基于可靠性的導流洞堵頭設計優化分析

汪 魁，劉 歡，羅 盈

(1. 重慶交通大學 水利水運工程教育部重點實驗室，重慶 400074； 2. 重慶交通大學 高校水工建筑物健康診斷技術與設備工程研究中心，重慶 400074；3. 重慶市水利電力建筑勘測設計研究院，重慶 401121； 4. 四川大學 水利水電學院，四川 成都 610065)

0 引 言

可靠性理論在土木工程結構中的應用研究開始的比較早，國外關于結構可靠性的研究開始于1911年，而我國則是在國外已將結構可靠度問題研究進展到了一定深度時，才處于起步階段。雖然起步較晚，但是我國工程結構可靠性理論與應用發展迅速，成果顯著[1]。

近年來，可靠性理論在工程結構設計計算中不斷得到應用，尤其是在工程結構設計中，逐漸從以經驗為主的安全系數法到以概率分析為基礎的極限狀態設計法的“ 轉軌”。在水利工程和巖土工程中，可靠性理論的應用研究不斷深入，尤其是以概率論為基礎的極限狀態設計方法被大量借鑒用以工程設計和分析中[2-6]。如向陽生[2]，鄭江[3]分別針對水工隧洞圍巖穩定性，采用Monte-Carlo法對隧洞結構進行可靠度研究；范書立等[4]、徐強等[5]分別針對地震作用下重力壩結構體系的失效路徑及結構可靠性開展了研究；彭輝等[6]研究了已建重力壩抗力與荷載效應隨時間變化的規律，推求了大壩整體失效概率。總之，進一步推動可靠性理論在水工結構設計中的應用具有重要的理論意義和工程實際價值。

目前，在水工隧洞堵頭設計方面還沒有統一的標準和設計準則，雖然已知其等級(即相應的水工建筑物等級)，卻并無相關設計條款可以參考，故設計人員在確定堵頭設計參數時，出于對整個工程的安全著想，往往選擇一些偏于安全的參數，而其中最重要的參數——堵頭的長度也是過于保守，致使工期更趨緊張，有時還可能造成趕工，在一定程度上增加了施工風險的同時，也增加了造價[7-12]。因此，考慮將可靠性理論引入到水工隧洞堵頭的設計計算中，建立基于可靠性理論的堵頭設計參數優化分析方法。

1 基于極限狀態的堵頭設計可靠性理論

在結構可靠度分析和設計中，使用結構的極限狀態作為結構可靠和失效的界限來描述結構的工作狀態。假定堵頭結構的抗力隨機變量為R，荷載效應隨機變量為S，則堵頭結構的極限狀態方程可以表示為

Z=g(R,S)=R-S=0

(1)

在水工隧洞堵頭穩定性分析常用的計算方法中，主要有抗滑穩定安全系數法、圓柱面抗沖剪法、整體安全系數法和點安全系數法[6]，在此基礎上可以分別建立幾種不同類型水工隧洞堵頭的極限狀態方程。考慮堵頭結構的抗力為堵頭與圍巖之間的摩擦力和材料黏聚力，荷載效應為堵頭上游斷面所受水平方向的合力，那么可建立堵頭的抗滑極限狀態方程為

Z=N·f+α·AC-∑PH=0

(2)

式中：N為滑動面法向力，MN；f為抗剪斷摩擦系數；α為黏結有效面積系數；A為有效承剪面面積，m2；C為黏聚力，MPa；∑PH為水平方向合力，MN。

通過有限元數值分析得到接觸面上的法向應力和剪應力，將法向應力視為抗力，剪應力視為荷載效應，得到堵頭的整體穩定極限狀態方程為

Z=∑σnifAi+∑CAi-∑τiAi=0

(3)

式中：f為抗剪斷摩擦系數；C為黏聚力，MPa；σni為潛在滑動面某單元法向應力，MPa；τi為潛在滑動面某單元剪應力，MPa；Ai為潛在滑動面某單元面積，m2。

因此，通過對堵頭及圍巖進行有限元模擬計算，可得到堵頭與圍巖接觸面上的法向應力和剪應力，從而選取堵頭的抗滑極限狀態來對堵頭可靠性進行研究分析。

2 導流洞堵頭可靠性功能函數的建立及可靠性分析

2.1 導流洞堵頭可靠性功能函數

利用非線性有限元分析軟件ABAQUS建立水工隧洞堵頭及圍巖的三維有限元計算模型，在可靠性理論的基礎上建立堵頭力學性能可靠性的顯式功能函數。結合堵頭可靠性功能函數的特點選擇合適的可靠度計算方法，利用MATLAB編制可靠度計算程序計算出堵頭可靠指標及失效概率。

參考某水利樞紐導流洞堵頭設計工程參數進行有限元模擬，計算模型如圖1。

圖1 堵頭和圍巖有限元計算模型Fig. 1 The finite element model of the plug and surrounding rocks

圓形隧洞直徑為10 m，設計水頭為100 m，并且在整個計算過程中假設作用水頭恒定，堵頭位于Ⅳ類圍巖段；堵頭總長度30 m，以C25混凝土澆筑堵頭，其上游端與下游端嵌入圍巖的深度分別為1.5、0.5 m。圍巖范圍橫截面選取堵頭邊界外50 m，長度取60 m。模型頂部自由，按 2.71 MPa的自重應力施加豎向荷載，模型左右兩側和上下游側圍巖邊界以及底部圍巖邊界分別施加法向約束，堵頭上游斷面施加1 MPa水壓力，堵頭下游斷面處于臨空狀態。

以圍巖的黏聚力C、內摩擦角φ、彈性模量E作為基本隨機變量，令某一隨機變量取不同的參數值而其他隨機變量都取定值，利用ABAQUS有限元模型分別計算出堵頭與圍巖接觸面的摩擦力，擬合出摩擦力關于不同隨機變量的單一變化函數。在此基礎上，通過多元素回歸分析，最終得到摩擦力關于這些隨機變量的整體顯示表達式。

對于Ⅳ級圍巖，參照相關資料，得到隨機變量的統計特征為表1。改變模型中圍巖材料參數，對模型進行分析計算，當其中一個隨機變量取變值時，其它變量均取最小值。各隨機變量取值如表2。

表1 隨機變量統計特征Table 1 The statistical characteristics of random variables

表2 隨機變量取值Table 2 The random variable values

圖2 單一因素作用下接觸面摩擦力的變化Fig. 2 The friction of the contact surface changed with the single factor

經過ABAQUS計算分析，可以得到堵頭與圍巖接觸面上的徑向壓應力，乘上相應的接觸面積，并沿接觸面積分即得總法向力，那么可以得到接觸面的摩擦力為

Ff=∑σniAif

(4)

式中：f為抗剪斷摩擦系數。

計算可得各隨機變量在單因素變化下的摩擦力，通過ORIJIN8.0對計算結果進行擬合，如圖2，可以得到摩擦力關于各隨機變量的函數表達式。

Ff關于C的函數為

Ff=131.799-42.968C

(5)

相關指數R2=0.984；

Ff關于φ的函數為

Ff=142.525-448.583e-0.087 94φ

(6)

相關指數R2=0.999；

Ff關于E的函數為

Ff=144.603-68.809e-0.000 263E

(7)

相關指數R2=1。

在得出堵頭與圍巖接觸面摩擦力與各隨機變量在單因素變化下的函數關系式后，再進一步通過多元素回歸分析求出摩擦力關于3個隨機變量的多因素函數關系：

Ff=188.197-39.897C+426.409e-0.087 9φ-67.402e-0.000 263E

(8)

相關指數R2=0.998。

根據前面得到的堵頭可靠性功能函數式(2)，可得堵頭功能函數顯式表達式：

g=55.465+1 088.628C+426.409e-0.087 9φ-67.402e-0.000 263E

(9)

2.2 堵頭可靠度指標計算

現階段，用以計算可靠度的常用方法有一次二階矩法、二次二階矩法、漸進積分法、響應面法、蒙特卡洛法等多種計算方法[1]。對比分析幾種常用的可靠度計算方法的適用條件和優缺點可知，在具體應用中，主要是根據功能函數是否為線性和其中基本隨機變量不同的概率分布類型來選用合適的計算方法。

選取對水工隧洞堵頭的設計影響較大的3個因素，即圍巖黏聚力、內摩擦角、彈性模量作為基本隨機變量，并假定這3個隨機變量均獨立且服從正態分布，通過ABAQUS有限元計算分析可以得到水工隧洞堵頭結構功能函數的顯示表達式，選用設計驗算點法進行可靠度的計算。根據設計驗算點法計算原理，編制了計算堵頭可靠度的MATLAB程序，若以Pf表示水工隧洞堵頭的失效概率，β為堵頭可靠度，二者關系可由Pf=1-Φ(β)表示。由此可知，在計算失效概率時，可通過求解其可靠度來實現。運行計算程序，可計算得到該堵頭的可靠指標β=6.602 7，失效概率Pf=2.018 5×10-11。

3 水工隧洞堵頭設計參數優化

3.1 目標可靠指標分析

在結構設計時，如何考量其可靠程度，或如何確保此結構設計合理有效，存在一些最低標準，其中目標可靠指標(β0)即是在可靠度中的最低標準。表3為我國建筑工程、港口工程、公路工程和水利水電工程結構可靠度設計標準[13-15]。

表3 我國工程結構承載能力極限狀態設計的目標可靠度Table 3 The target reliability of the load capacity limiting state of Chinese engineering structure

按照校準法確定的各結構承載能力極限狀態設計的目標可靠指標，考慮了結構的破壞類型和安全等級，脆性破壞構件的可靠指標要比延性破壞構件高0.5。實際對于兩相鄰安全等級的構件而言，其可靠性指標的差值較小。但是據此計算出的失效概率卻相差甚大，有大概一個數量級之差。

國際標準ISO 2394：1998《結構可靠性總原則》給出了目標可靠指標的示意值，如表4，可靠性指標是根據抗力服從對數或威布爾分布、永久作用服從正態分布和可變作用服從極值Ⅰ型分布確定的。該標準的建議是：

1)A使用極限狀態：采用βT=0；對于不可逆的使用極限狀態，采用βT=1.5。

2)B疲勞極限狀態：取決于檢驗的可能性，采用βT=2.3～3.1。

3)C承載能力極限狀態：采用βT=3.1、3.8和4.3。

表4 ISO 2394的目標可靠指標的示意Table 4 The reliable targets of ISO 2394

3.2 不同長度堵頭可靠度計算

參照以上標準，根據上述堵頭的可靠度計算結果，30 m長度的堵頭趨于保守，不僅延長了工期，而且還增加了工程造價，造成不必要的浪費。所以需要找到一個合適的堵頭長度，既滿足可靠性要求而又經濟合理。因此，改變堵頭的長度，分別計算不同長度下堵頭的可靠性，進而找到一個最合適的長度值。將堵頭模型長度分別改為10、15、20、25 m，其它條件不變，依次對模型進行分析計算，得出各個長度堵頭的可靠指標及失效概率，計算結果如表5。

表5 不同長度堵頭的可靠指標及失效概率Table 5 The reliable index and failure probability of the plug with different length

3.3 堵頭抗滑穩定性分析

在上述研究堵頭可靠性的有限元計算分析中提取出圍巖C、φ、E都取均值時的計算結果，能夠得出沿接觸面的摩擦力Nf，黏結有效面積系數取0.6，水壓力為作用于堵頭上的唯一外荷載，故水平方向合力為堵頭上游面的水壓力，據此可以對堵頭穩定性進行計算分析。利用混凝土重力壩抗滑穩定安全系數計算方法，即式(10)計算不同長度堵頭相應的抗滑穩定安全系數K。

(10)

式中：[K]為允許安全系數；K為抗剪斷安全系數；N為滑動面法向力，MN；f為抗剪斷摩擦系數；α為黏結有效面積系數；A為有效承剪面面積，m2；C為黏聚力，MPa；∑PH為水平方向合力，MN。

計算出各長度堵頭的抗滑穩定安全系數K如表6。

表6 不同長度堵頭的抗滑穩定安全系數Table 6 The anti-sliding stability safety factor of the plug withdifferent lengths

如按照《混凝土重力壩設計規范》的規定，堵頭長期運行時，永久堵頭在設計荷載的作用下K≥3，故只有25 m、30 m長度的堵頭才滿足穩定性要求。

3.4 基于可靠性的堵頭設計長度優化分析

從表5中數據可知，20 m長度的堵頭已具有較小的失效概率，可靠度較高，而從堵頭的抗滑穩定安全系數來看，20 m堵頭并不符合穩定性要求，考慮到采用重力壩抗滑穩定安全系數核算方法來計算堵頭的穩定性時，沒有考慮水壓力作用下堵頭受圍巖的側向約束的有利影響，計算比較保守，因此筆者根據對不同長度堵頭可靠性的分析研究得出的結果，并結合我國標準和國際標準中的結構可靠指標建議值，認為20 m長度的堵頭是安全合理的。

4 結 論

將可靠性理論引入到水工隧洞堵頭的設計計算中，建立基于可靠性理論的堵頭設計參數優化分析方法。

1)通過對導流洞堵頭極限狀態的分析，建立極限狀態方程，并在此基礎上，利用非線性有限元分析軟件ABAQUS建立導流洞堵頭及圍巖的三維有限元計算模型，在可靠性理論的基礎上建立堵頭力學性能可靠性的顯式功能函數，選用設計驗算點法編制了計算堵頭可靠度的MATLAB程序，計算出設計堵頭的可靠指標為β=6.602 7，失效概率為Pf=2.018 5×10-11。

2)分析了國內外工程結構可靠性指標標準，在此基礎上，針對該水工隧洞，分別對長度為10、15、20、25 m堵頭模型進行可靠性分析計算得到可靠指標分別為4.15、5.04、5.7、5.9；再對各長度的堵頭進行穩定性分析，得到相應的抗滑穩定安全系數K分別為2.3、2.86、3.41、3.95。綜合考慮堵頭應滿足的可靠性和穩定性要求，認為可將堵頭長度從30 m優化為20 m。