四旋翼飛行器的自適應二階滑?？刂?/h1>
2018-11-16 08:36:10
傳感器世界 2018年4期 關鍵詞：系統
北京信息科技大學自動化學院，北京 100192
一、引言
四旋翼飛行器體積小、質量輕、操作簡單且作業靈活，能夠在狹小的環境中起飛。飛行模式更是多樣化：垂直起飛、前飛、倒飛、側飛及懸停等。其簡單的結構使得它的成本低廉，便于制作與維護[1]。其高度的機動性和低廉的成本使四旋翼飛行器擁有廣闊的市場和應用前景，成為了國內外的研究熱點。
姿態的精確控制直接影響飛行器的飛行品質，此外，由于四旋翼飛行器的質量較輕，飛行時易受到外界的干擾，所以設計一個魯棒性強、精確度高的姿態控制器及其重要。
目前，已有多種控制算法應用于四旋翼飛行器的控制中，取得了不錯的控制效果。PID控制器設計簡單，有一定的魯棒性，但在處理不確定性問題上不夠理想[2]；自適應控制在處理不確定和未知參數問題有較好的控制效果[3]，劉一莎等[4]針對四旋翼飛行器參數不確定性和外部干擾的問題，設計了一種自抗擾控制器，獲得了較好的控制效果；模糊控制[5-6]、滑模控制[7-8]等控制算法也在飛行控制中取得了成功。然而，這些控制算法較為復雜，應用于四旋翼飛行器的實時控制時有一定困難。
為解決四旋翼飛行器參數變化和控制精度的問題，本文以光滑二階滑?？刂茷榛A[9]，綜合考慮抖振處理及有限時間收斂問題，將自適應光滑二階滑?？刂品椒☉糜谒男盹w行器控制系統?；Ｓ^測器的設計對模型參數變化能夠在線估計，自適應光滑二階滑模控制減弱了傳統滑?？刂频亩墩?，控制器參數的在線調整提高了系統的控制精度；基于李雅普諾夫函數證明了系統的有限時間穩定。數字仿真和實驗結果都驗證了所提控制方法的有效性。
二、四旋翼飛行器控制模型
四旋翼飛行器的姿態系統是一個4輸入3輸出的對象，系統的輸入為4個電機的電壓，系統輸出為3個自由度：俯仰角、滾轉角和偏航角。其中前向、左向和右向的螺旋槳為上下朝向，尾部的螺旋槳為左右朝向。系統的姿態角可由平臺的編碼器檢測獲得。
在此以固高公司的四旋翼飛行器為例，建立四旋翼飛行器的數學模型[10]。
1、參考坐標系
四旋翼飛行器的坐標系如圖1所示。其中，支架的中心設為左邊原點，x軸指向前向電機，y軸指向右向電機。定義正前方及左右向電機轉動帶動螺旋槳產生的力與z軸同向為正方向，尾部電機轉動帶動螺旋槳產生的力與y軸同向為正方向[10]。
2、姿態角平衡方程
姿態角力矩平衡方程的建立基于以下假設：
①剛啟動時系統3自由度的角度為0°，忽略各種摩擦力、電機阻尼力矩；
②忽略電機達到給定轉速的時間；
③假設螺旋槳不同方向運動所產生的力大小相同。
（1）俯仰角的力矩平衡方程
定義俯仰角的正方向為前向電機向下運動的夾角，由受力分析，可得到如下方程：
其中，
P—俯仰角；
JP—飛行器繞y軸轉動的轉動慣量；
Lf—前向螺旋槳中心至y軸的距離；
Lc—左右螺旋槳中心至y軸的距離；
Ff—前向電機的升力；
Fr—右向電機的升力；
Fl—左向電機的升力；
Kfc—有不確定性的力電比系數；
Uf、Ul、Ur—分別為前向、左向和右向電機電壓。將式（2）～（5）帶入式（1），得：
（2）滾轉角的力矩平衡方程
定義滾轉角的正方向為右向電機向下運動的夾角，由受力分析，可得到如下方程：
其中，R—滾轉角；
JR—飛行器繞x軸轉動的轉動慣量；
La—左右向螺旋槳中心至x軸的距離。
將式（4）（5）（8）帶入式（7），得：
（3）偏航角的力矩平衡方程
定義繞z軸順時針轉動為偏航角的正方向，建立如下方程：
其中，Y—偏航角；
JY—飛行器繞z軸轉動的轉動慣量；
Fb—尾部電機升力。
把式（11）帶入式（10）得：
表1 四旋翼飛行器系統參數表[10]
四旋翼飛行器模型參數如表1所示。令：
其中，Kfc0—Kfc的標稱值；
D ΔKfc—力電比變化引起的不確定部分。
將表1中參數及式（13）帶入式（6）、（9）、（12）得：
式（14）可轉化成如下數學模型：
Δf—ΔKfc所引起的不確定性部分。
三、自適應光滑二階滑模姿態控制器設計
本文的目標是設計一個合適的控制量u，使四旋翼飛行器的實際姿態角精確跟蹤期望指令。姿態系統采用自適應光滑二階滑?？刂破鳎捎没Ｓ^測器補償不確定性部分，四旋翼飛行器姿態控制系統結構框圖如圖2所示。
1、滑模干擾觀測器設計
誤差系統中含有不確定性部分Δf，本文采用超螺旋算法來設計滑模干擾觀測器對Δf進行估計。
定義狀態跟蹤誤差e為：
其中，xref—系統期望狀態量。
對式（16）求導，并將式（15）帶入，可得誤差系統如下：
定理 1：假設 Δf=[0 Δf20 Δf40 Δf6]T滿足，其中i=1, 2,…,6，δ為未知正數，σi定義為觀測器輔助滑模面，則對系統（17）構造如下滑模干擾觀測器：
其中，σ—觀測器滑模面，
x—系統狀態；
z—輔助狀態；
Δ?—滑模干擾觀測器對Δf的估計值；v—輔助控制輸入。
其中，α1、α2為觀測器增益。
當增益α1、α2滿足式（20）時，能使σi和在有限時間To=2V1/2(σi(0))/η1后收斂到 0，即能夠在有限時間內逼近0：
證明，對式（18）求導，并將式（15）代入得：
將式（19）代入式（21）得：
其中，系統增光狀態。
由式（22）、（23）變換形式如下：
取Lyapunov函數為：
其中，P1—正定矩陣，則V1是在σi=0處不可微的連續正定函數。
對式（25）求時間導數，并把式（24）代入得：
此處令的最小特征值大于0，有式（20）成立，則>0，負定。
其中，λmin{·}和λmax{·}—分別表示矩陣的最小特征值和最大特征值。
于是，式（28）可變換如下：
因此，σi(t)能在有限時間內收斂到0。
2、控制器設計
取自適應光滑二階滑模趨近律為：
其中，e—狀態跟蹤誤差，
ew—系統的增廣狀態，
l1和l2—自適應參數；
ρ—控制器設計參數；
ε和λ—任意正實數。
將式（17）和式（33）合并，結合前文滑模觀測器設計，得到如式（36）自適應光滑二階滑?？刂坡?，能夠使系統（15）有限時間穩定，于是有定理2。
定理2：對于姿態系統（15）在自適應光滑二階滑模控制律（34～36）的作用下，當m≥2且適當選取參數ρ，能使跟蹤誤差e及其導數有限時間趨于0。
證明，把式（36）代入式（17），得到如下誤差系統：
式中，干擾觀測器能夠保證eo在有限時間To收斂至0。取Lyapunov函數為：
其中，P2—對稱正定矩陣，
由式（39）變換形式如下：
對式（41）求導，結合式（40）化簡可得：
再結合式（39）得：
于是，式（43）可變換如下：
假設l1和l2界限為，則任意t≥0 時且，即式（38）的導數有如下形式：
四、基于Simulink仿真
為檢驗本文所設計控制器能夠處理參數變化的問題，在力電比為標稱值、增加40%以及減少40%的情況下，采用本文設計的控制器對四旋翼飛行器姿態模型進行仿真。
飛行器初始狀態為：Ω0=[0 0 0 0 0 0]T
系統期望狀態值設為：xref=[10 0 -10 0 15 0]T
控制器的仿真參數為：m=5,ρ=0.35,ε=0.1,λ=0.01,α1=0.7,α2=0.01
仿真結果如圖3～圖5所示。由圖可知，力電比為標稱值時，姿態角的跟蹤曲線響應時間為1.3s，穩態誤差小于0.05°；當力電比增加40%時，響應時間為1.6s，穩態誤差仍小于0.05°；當力電比減少40%時，響應時間為1.1s，穩態誤差無明顯變化。
綜上所述，滑模干擾觀測器能對不確定性部分補償，自適應光滑二階滑?？刂破髂苁顾男盹w行器的各個姿態角快速跟蹤期望值，超調量小，控制精度高。
五、四旋翼飛行器實驗
在仿真結果良好的情況下，對固高公司的四旋翼飛行仿真器進行姿態的實時控制實驗，并對結果進行分析。實時控制系統的硬件包括仿真飛行器、數據采集卡等，軟件為Matlab/Sumulink實時控制軟件。四旋翼飛行器實驗系統如圖6所示。
實時控制實驗中存在很多不確定因素，例如：
（1）仿真器的旋螺槳正反轉不對稱，使得相同電壓輸入卻產生不同的升力；
（2）系統各個姿態角難以處于絕對零度狀態，因此運動時，姿態角之間會相互干擾；
（3）實驗時，旋螺槳易受到干擾；
（4）為保護旋螺槳，要求電機不能頻繁切換方向。
實驗中設定初始狀態為：Ω0=[0 0 0 0 0 0]T
系統期望狀態設為：xref=[10 0 -10 0 15 0]T
控 制 器 的 參 數 為：m=5,ρ=0.4,ε=0.1,λ=0.01,α1=1.2,α2=0.02
四旋翼飛行器姿態的實時控制曲線如圖7～圖9所示。由圖7可知，俯仰角能在7s內收斂至期望指令，穩態誤差在0.3°內；滾轉角能在15s內到達期望指令，穩態誤差在0.2°內；偏航角在4s內收斂至期望指令，穩態誤差小于0.5°。
因此，在實時控制實驗中，四旋翼仿真器三軸姿態角能快速準確地跟蹤期望角指令，且有較好的動態性能和魯棒性。
六、結論
本文針對具有參數變化的四旋翼飛行器控制問題，將自適應光滑二階滑模算法應用于四旋翼飛行器控制系統中。滑模觀測器能夠補償系統不確定性部分，自適應二階滑模控制器控制三軸姿態角快速準確地跟蹤期望指令?；贚yapunov理論證明控制系統能在有限時間穩定。最后通過數字仿真和四旋翼飛行器實驗驗證了所提控制策略的有效性。
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目前，已有多種控制算法應用于四旋翼飛行器的控制中，取得了不錯的控制效果。PID控制器設計簡單，有一定的魯棒性，但在處理不確定性問題上不夠理想[2]；自適應控制在處理不確定和未知參數問題有較好的控制效果[3]，劉一莎等[4]針對四旋翼飛行器參數不確定性和外部干擾的問題，設計了一種自抗擾控制器，獲得了較好的控制效果；模糊控制[5-6]、滑模控制[7-8]等控制算法也在飛行控制中取得了成功。然而，這些控制算法較為復雜，應用于四旋翼飛行器的實時控制時有一定困難。
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二、四旋翼飛行器控制模型
四旋翼飛行器的姿態系統是一個4輸入3輸出的對象，系統的輸入為4個電機的電壓，系統輸出為3個自由度：俯仰角、滾轉角和偏航角。其中前向、左向和右向的螺旋槳為上下朝向，尾部的螺旋槳為左右朝向。系統的姿態角可由平臺的編碼器檢測獲得。
在此以固高公司的四旋翼飛行器為例，建立四旋翼飛行器的數學模型[10]。
1、參考坐標系
四旋翼飛行器的坐標系如圖1所示。其中，支架的中心設為左邊原點，x軸指向前向電機，y軸指向右向電機。定義正前方及左右向電機轉動帶動螺旋槳產生的力與z軸同向為正方向，尾部電機轉動帶動螺旋槳產生的力與y軸同向為正方向[10]。
2、姿態角平衡方程
姿態角力矩平衡方程的建立基于以下假設：
①剛啟動時系統3自由度的角度為0°，忽略各種摩擦力、電機阻尼力矩；
②忽略電機達到給定轉速的時間；
③假設螺旋槳不同方向運動所產生的力大小相同。
（1）俯仰角的力矩平衡方程
定義俯仰角的正方向為前向電機向下運動的夾角，由受力分析，可得到如下方程：
其中，
P—俯仰角；
JP—飛行器繞y軸轉動的轉動慣量；
Lf—前向螺旋槳中心至y軸的距離；
Lc—左右螺旋槳中心至y軸的距離；
Ff—前向電機的升力；
Fr—右向電機的升力；
Fl—左向電機的升力；
Kfc—有不確定性的力電比系數；
Uf、Ul、Ur—分別為前向、左向和右向電機電壓。將式（2）～（5）帶入式（1），得：
（2）滾轉角的力矩平衡方程
定義滾轉角的正方向為右向電機向下運動的夾角，由受力分析，可得到如下方程：
其中，R—滾轉角；
JR—飛行器繞x軸轉動的轉動慣量；
La—左右向螺旋槳中心至x軸的距離。
將式（4）（5）（8）帶入式（7），得：
（3）偏航角的力矩平衡方程
定義繞z軸順時針轉動為偏航角的正方向，建立如下方程：
其中，Y—偏航角；
JY—飛行器繞z軸轉動的轉動慣量；
Fb—尾部電機升力。
把式（11）帶入式（10）得：
表1 四旋翼飛行器系統參數表[10]
四旋翼飛行器模型參數如表1所示。令：
其中，Kfc0—Kfc的標稱值；
D ΔKfc—力電比變化引起的不確定部分。
將表1中參數及式（13）帶入式（6）、（9）、（12）得：
式（14）可轉化成如下數學模型：
Δf—ΔKfc所引起的不確定性部分。
三、自適應光滑二階滑模姿態控制器設計
本文的目標是設計一個合適的控制量u，使四旋翼飛行器的實際姿態角精確跟蹤期望指令。姿態系統采用自適應光滑二階滑?？刂破鳎捎没Ｓ^測器補償不確定性部分，四旋翼飛行器姿態控制系統結構框圖如圖2所示。
1、滑模干擾觀測器設計
誤差系統中含有不確定性部分Δf，本文采用超螺旋算法來設計滑模干擾觀測器對Δf進行估計。
定義狀態跟蹤誤差e為：
其中，xref—系統期望狀態量。
對式（16）求導，并將式（15）帶入，可得誤差系統如下：
定理 1：假設 Δf=[0 Δf20 Δf40 Δf6]T滿足，其中i=1, 2,…,6，δ為未知正數，σi定義為觀測器輔助滑模面，則對系統（17）構造如下滑模干擾觀測器：
其中，σ—觀測器滑模面，
x—系統狀態；
z—輔助狀態；
Δ?—滑模干擾觀測器對Δf的估計值；v—輔助控制輸入。
其中，α1、α2為觀測器增益。
當增益α1、α2滿足式（20）時，能使σi和在有限時間To=2V1/2(σi(0))/η1后收斂到 0，即能夠在有限時間內逼近0：
證明，對式（18）求導，并將式（15）代入得：
將式（19）代入式（21）得：
其中，系統增光狀態。
由式（22）、（23）變換形式如下：
取Lyapunov函數為：
其中，P1—正定矩陣，則V1是在σi=0處不可微的連續正定函數。
對式（25）求時間導數，并把式（24）代入得：
此處令的最小特征值大于0，有式（20）成立，則>0，負定。
其中，λmin{·}和λmax{·}—分別表示矩陣的最小特征值和最大特征值。
于是，式（28）可變換如下：
因此，σi(t)能在有限時間內收斂到0。
2、控制器設計
取自適應光滑二階滑模趨近律為：
其中，e—狀態跟蹤誤差，
ew—系統的增廣狀態，
l1和l2—自適應參數；
ρ—控制器設計參數；
ε和λ—任意正實數。
將式（17）和式（33）合并，結合前文滑模觀測器設計，得到如式（36）自適應光滑二階滑?？刂坡?，能夠使系統（15）有限時間穩定，于是有定理2。
定理2：對于姿態系統（15）在自適應光滑二階滑模控制律（34～36）的作用下，當m≥2且適當選取參數ρ，能使跟蹤誤差e及其導數有限時間趨于0。
證明，把式（36）代入式（17），得到如下誤差系統：
式中，干擾觀測器能夠保證eo在有限時間To收斂至0。取Lyapunov函數為：
其中，P2—對稱正定矩陣，
由式（39）變換形式如下：
對式（41）求導，結合式（40）化簡可得：
再結合式（39）得：
于是，式（43）可變換如下：
假設l1和l2界限為，則任意t≥0 時且，即式（38）的導數有如下形式：
四、基于Simulink仿真
為檢驗本文所設計控制器能夠處理參數變化的問題，在力電比為標稱值、增加40%以及減少40%的情況下，采用本文設計的控制器對四旋翼飛行器姿態模型進行仿真。
飛行器初始狀態為：Ω0=[0 0 0 0 0 0]T
系統期望狀態值設為：xref=[10 0 -10 0 15 0]T
控制器的仿真參數為：m=5,ρ=0.35,ε=0.1,λ=0.01,α1=0.7,α2=0.01
仿真結果如圖3～圖5所示。由圖可知，力電比為標稱值時，姿態角的跟蹤曲線響應時間為1.3s，穩態誤差小于0.05°；當力電比增加40%時，響應時間為1.6s，穩態誤差仍小于0.05°；當力電比減少40%時，響應時間為1.1s，穩態誤差無明顯變化。
綜上所述，滑模干擾觀測器能對不確定性部分補償，自適應光滑二階滑?？刂破髂苁顾男盹w行器的各個姿態角快速跟蹤期望值，超調量小，控制精度高。
五、四旋翼飛行器實驗
在仿真結果良好的情況下，對固高公司的四旋翼飛行仿真器進行姿態的實時控制實驗，并對結果進行分析。實時控制系統的硬件包括仿真飛行器、數據采集卡等，軟件為Matlab/Sumulink實時控制軟件。四旋翼飛行器實驗系統如圖6所示。
實時控制實驗中存在很多不確定因素，例如：
（1）仿真器的旋螺槳正反轉不對稱，使得相同電壓輸入卻產生不同的升力；
（2）系統各個姿態角難以處于絕對零度狀態，因此運動時，姿態角之間會相互干擾；
（3）實驗時，旋螺槳易受到干擾；
（4）為保護旋螺槳，要求電機不能頻繁切換方向。
實驗中設定初始狀態為：Ω0=[0 0 0 0 0 0]T
系統期望狀態設為：xref=[10 0 -10 0 15 0]T
控 制 器 的 參 數 為：m=5,ρ=0.4,ε=0.1,λ=0.01,α1=1.2,α2=0.02
四旋翼飛行器姿態的實時控制曲線如圖7～圖9所示。由圖7可知，俯仰角能在7s內收斂至期望指令，穩態誤差在0.3°內；滾轉角能在15s內到達期望指令，穩態誤差在0.2°內；偏航角在4s內收斂至期望指令，穩態誤差小于0.5°。
因此，在實時控制實驗中，四旋翼仿真器三軸姿態角能快速準確地跟蹤期望角指令，且有較好的動態性能和魯棒性。
六、結論
本文針對具有參數變化的四旋翼飛行器控制問題，將自適應光滑二階滑模算法應用于四旋翼飛行器控制系統中。滑模觀測器能夠補償系統不確定性部分，自適應二階滑模控制器控制三軸姿態角快速準確地跟蹤期望指令?；贚yapunov理論證明控制系統能在有限時間穩定。最后通過數字仿真和四旋翼飛行器實驗驗證了所提控制策略的有效性。
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