應(yīng)用分形理論研究飽和土壤滲透率

陳 卓， 王在敏， 許 模， 吳冠男

(成都理工大學(xué) 地質(zhì)災(zāi)害防治與地質(zhì)環(huán)境保護(hù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 成都 610059)

0 引 言

土壤作為典型的多孔介質(zhì)，其孔隙大小、毛細(xì)管彎曲性、孔隙表面形貌等都具有隨機(jī)性、不規(guī)則性，但微觀結(jié)構(gòu)在某個(gè)或多個(gè)尺度內(nèi)顯示出自相似特征。因此利用分形理論刻畫土壤內(nèi)部結(jié)構(gòu)與滲透率的聯(lián)系成為研究土壤滲透率新的思路與方向。

Taylor[1]研究顯示土壤孔隙形態(tài)粒徑具有一定的自相似性和尺度不變性，Avnir等[2]用分子吸附技術(shù)研究巖石孔隙結(jié)構(gòu)后，提出多孔介質(zhì)具有分形孔隙結(jié)構(gòu),Kaze等[3-4]利用SEM對(duì)多孔的砂巖孔隙結(jié)構(gòu)進(jìn)行了基于分形概念的表征；Rieu等[5]借助于Sierpinski地毯圖案提出了孔隙分布的分形模型。由于科技的發(fā)展，隨著分形理論逐漸被引入到土壤物理學(xué)研究中，學(xué)者展開了土壤滲透率等水力特性參數(shù)與其結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系的一系列研究[6-15]。為了探究土壤體積分形維數(shù)對(duì)土壤飽和滲透率的影響，本文通過(guò)對(duì)不同配比的石英砂粒進(jìn)行滲透實(shí)驗(yàn)求得不同配比下的砂礫滲透率，結(jié)合砂粒的體積分形維數(shù)得到了不同土壤顆粒體積分形維數(shù)的滲透率。

1 材料與方法

實(shí)驗(yàn)選用60、80、100目的石英砂粒通過(guò)不同質(zhì)量配比5種不同的土壤試樣，分別為：① 100%60目(A)；② 60目∶80目=1∶1(B)；③ 60目∶80目=1∶3(C)；④ 100%80目(D)；(5)60目∶80目∶100目=1∶1∶1(E)。實(shí)驗(yàn)裝置示意圖如圖1所示，由試樣筒、測(cè)壓管以及供水裝置組成。試樣筒高60 cm、內(nèi)徑10 cm，試樣筒上的兩個(gè)出水孔由橡膠管連接到測(cè)壓管上，兩個(gè)出水口的位置分別位于20 cm和40 cm處。

實(shí)驗(yàn)根據(jù)達(dá)西公式計(jì)算滲透系數(shù)：

(1)

式中：Q為滲透流量(出口處流量)；A為過(guò)水?dāng)嗝娴拿娣e；H1、H2分別為石英砂柱兩個(gè)測(cè)壓管的水頭；L為石英砂柱的長(zhǎng)度；I為水力梯度；K為滲透系數(shù)。

實(shí)驗(yàn)測(cè)得的不同試樣的滲透系數(shù)K分別為：A型1.208 mm/s，B型0.445 mm/s，C型0.206 mm/s，D型0.152 6 mm/s，E型7.737 μm/s。

2 結(jié)果與分析

2.1 土壤粒徑分布的分形特征

運(yùn)用激光粒度分析儀對(duì)滲流實(shí)驗(yàn)的石英砂粒進(jìn)行顆粒粒徑分析，得到5種土樣的顆粒級(jí)配圖，如圖2所示。

太沙基認(rèn)為，土壤的粒徑特性主要由含量為20%的細(xì)土粒而定，即d20以下的細(xì)粒對(duì)土體性質(zhì)有較大影響。謝定松等通過(guò)對(duì)粗粒土滲透系數(shù)影響因素的分析認(rèn)為，控制土體滲透系數(shù)的代表性粒徑應(yīng)為d21。

通過(guò)對(duì)比圖2中5種不同級(jí)配曲線和每種土樣所對(duì)應(yīng)的滲透系數(shù)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)小于0.1 mm細(xì)土粒所占比重增加時(shí)，土樣的滲透系數(shù)相應(yīng)降低，細(xì)土粒比重越大，滲透系數(shù)降低的幅度越大。但是，細(xì)土粒對(duì)于土體滲透性質(zhì)的影響只能作趨勢(shì)性的判斷，經(jīng)驗(yàn)性較強(qiáng)，沒有從函數(shù)關(guān)系的角度對(duì)其進(jìn)行精確刻畫。

圖2 不同土樣顆粒級(jí)配圖

隨著分形理論在土壤物理學(xué)中的應(yīng)用不斷加深，且由于土壤顆粒粒徑具有分形特征。因此運(yùn)用分形維數(shù)刻畫顆粒粒徑分布特征成為熱點(diǎn)。本文應(yīng)用Tyler等[13]的三維體積分形維數(shù)模型計(jì)算土壤體積分形維數(shù)，

(2)

式中：V為顆粒的體積；δ為測(cè)定的尺度；di為土壤顆粒粒徑；V0為土壤顆粒總體積；dmax為粒級(jí)分級(jí)中的最大粒級(jí)；D為體積分形維數(shù)。

式(2)兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得到體積分形維數(shù)的關(guān)系式：

(3)

根據(jù)顆粒粒徑分析實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，土壤的分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)選用美國(guó)農(nóng)業(yè)部分類系統(tǒng)[12]，將粒徑分為：極粗砂(1～2 mm)、粗砂(0.5～1 mm)、中砂(0.25～0.50 mm)、細(xì)砂(0.10～0. 25 mm)、極細(xì)砂(0.05～0.10 mm)、粉砂(0.02～0. 05 mm)和黏粒(<0.02 mm)7個(gè)等級(jí)。以lg(di/dmax)為橫坐標(biāo)；lg(V(δ

應(yīng)用線性回結(jié)果歸計(jì)算出5種土樣粒徑分布的分形維數(shù)D分別為：A型1.448 2，D型2.012 0，E型2.056 1，B型2.086 7，C型2.434 8。運(yùn)用Excel擬合求得的體積分形維數(shù)函數(shù)關(guān)系式R2都超過(guò)90%，可信度高。發(fā)現(xiàn)土壤顆粒體積D的增長(zhǎng)幅度與土壤滲透系數(shù)K的增長(zhǎng)幅度呈正相關(guān)。

土壤顆粒體積分形維數(shù)反映顆粒粒度分布的一個(gè)特征，土壤顆粒平均粒徑影響土壤顆粒體積分形維數(shù)。

根據(jù)McManus 矩算法：

(a) A型

(b) B型

(c) C型

(d) D型

(e) E型

(4)

式中：MZ為顆粒平均粒徑；m為顆粒粒徑；f顆粒粒徑所占百分比。求得MZ：A型660.780 μm，B型257.53 μm，C型213.51 μm，D型377.11 μm，E型313.04 μm。

根據(jù)MZ的數(shù)據(jù)與相應(yīng)土壤的D，運(yùn)用Excel進(jìn)行了關(guān)系擬合，見圖4。得到D數(shù)與MZ的關(guān)系式：

D=-0.001 9MZ+2.711 5

(5)

據(jù)圖4知，函數(shù)關(guān)系式(5)的R2為0.924 2，可信度高，表明D與MZ呈線性負(fù)相關(guān)，MZ越大，D越小。

2.2 D對(duì)滲透率影響

土壤的顆粒粒徑分布具有分形特征，D影響著滲透率k。對(duì)D與k的關(guān)系進(jìn)行擬合，結(jié)果如圖5所示。

圖5 k和D的關(guān)系

根據(jù)圖5得到D與其飽和時(shí)的k的對(duì)數(shù)關(guān)系式：

k=0.244 lnD+0.206 9

(6)

土壤滲透系數(shù)與滲透率的關(guān)系為：

K=k(ρg/μ)

(7)

式中：K為滲透系數(shù)；k為滲透率；ρ為流體的密度；g為重力加速度；μ為流體的動(dòng)力黏滯系數(shù)。由于實(shí)驗(yàn)中都是由自來(lái)水作為達(dá)西滲流實(shí)驗(yàn)中的流體，故常數(shù)ρ、μ是相同的，g也是相同的，因此，k與K呈正比關(guān)系，即k=nK，其中n為常數(shù)。

因此，D與其飽和時(shí)的k的關(guān)系式為：

(8)

根據(jù)式(5)初步擬定D與k的對(duì)數(shù)關(guān)系通用形式為：

(9)

式中：A、B為經(jīng)驗(yàn)常數(shù)。

根據(jù)式(9)知，土壤顆粒體積分形維數(shù)與飽和土壤滲透率呈對(duì)數(shù)關(guān)系，R2達(dá)到0.952，可信度高。顆粒體積分形維數(shù)越大，土壤滲透率越小。

土壤顆粒體積分形維數(shù)取決于土樣的顆粒級(jí)配曲線，對(duì)于描述土樣性質(zhì)具有整體意義。因此土壤顆粒體積分形維數(shù)對(duì)于土壤飽和滲透率的影響經(jīng)驗(yàn)性質(zhì)更少，具有物理意義。相對(duì)來(lái)說(shuō)，以前描述顆分的參數(shù)如：標(biāo)準(zhǔn)偏差，偏度，特征粒徑，不均勻系數(shù)等是從顆粒級(jí)配曲線的局部刻畫其特征，具有經(jīng)驗(yàn)性和局域性，并不具備單獨(dú)描述顆分性質(zhì)的能力。因此運(yùn)用土壤顆粒體積分形維數(shù)能夠更加全面地從土壤顆粒粒徑分布角度描述土壤滲透率，且兩者之間的函數(shù)關(guān)系式比較簡(jiǎn)潔，式內(nèi)的參數(shù)易于求得。但是式(9)中的A、B兩個(gè)參數(shù)的物理意義不明確，需要進(jìn)一步探索。

3 結(jié) 論

本文通過(guò)滲流實(shí)驗(yàn)以及顆粒粒徑分析實(shí)驗(yàn)，將土壤滲透率與顆粒粒徑分形維數(shù)結(jié)合，通過(guò)數(shù)據(jù)分析得到以下結(jié)論：

(2) 土壤滲透率與顆粒粒徑體積分形維數(shù)關(guān)系式D=-0.001 9Mz+2.711 5，R2為0.924，可信度高。表明土壤體積分形維數(shù)與土壤顆粒平均粒徑呈線性負(fù)相關(guān)，土壤顆粒平均粒徑越大，土壤顆粒體積分形維數(shù)越小。

(3) 本文通過(guò)室內(nèi)物理實(shí)驗(yàn)從土壤顆粒體積分形維數(shù)角度解釋了土壤滲透率的影響因素，有望對(duì)飽和土壤滲透率進(jìn)行可靠的預(yù)測(cè)。

土壤粒徑分布特征對(duì)于土壤中的地下水運(yùn)移尤為重要，本文通過(guò)室內(nèi)物理實(shí)驗(yàn)，基于多孔介質(zhì)分形理論對(duì)土壤體積分形維數(shù)與土壤飽和滲透率的關(guān)系進(jìn)行了初步研究，由于室內(nèi)實(shí)驗(yàn)條件的局限，不能完全模擬野外土壤的實(shí)際情況，可針對(duì)自然界實(shí)際情況進(jìn)行相應(yīng)的野外現(xiàn)場(chǎng)實(shí)驗(yàn)。自然界中的土壤多數(shù)處于非飽和狀態(tài)，在非飽和狀態(tài)下，土壤體積分形維數(shù)對(duì)于土壤中地下水的運(yùn)移的影響有待進(jìn)一步研究。隨著土壤和地下水污染日益嚴(yán)重，掌握地下水溶質(zhì)在土壤中的運(yùn)移規(guī)律對(duì)于治理地下水和土壤污染尤為重要。探索土壤微觀結(jié)構(gòu)分形特征對(duì)于污染物遷移的影響可以成為新的研究方向。