賞析三角形中解題的“中庸之道”

宋廣志

“中庸之道”原本指不偏不倚，折中調和的處世態度.在含三角形的問題中，恰當地運用“中庸”的解題策略——取中線，會起到事半功倍的作用.要想運用好中線，首先要知道三角形中線的三種常見“中庸”形式：

在△ABC中，D為BC的中點：

三種形式都有其自身的特點：

形式1是把兩個向量之和轉化為一個向量；

形式2就是中線定理，表示中線和三條邊之間的數量關系；

形式3是極化恒等式，即向量數量積與線段長之間的轉化.

在有關三角形向量題目中合理運用這三個特點，可以迅速地找到問題的突破口，打開思路.

點評本題是求四邊形兩對角線向量的數量積，抓住數量積的運算關鍵，兩個向量的起點要相同，所以必定要將其中一個向量進行轉化，根據題意，最好將向量轉化為與邊長相關的向量，自然中點就是首選.根據解題過程中的一般性，得到結論：凸四邊

點評中線的數量形式主要將三角形的三條邊及中線長的聯系起來，本題中線段長關系比較清楚，直接讓P的軌跡無處遁形.

點評極化恒等式的功能是實現向量和數量的統一，對于快速計算數量積，求數量積的取值范圍具有較強實用性.任意兩個向量也可以寫成極化恒等式的形式：a·b=

通過上面的例題發現：三角形中線的有關知識已經成為高考或模考命題的重要素材，深受專家們的青睞.利用好三角形的“中庸之道”，認清中線的三種形式，無疑對我們去抓住問題的本質，簡潔快速地解題具有很大的幫助！