關注數列性質，探究數列問題

王佩其

等差數列與等比數列有一些值得注意的性質特征，這些性質特征是我們巧妙解題的突破口，也是優化問題解題過程的“綠色通道”，讓我們一起來探究.

一、“子數列”性質的應用

評注 本例是等差數列“子數列”性質中“等距抽取”問題，分析的關鍵在于新數列中的項是從原等差數列中“等距”抽取出來的，故仍成等差數列，但產生了新的公差.

例2 對任意等比數列{an}，下列說法一定正確的是

（）

A. al，a3，a9成等比數列

B.a2，a3，a6成等比數列

C. a2，a4，a8成等比數列

D.a3，a6，a9成等比數列

思路探究 考察四個選項中的等比數列{a n}的子數列的下標成什么數列.

解 因為數列{a n}是等比數列，又3，6，9成等差數列，所以以a3，a6，a9。成等比數列.選D.

二、“下標和”性質的應用

評注 1.本例（1）的解法很多，其通法是用等比數列基本量的運算，但是這種方法有時會很麻煩，遇到此類問題時應優先考慮結合性質，以化繁為簡.

2.等比數列的性質中，尤其以“下標和”性質應用最多，最靈活，但使用時一定要區別其與等差數列“下標和”性質的不同，以免混淆致誤，比較如下表：

三、數列前n項和的性質

例6 （1）已知等比數列{a n}中，前10項和Sl0=10，前20項和S20=30，求S30

（2） 一個等比數列的首項是1，項數是偶數，其奇數項的和為85，偶數項的和為170，求此數列的公比和項數.

思路探究 （1）列出關于a1，q的方程組能求解嗎？S10，S20- S10，S30- S20是否成等比數列？用這一性質能解決嗎？（2）“奇數項之和”、“偶數項之和”的含義是什么？你能使用等比數列前n項和的性質求解嗎？

評注 解決本例有兩種思路：用等比數列的前n項和公式直接求解，屬通性通法；用性質求解，方法靈活，技巧性強，使計算簡便.等比數列前n項和還有項的個數的“奇偶”性質：等比數列{a n}中，公比為q.