機因子，無量綱，它決定隨機行為所占的比重。在本文中，我們采用的隨機因子范圍是[0,1]；e0i(t)'是修正后的單位矢量，它表示經過修正后的期望運動的方向。

2 模擬結果分析

隨著人類社會的發展和城市化進程的推進，在大城市中常常會出現人群聚集的現象。如果我們稍加留意，就會發現很多人群集體運動的自組織現象。如圖1所示，相向運動的人流會自發形成“Lane Formation”，這就是人群集體運動中自組織現象的典型代表。為了研究人群中的這類自發行為，研究者們借助不同的計算模擬（包括社會力模型、元胞自動機模型、流體動力學模型，等等）進行了大量的研究。

圖1 對向運動的人群中的行道形成（Lane Formation）現象（a）低人群密度情況；（b）高人群密度情況

最近，我們采用改進的社會力模型成功研究了人群的集體疏散行為。我們的計算結果總結在圖2（a）中，如圖所示，我們考慮一個尺寸為15m×15m的房間，房門寬度是1.2m。行人的質量分布于[70kg,90kg]的范圍內，行人半徑ri則在[0.35m,0.45m]范圍內平均分布。計算中的其他參數總結如下：τi=0.5s，vmax=7m/s，κ=2.4×105kg s-1，k=1.2×105kg s-1，Ai=2×103N，Bi=0.08m，行人的最大速度被限制在10m/s以內。人群疏散是一個典型的人群集體運動問題。我們基于改進的社會力模型對人群疏散行為進行了計算模擬。模擬結果顯示，在行人密度較大、行人間距離較小的恐慌性、競爭性疏散模式下，心理因素和隨機因素對人群的運動行為有明顯的影響。在疏散過程中，行人一定程度的心理焦慮會提高人群的疏散效率；但過高的焦慮程度則不利于人群的快速疏散。另外，行人運動的隨機性也會明顯縮短人群疏散時間；但是隨機因子的具體數值在一定范圍內并不會明顯影響行人的疏散效率。

圖2 （a）人群在尺寸為15m×15m的房間內疏散的模擬結果呈現出典型的阻塞現象;（b）相向運動的人群表現出典型的行道形成現象

在本文中，我們采用同樣的模型，對相向運動人群中的行道形成現象進行系統研究。如圖2（b）所示，我們首先考慮人行道總寬度為5m，人群密度為1人/m2，行人運動平均速度為1m/s，分別向左右運動的行人數目相等（分別用五星和圓球表示）。模型的左右邊界我們采用周期性邊界條件進行模擬，以保持人流的穩定運動。由模擬結果我們可以看到，在模擬時間達到200s后，相向運動的人群自發形成了各自的行道，成功再現了現實中觀察到的Lane Formation現象。

圖3中展示了行道形成現象的實時分析。從圖3（a）到圖2（d），模擬時間分別從 10s增加到 200s。基于計算機模擬結果，我們發現模擬時間為10s時，人群的分布呈現隨機特性，并沒有人群分流跡象的出現。而隨著時間的推移，當模擬時間達到30s至80s時，出現了自發行道形成的初步形態。而當模擬時間達到200s時，人群運動形成了穩定的相互分開的行道。更長時間的模擬結果和圖3（d）中顯示的模式保持一致。

圖3 行道形成現象的實時分析

圖4 更寬的人行道中行道形成現象的實時分析

為了更好地理解人群集體運動中的行道形成現象，我們繼續研究了人行道寬度和人群密度對該自組織行為的影響。如圖4所示，當人行道寬度增加到20m，而人群密度保持不變時，人群自發形成行道分離的行為與上文的結果類似。當模擬時間達到80s時，出現行道形成的初步跡象。而當時間達到200s時，人群形成了穩定的分離行道。

另外，人群的密度會對人群運動產生更重要的影響。如圖5所示，人群密度達到2人/m2時，計算模擬中需要更長的時間，人群中才會形成穩定的分離行道。計算結果表明當模擬時間到達200s時，初步的行道分離跡象出現（圖5（a））。而時間達到1000s以上時，穩定的運動模式才會出現（圖5（b））。因此，我們發現與人行道寬度相比，人流的密度是影響相向人群自組織行為更加重要的因素。

圖5 更密集人群中行道形成現象的實時分析

3 結語

綜上所述，本文在社會力模型的基礎上，考慮了行人運動時的隨機特性對人群運動的影響，并對社會力模型進行了修正。采用改進后的社會力模型，我們對人群集體運動中的自組織現象進行研究，重點關注相向運動的人群中的行道形成現象。通過模擬，我們再現了現實生活中發現的人群疏散過程中的阻塞效應，以及人群對向運動時的行道形成現象。通過研究不同時間節點下的人群分別情況，我們對行道形成的實時行為進行了研究分析。此外，我們詳細研究了人行道的寬度和人群密度對人群自組織行為的影響。計算模擬表面，人行道寬度不會顯著影響行道形成的過程，說明該過程表現出一定的局域特性。而人群密度的增加會減慢行道形成過程的完成。綜上，我們的計算模擬結果可以幫助研究者們更深入地理解人群運動中的自組織現象，為交通設施的設計和建設提供理論依據。