偏心受壓構件大小偏心不確定性的研究

肖光宏，湯名豪，謝 鑫

(重慶交通大學 土木工程學院，重慶 400074)

0 引 言

鋼筋混凝土矩形偏心受壓構件是工程中常用的構件之一，對偏心受壓構件的計算是設計時的重要環節。由于小偏心受壓構件的計算需要求解一元三次方程，可能會導致在偏心受壓構件判別時產生分歧，因此目前對偏心受壓構件的研究主要集中在小偏心受壓上。祝磊等[1]理論分析得出，在配筋率以及混凝和鋼筋材料一定的情況下，鋼筋混凝土柱將不會出現全截面受壓的情況，小偏心受壓時的相對受壓區高度ξ總是滿足ξb<ξ

筆者對現行規范JTG D 62—2012《公路鋼筋混凝土及預應力混凝土橋涵設計規范》(以下簡稱《規范》)中偏心受壓構件判別的方法進行了研究，首先，理論分析了大小偏心受壓公式中解(即受壓區高度)的分布情況，研究大小偏心判別的不確定性現象；然后，用算例驗證了受拉鋼筋應力的不連續對承載力的影響，研究得到了偏心受壓公式中解的分布情況。研究結果表明：一元三次方程在(0，+∞)上只存在唯一解，不會發生不確定性現象；在不同的偏心假設下，承載力在臨界偏心距處均存在誤差，且誤差與偏心假設和材料強度有關。

1 問題的提出——不確定性現象

1.1 偏心受壓構件的求解

《規范》對不使用預應力鋼筋的矩形截面偏心受壓構件抗壓承載力的規定如圖1及式(1)～式(8)：

(1)

(2)

(3)

(4)

圖1 矩形截面偏心受壓構件正截面抗壓承載力計算Fig. 1 Calculating the bearing capacity of eccentric compression member with rectangle section

求得ξ=x/h0，當ξ>ξb時，為小偏心構件；當ξ≤ξb時，為大偏心構件[6-7]。

式(1)中，受拉鋼筋的應力σs按式(5)取值：

(5)

先假設大偏心[8-10]，再按式(6)進行試算得到x，然后求ξ：

(6)

1)當ξ≤ξb時，即為大偏心構件；

2)當ξ>ξb時，應按照小偏心構件重新計算，聯立式(5)、式(6)，得到一個關于x的一元三次方程

Ax3+Bx2+Cx+D=0

(7)

求解方程(7)，即可得到x及相應的ξ。承載力按式(8)計算：

(8)

1.2 不確定性現象

當鋼筋混凝土強度不同時，發現臨界狀態下(即ξ=ξb)，式(5)中σs值和fsd值不同。臨界狀態下σs值的分布如表1。

表1 臨界狀態下 s值Table 1 Value of s under critical condition MPa

表1 臨界狀態下 s值Table 1 Value of s under critical condition MPa

鋼筋種類fsd/MPa混凝土強度等級≤C50C55C60C65HPB235195201.194216.125201.600216.698HRB335280282.857300.926288.444302.885HRB400330336.226356.863338.824360.000

表1顯示，在臨界狀態ξ=ξb下，σs值始終大于fsd值，說明σs是一個關于x的不連續函數。因此，在臨界狀態附近，x的求解將會受到影響。

在臨界狀態附近，先通過大偏心公式求解到x>ξbh0，判斷構件為小偏心，再代入小偏心公式進行重算，可能會出現x≤ξbh0的情況，使其再判斷構件為大偏心，導致判斷結果不確定性(圖2)，從而算法陷入死循環。

圖2 不確定性現象Fig. 2 The phenomenon of nondeterminacy

2 理論分析——受壓區高度

筆者分別對①先假設為大偏心，②先假設為小偏心這2種情況，由式(6)、式(7)解得x的分布進行分析，來研究不確定性現象。同時對小偏心公式(7)進行論證，確定解x在(0,+∞)上的分布情況。

2.1 先假設為大偏心

2.1.1 大偏心公式的試算

假設構件大偏心受壓，首先根據式(6)計算出x，若x值在(0,ξbh0]之間(圖3中的區間1)，則假設成立，此時x值的分布情況如圖3；若x值在區間(ξbh0,+∞)上，則需要按照式(7)重新計算。

圖3 大偏心公式的解x的分布情況Fig. 3 Distribution of x solved by formula of large eccentricity

2.1.2 小偏心公式解的唯一性研究

由于式(7)為一元三次方程，在(0,+∞)上可能存在多解，因此在重算之前，需研究式(7)的解x在(0,+∞)上的唯一性。

對式(7)作相應的變換，得出函數式(9)～式(11)：

(9)

(10)

f(x)=f1(x)-f2(x)

(11)

1)f1(x)的對稱軸在y軸右側時，即h/2-e0>0，對函數f(x)求導，得：

(12)

式中：x+es-h0=x-(h/2 -e0)。

當x≥h/2-e0時，f′(x)>0成立；當x0在(0,+∞)上成立，則f(x)在(0,+∞)上單調遞增。

2)f1(x)的對稱軸在y軸左側時，即h/2-e0<0，有f1(x)在(0,+∞)上單調遞增，f2(x)在(0,+∞)上單調遞減，則f(x)在(0,+∞)上單調遞增。

綜上，函數f(x)在(0,+∞)上單調遞增，因此式(7)的解x在(0,+∞)上具有唯一性。

2.1.3 小偏心公式的重算

臨界狀態下，ξ=ξb，按照式(7)重算，解得的x有最小值，記為xmin。式(7)的解x位于圖4的區間2內。

圖4 小偏心公式的解x的分布情況
Fig. 4 Distribution of x solved by formula of small eccentricity

臨界狀態下，ξ=ξb，若式(11)中σs=fsd，則xmin=ξbh0,f(ξbh0)=0。而實際上，σs>fsd，所以xmin≠ξbh0，且f(xmin)=0，因式(11)中σs的系數為負數，故f(ξbh0) < 0。

由于函數f(x)在(0,+∞)上單調遞增，則xmin>ξbh0，因此，在ξbh0和xmin之間存在一段如圖5的空白區間。

圖5 空白區間的分布情況
Fig. 5 Distribution of blank interval

圖5是先假設為大偏心的情況下，x的總體分布情況。圖中空白區間說明式(7)解得的x值偏大，其原因在于σs的不連續性。所以，先假設為大偏心時，不會發生不確定性現象。

2.2 先假設為小偏心

先假設為小偏心的情況下，由2.1.3可知，臨界狀態下，ξ=ξb，式(7)求解出的x值偏大。

當式(7)解得的x=ξbh0時，設x真實值為(ξbh0-Δ)。若x真實值位于(ξbh0-Δ，ξbh0)上，式(7)解得的x位于 (ξbh0,xmin)上，這時不會使用式(6)進行重算。將區間(ξbh0-Δ，ξbh0)定義為誤判區間，若x真實值位于此區間內，構件將會被誤判為小偏心受壓構件，如圖6。

圖6 x真實值與公式解得的x值Fig. 6 Real x and the x solved by formula

由圖6可知，先假設為小偏心時，將會發生以下3種情況：

1)若x真實值位于區間3中，則會被式(7)解到區間4′中，此時構件為小偏心受壓構件。

2)若x真實值位于誤判區間2中，則會被式(7)解到區間3′中，解得x>ξbh0，此時大偏心受壓構件被誤判為小偏心受壓構件，發生誤判現象。

3)若x真實值位于區間1中，則式(7)解得x<ξbh0-Δ，此時需要根據式(6)進行重算，最終將會被解到區間1′中，該構件仍為大偏心受壓構件。

由于《規范》規定受拉鋼筋應力σs是不連續的，因此區間2′是解不到的一段空白區間，所以，先假設為小偏心的情況下，x的總體分布情況如圖7，此時不會發生不確定性現象。

圖7 x的總體分布情況
Fig. 7 Overall distribution of x

3 算例分析——偏壓構件承載力

受壓區高度x和承載力Nu均為關于偏心距e0的函數。先假設為大偏心時，通過改變e0，利用式(6)求出x，再用式(8)求得承載力Nu。

圖8 先假設為大偏心時計算承載力流程Fig. 8 Flow chart for bearing capacity under the large eccentricity hypothesis

圖9 2種偏心假設下承載力Nu隨偏心距e0的變化Fig. 9 Nu changing with e0 under two types of eccentricity hypotheses

1)在C30+HRB335組合下，臨界偏心距處為一個跳躍間斷點，這是受拉鋼筋應力σs不連續造成的。

2)先假設為大偏心和先假設為小偏心2種情況下，在臨界偏心距處承載力Nu的誤差，C30+HRB335、C50+HRB335、C30+HRB400這3種組合分別為665N和2 066N、1 192N和2 796N、1 172N和3 780N。

3)對同一構件而言，在同一材料強度下，若先假設為大偏心，承載力Nu的誤差值要小于先假設為小偏心的情況。相同的偏心假設下，隨著材料強度的增強，誤差值也隨之增大。

5 結 論

1)通過分析論證，大小偏心公式求解出的受壓區高度x具有唯一性，不會發生不確定性現象。

2)小偏心公式的一元三次方程的解x，在(0,+∞)中只存在唯一解。

3)由于受拉鋼筋的應力σs是不連續的函數，先假設為大偏心時，會存在一個空白區間，先假設為小偏心時，會存在一個誤判區間和一個空白區間，但是由于誤差范圍較小，因此小偏心受壓公式在實際工程應用中是可行的。

4)針對同一偏心受壓構件，在不同的偏心假設下，承載力Nu在臨界偏心距處均存在誤差，且先假設為大偏心時的誤差小于先假設為小偏心時的誤差，誤差與材料強度呈正相關。