稠油油藏水平井冷采試井?dāng)?shù)學(xué)模型研究

周 明，孫玉豹，熊書權(quán)，林珊珊，張衛(wèi)行，姬 輝

（1.中海石油（中國）有限公司深圳分公司恩平油田作業(yè)區(qū)，廣東深圳 518000；2.中海油田服務(wù)股份有限公司油田生產(chǎn)事業(yè)部，天津 300459）

礦場大量實(shí)踐表明，由于流體黏度較大，稠油油藏冷采中的滲流不符合經(jīng)典達(dá)西定律，存在啟動(dòng)壓力梯度。目前國內(nèi)外對(duì)水平井試井解釋理論的研究或者沒有考慮啟動(dòng)壓力梯度[1，2]，或者建立的水平井試井?dāng)?shù)學(xué)模型采用數(shù)值方法求解[3]。本文在前人研究基礎(chǔ)上，基于源函數(shù)方法，建立存在啟動(dòng)壓力梯度的水平井試井?dāng)?shù)學(xué)模型，并利用Newman乘積方法進(jìn)行半解析求解，得到啟動(dòng)壓力梯度對(duì)試井雙對(duì)數(shù)曲線的影響規(guī)律。

1 稠油油藏水平井冷采物理模型分析

Newman乘積方法實(shí)際上是數(shù)學(xué)物理方法中的一種降維方法，它可將一個(gè)三維的定解問題等價(jià)分解成一維或二維的問題，只要滿足以下兩個(gè)條件：（1）分解后的三個(gè)一維問題（或一個(gè)一維問題和一個(gè)二維問題）中的源在空間上的交集（公共部分）應(yīng)為原三維定解問題中的源形狀；（2）三個(gè)一維問題（或一個(gè)一維問題和一個(gè)二維問題）中的外邊界所包含的空間的交集（公共部分）應(yīng)為原三維定解問題中的外邊界所包含的空間。

因此，利用Newman乘積方法可將水平井試井井底壓力求解這個(gè)三維問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)板源函數(shù)和一個(gè)線源函數(shù)的疊加（見圖1，圖2）。

圖1 板源函數(shù)示意圖

圖2 線源函數(shù)示意圖

板源函數(shù)的寬度為水平段的長度2L（見圖1），板源函數(shù)的外邊界假設(shè)可根據(jù)油藏實(shí)際情況做不同處理。無限大板源由無窮多的平面源組成，可由疊加原理而得到，表面圓柱源可視為一條線源繞一軸旋轉(zhuǎn)而得到。

線源函數(shù)由兩個(gè)無限大面源函數(shù)疊加得到（見圖2），外邊界假設(shè)可根據(jù)油藏實(shí)際情況做不同處理。根據(jù)存在啟動(dòng)壓力梯度時(shí)壓力疊加方式的論述[4]，啟動(dòng)壓力梯度只在線源函數(shù)中考慮。

2 稠油油藏水平井冷采源函數(shù)的建立及求解

通過上節(jié)的論述，存在啟動(dòng)壓力梯度的稠油油藏水平井冷采壓力響應(yīng)源函數(shù)被歸結(jié)為一個(gè)板源函數(shù)和一個(gè)存在啟動(dòng)壓力梯度線源函數(shù)的疊加，即：

式中：S（M，t）－存在啟動(dòng)壓力梯度的稠油油藏水平井冷采壓力響應(yīng)源函數(shù)；SX（X，t）－對(duì)應(yīng)的板源函數(shù)；Sλ（r，t）－對(duì)應(yīng)的存在啟動(dòng)壓力梯度線源函數(shù)。

2.1 板源函數(shù)的確定

板源函數(shù)的各種形式在文獻(xiàn)中已有列出[5]，本文采用無限大板源函數(shù)，定義如下：

2.2 線源函數(shù)的確定

對(duì)于二維問題，由源函數(shù)求取壓力變化分布Δp（M，t）的定義式為：

式中：pi－原始地層壓力，atm；p（M，t）－壓力分布，atm。

其兩端對(duì)t求導(dǎo)，并轉(zhuǎn)換為徑向坐標(biāo)，得：

所以得到已知壓力分布時(shí)點(diǎn)源函數(shù)的確定公式：

為求壓力分布，建立存在啟動(dòng)壓力梯度的稠油油藏復(fù)合儲(chǔ)層試井?dāng)?shù)學(xué)模型（見圖3），假設(shè)條件如下：

（1）單相微可壓縮液體；（2）等溫流動(dòng)；（3）油井半徑為rw，考慮表皮因子S的影響；（4）油井生產(chǎn)前，地層中各點(diǎn)的壓力均勻分布，內(nèi)區(qū)和外區(qū)均為pi；（5）忽略井儲(chǔ)、重力、毛管力的影響；（6）線性非達(dá)西滲流，考慮啟動(dòng)壓力梯度λ；（7）地層徑向復(fù)合、等厚、各向同性，井以一常產(chǎn)量q生產(chǎn)；（8）地層巖石微可壓縮。

圖3 稠油油藏復(fù)合儲(chǔ)層示意圖

無因次化后的數(shù)學(xué)模型為：

式中：k－有效滲透率，μm2；h－油層厚度，cm；p－壓力，atm；q－產(chǎn)量，cm3/s；B－體積系數(shù)，無因次；rwe－等效井徑，cm，rwe＝rwe-S；rw－井筒半徑，cm；S－表皮因子，無因次；λ－啟動(dòng)壓力梯度，atm/cm；R－內(nèi)區(qū)半徑，cm；R'－無因次化后的R，cm；下標(biāo)1、2－內(nèi)區(qū)、外區(qū)。

內(nèi)區(qū)和外區(qū)對(duì)應(yīng)的Laplace空間壓力分布為：

利用無因次定義式和Stehfest數(shù)值反演[6]將Laplace空間壓力分布轉(zhuǎn)化為實(shí)空間壓力分布p1、p2后，按照（5）式所列方法，可求得對(duì)應(yīng)存在啟動(dòng)壓力梯度的線源函數(shù) Sλ（r，t）。

聯(lián)立（1）、（2）、（6）式，得到存在啟動(dòng)壓力梯度的源函數(shù)。按照（3）式對(duì)源函數(shù)進(jìn)行積分即可求取實(shí)空間不考慮井儲(chǔ)的壓力變化分布。再對(duì)壓力分布進(jìn)行數(shù)值離散、Laplace數(shù)值變換，利用杜哈美原理即可得到Laplace空間考慮井儲(chǔ)的壓力分布。再次使用Stehfest數(shù)值反演，即可得到實(shí)空間考慮井儲(chǔ)的壓力分布。

3 啟動(dòng)壓力梯度試井響應(yīng)規(guī)律分析

選取典型的稠油油藏水平井冷采基礎(chǔ)參數(shù)（見表1），利用本文求得的稠油油藏水平井冷采井底壓力解，對(duì)啟動(dòng)壓力梯度試井響應(yīng)規(guī)律進(jìn)行分析。

表1 存在啟動(dòng)壓力梯度水平井冷采基礎(chǔ)參數(shù)表

啟動(dòng)壓力梯度考慮10-3MPa/m、10-4MPa/m、10-5MPa/m三個(gè)水平，得到了對(duì)應(yīng)的壓力-壓力導(dǎo)數(shù)雙對(duì)數(shù)曲線（見圖4）。分析圖4，啟動(dòng)壓力梯度對(duì)水平井冷采壓力響應(yīng)的影響規(guī)律表現(xiàn)為：主要影響測試中期、后期；啟動(dòng)壓力梯度越大，壓力-壓力導(dǎo)數(shù)曲線后期數(shù)值越大，壓力導(dǎo)數(shù)和壓力曲線后期上翹越明顯。

4 結(jié)論

（1）利用Newman乘積方法，將稠油油藏水平井冷采的源函數(shù)歸結(jié)為一個(gè)板源函數(shù)和一個(gè)線源函數(shù)的疊加，利用不同外邊界的板源函數(shù)和線源函數(shù)，即可構(gòu)造出對(duì)應(yīng)外邊界條件的水平井冷采源函數(shù)。

圖4 不同啟動(dòng)壓力梯度壓力-壓力導(dǎo)數(shù)曲線

（2）建立了存在啟動(dòng)壓力梯度的線源函數(shù)，并利用Laplace數(shù)值變換、Stehfest數(shù)值反演、杜哈美原理等工具，可以方便地實(shí)現(xiàn)水平井壓力分布的半解析求解。

（3）通過分析不同啟動(dòng)壓力梯度稠油油藏水平井冷采壓力響應(yīng)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)啟動(dòng)壓力梯度越大，其對(duì)壓力-壓力導(dǎo)數(shù)曲線后期的影響越明顯，壓力-壓力導(dǎo)數(shù)曲線后期上翹幅度越大。