立體幾何中的展開問題例說

楊金林

把一個幾何體的表面伸展為一個平面圖形從而研究幾何體表面上的距離問題，這就是幾何體的表面展開問題.幾何體表面展開問題是折疊問題的逆向思維、逆過程，一般地，涉及多面體表面距離的問題，解題時不妨將它展開成平面圖形試一試.

一、展開后形狀的判斷

例1把正方體的表面沿某些棱剪開展成一個平面圖形（如圖1），請根據各面上的圖案判斷這個正方體是 （）

解析 在圖1中，把中間的四個正方形圍起來做“前后左右”四個面，有“空心網”的正方形做“上面”，顯然是正方體C的展形圖，故選C.

二、展開后的數字特征——表面上的最短距離問題

例3 如圖4，在長方體中，AB=3，BC=4，CCl=5，求沿著長方體表面從A到CI的最短路線長.

解析 在長方體的表面上從A到C.有三種不同的展開圖.

（1）將面ADD1A1繞著A1D1折起，得到的平面圖形如圖5所示.

（3）將面ADDl A1繞著DD1折起，得到的平面圖形如圖7所示：

點評 幾何體表面上的最短距離需要將幾何體的表面展開，將其轉化為平面內的最短距離，利用平面內兩點之間的距離最短求解.但要注意棱柱的側面展開圖可能有多種展開圖，如長方體的表面展開圖等，要把不同展開圖中的最短距離進行比較，找出其中的最小值.