基于導波模態轉角的鋼絞線張拉力計算方法研究

錢 驥，楊金川，李長春，張俊波

(1.重慶交通大學 土木工程學院， 重慶 400074；2.重慶交通大學 山區橋梁與隧道工程國家重點實驗室培育基地， 重慶 400074)

0 引 言

預應力鋼絞線廣泛應用于預應力混凝土結構、橋梁拉/吊索等重要工程結構物中，其應力水平直接影響著結構的耐久性和安全性。然而，在張拉及使用過程中，受各種因素影響，鋼絞線難以長期保持在設計應力水平，導致結構承載能力下降，甚至威脅到結構的整體安全。因此，開展在役結構鋼絞線應力水平檢測對保障預應力結構安全性及耐久性至關重要。

在結構施工階段鋼絞線張拉力易于測量，當施工完畢投入使用之后，由于受外圍混凝土及PE管套保護，常規的鋼絞線張拉力測量方法均不再適用。長期以來，開展在役結構鋼絞線應力水平檢測都是工程界面臨的技術難題。目前，針對已運營結構鋼絞線的應力水平檢測研究成果均有其適用范圍，如鄧年春等[1]、蘭春光等[2]采用光纖光柵監測鋼絞線預應力，需要在鋼絞線制作階段預埋光纖；吳斌等[3]基于磁彈效應提出了一種桿件拉力測量方法，分析了傳感器結構及其勵磁方式、材料剩磁狀態、溫度和數據分析過程等因素的影響，但該方法僅適用于體外預應力結構；張奔牛等[4]將鋼絞線考慮為振蕩電路的一部分，通過振蕩頻率與鋼絞線中應力的關系來檢測鋼絞線的預應力水平，但振蕩頻率隨預應力變化不明顯，且檢測時干擾信號較大。超聲導波是近年來研究較多的一種結構無損檢測方法，與傳統超聲波檢測使用的體波相比，導波是由波導介質邊界多次反射形成，其模態特征攜帶了結構受力狀態信息，不同應力狀態產生不同的導波模態分布。H.KWUN等[5]通過試驗研究了加載鋼絞線中超聲導波的頻散特性，加載后鋼絞線的縱向模態部分頻段會出現缺失；N.CLAUDIO等[6]研究了鋼絞線軸向張拉力與激勵導波倍頻能量比β之間的關系，并考慮了有粘結混凝土的影響；劉增華等[7]根據波動理論和聲彈性理論，建立了鋼絞線中最低階縱向模態群速度與鋼絞線應力之間的對應關系，當鋼絞線應力小于500 MPa時呈現較好的線性關系。

筆者基于柱波導理論推導了有約束邊界條件下高強鋼絲導波模態分布，并采用有限元方法分析了不同邊界約束條件下導波模態頻散曲線的變化規律；基于張拉力對導波頻散曲線的影響規律，回歸分析了直徑15.2 mm鋼絞線中心鋼絲一階縱波模態轉角隨張拉力變化關系，建立了考慮鋼絞線螺距、鋼絲間摩擦系數的張拉力計算式。

1 有約束條件下單根鋼絲縱向導波理論頻散曲線求解

彈性波在均勻各向同性彈性固體介質中的傳播應滿足Navier控制方程[8]

(1)

而對于高強鋼絲這類細長圓柱體，可以將式(1)轉換到柱坐標系下

(2)

(3)

(4)

式中：ωr、ωθ、ωz分別為旋轉矢量的3個分量。

導波在高強鋼絲中傳播存在多種模態。對于不受力自由邊界鋼絲而言，鋼絲表面應力為0，縱向導波的應力邊界條件可表示為：

σrr=σrz=0， (r=a)

(5)

式中：σrr、σrz為柱坐標系下鋼絲表面的應力分量；a為鋼絲截面半徑。

通過該應力邊界條件，可求解縱向導波的頻率方程為：

4k2αβJ1(αa)J0(βa)=0

(6)

當鋼絲表面處于受約束狀態時，其應力邊界條件不再滿足式(5)，不同約束條件將產生不同的頻率方程。考慮鋼絲表面受最強位移約束，各向位移均為0，達到固結狀態，此時縱向導波的邊界條件可以表示為：

ur=uz=0， (r=a)

(7)

通過該位移邊界條件，可求得高強鋼絲受表面位移約束下縱向導波頻率方程

αβJ1(αa)J0(βa) +k2J1(βa)J0(αa)=0

(8)

式(6)和式(8)均為超越方程，分別采用數值方法進行求解，得到自由和固定邊界下高強鋼絲中一階縱向導波的理論頻率-波數曲線。材料參數如表1，求解得到的一階縱向導波頻率-波數曲線如圖1。

表1 高強鋼絲材料參數Table 1 Material parameters of high strength steel wires

圖1 高強鋼絲中一階縱向導頻率-波數曲線Fig. 1 Frequency-wave number curves of first order longitudinal guided wave in high strength steel wires

由圖1知，不同邊界條件下，高強鋼絲中一階縱向導波模態分布具有明顯差異，隨著表面約束的增強，頻散曲線整體向高頻部分偏移。對鋼絞線結構而言，其中心鋼絲的邊界約束條件受外圍鋼絲的張力影響，模態變化將反映鋼絞線實時張拉力狀態。因此，基于一階縱向導波模態變化可以進行鋼絞線的張力水平檢測。

2 單根鋼絲導波傳播有限元分析

2.1 單根鋼絲有限元模型

超聲導波在鋼絞線中傳播，可看作是有約束條件下波在單根鋼絲中的傳播。以中心鋼絲為例，鋼鉸線受軸向張拉力作用時，外圍鋼絲對中心鋼絲施加法向接觸力和切向摩擦力，且這兩種約束力隨著鋼絞線張拉力的增大而增大。此時，鋼絞線各鋼絲之間的接觸面為一條螺旋線，中心鋼絲表面受外圍6根鋼絲形成的6條螺旋線位移約束。該約束狀態理論求解非常復雜，筆者采用有限元方法進行計算分析。

采用ABAQUS/Explicit分別建立表面自由、表面固結、表面線約束(鋼絲表面軸向施加6條線約束，同時約束軸向和徑向位移，不考慮螺旋幾何特征的影響，如圖2)等3種邊界條件下的高強鋼絲有限元模型。鋼絲長L=300 mm，直徑d=5mm，不考慮材料阻尼影響，材料參數如表1。

圖2 高強鋼絲有限元計算模型Fig. 2 Finite element model of high strength steel wires

為激起高強鋼絲中的縱向導波，采用三角脈沖對鋼絲端面中心施加軸向激勵，脈沖荷載持續時間為3 μs，荷載結束后持續197 μs以模擬彈性波在鋼絲中的傳播過程，激勵荷載如圖3。

圖3 激勵荷載Fig. 3 Impulses load

2.2 縱向導波頻散曲線計算結果

在端面軸向三角脈沖激勵下，鋼絲內部形成導波傳播，沿波傳播路徑上提取x=25、150、275 mm等3個節點的振動時域信號(圖4)，從圖中可以看到明顯的時間滯后，但無法直觀反映模態信息。

沿波傳播路徑上提取更多節點振動時程信號構成二維時間-空間矩陣，通過二維傅里葉變換，將時間域的信號轉換到頻率域、空間域的信號轉換到波數域，可求得頻率-波數頻散曲線。二維傅里葉變換[10]如式(9)：

H(k,f)=?A(z,t)e-i(wt+kz)dzdt

(9)

式中：A(z,t)為鋼絞線中心鋼絲各點的軸向加速度時程；ω為圓頻率，ω=2πf。

圖4 節點時程曲線Fig. 4 Time history curves in finite points

分別提取3種邊界條件下有限元模型中間500個節點(x=25～275 mm，相鄰節點間隔0.5 mm)的時域波形進行二維傅里葉變換，如圖5。

圖5 不同邊界條件一階縱向導波頻率-波數曲線Fig. 5 The first order longitudinal guided wave modal distribution under different boundary conditions

從圖5可知，邊界條件為自由邊界和表面固結時，有限元計算結果與理論頻率-波數曲線完全吻合，說明采用有限元模擬導波傳播過程及采用二維傅里葉變換提取頻散曲線均有效可行。

同時，與自由邊界條件相比，當鋼絲表面有線固結約束時，一階縱向導波截止頻率顯著上升，頻散曲線整體向高頻部分偏移，且低頻成分的頻率上升現象更為明顯，導致一階縱向導波頻散曲線在低頻段與自由邊界頻散曲線之間形成明顯轉角。

隨著鋼絲表面約束的進一步增強，即鋼絲表面位移被全部約束達到固結狀態，一階縱向導波各波數對應的頻率上升現象更明顯。總體而言，隨著鋼絲表面約束剛度增大，頻散曲線向高頻部分偏移，截止頻率提高，低頻位置出現模態轉角。

3 鋼絞線導波傳播有限元分析

3.1 鋼絞線有限元模型

受預加力水平及荷載影響，不同橋梁鋼絞線張拉力不一致，中心鋼絲受到的約束強度也不相同，實際上處于一種彈性線約束狀態，其最強約束為線固結約束。通過建立鋼絞線整體有限元模型，可分析不同張拉力狀態下導波頻散曲線變化規律。

有限元模型采用工程中常用的直徑d=15.2 mm，螺距h=260 mm的鋼絞線，長度L=520 mm，不考慮材料阻尼影響，材料參數見表1。

為了更好地模擬鋼絞線多根鋼絲間的接觸作用，鋼絞線中接觸區域的網格應在單根鋼絲模型的基礎上進一步加密。因此，文中鋼絞線沿軸向的單元尺寸為1 mm，接觸區域的單元尺寸最小為0.1 mm。網格劃分后，該模型一共由1 745 623個六面體8節點單元組成(圖6)。積分時間步長對波動效應求解的精度和穩定性影響較大，由于鋼絞線結構的復雜性，筆者采用全自動積分時間步長。

圖6 鋼絞線有限元計算模型Fig. 6 Finite element model of steel strands

整個模擬過程分為軸向張拉力施加、導波激勵以及導波傳播3個階段。模型采用一端完全固定，另一端僅釋放軸向位移，約束其它方向自由度。在鋼絞線的非固定端施加光滑幅值曲線的面荷載，模擬軸向張拉力作用，該過程是一個準靜態加載過程，為了防止干擾信號的產生，加載時間設定為300 μs，在波激勵和波傳播過程中幅值保持恒定(如圖7)。在非固定端的中心鋼絲截面中心處，采用三角脈沖進行軸向激勵，脈沖荷載持續時間為3 μs，荷載結束后持續697 μs以模擬彈性波在鋼絞線中的傳播過程，激勵荷載如圖3。為防止導波信號因預應力的擾動而湮滅，在已加載預應力鋼絞線中激勵導波時，激勵信號能量級應遠高于預應力能量級[11]。

鋼絞線間的法向接觸采用“硬”接觸，切向接觸采用摩擦系數為0.6的“罰”摩擦進行模擬[12]。

圖7 軸向張拉力幅值曲線Fig. 7 Time-history curve of axial force

3.2 一階縱向導波模態分布

分別提取鋼絞線軸向應力達到1 302 MPa時，中心鋼絲軸線上x=60、260、460 mm等3個節點時程曲線(如圖8)，圖中能看到時間滯后、幅值衰減及頻散現象。在x=60 ～ 460 mm范圍內，提取400個間距為1 mm的節點軸向加速度時程曲線A(z,t)構成二維矩陣。

圖8 鋼絞線中心鋼絲節點時程曲線Fig. 8 Time-history curves in central wire nodes of steel strands

通過二維傅里葉變換計算鋼絞線中心鋼絲一階縱向導波的頻率-波數如圖9。

圖9 鋼絞線中心鋼絲縱向導波頻率-波數曲線Fig. 9 Central wire frequency-wave number curves in steel strands

由圖9可知，受鋼絞線張拉力作用，鋼絞線外圍鋼絲對中心鋼絲提供了彈性約束，該約束作用使得中心鋼絲一階縱向導波頻散曲線向高頻部分偏移，但沒有達到線固結約束狀態頻散曲線，這也說明鋼絞線中外圍鋼絲對中心鋼絲的約束沒有達到線固結狀態。

由于低頻部分偏移更為明顯，從而在300 kHz附近出現了模態轉角，且該模態轉角受外圍鋼絲的約束強度影響，即反映了鋼絞線張拉狀態。

3.3 引起模態轉角的原因分析

鋼絞線外圍鋼絲對中心鋼絲的彈性約束作用使得鋼絞線中心鋼絲一階縱向導波出現模態轉角，但約束作用通常分為法向約束作用和切向約束作用，二者對于模態轉角的影響需要進一步研究。

采用文中所建立的鋼絞線有限元模型，分析2種不同約束狀態下鋼絞線中心鋼絲一階縱波模態分布情況。約束狀態如下：

1)法向約束為“硬”接觸，無切向約束；

2)法向約束為“硬”接觸，切向約束采用摩擦系數為0.6的“罰”摩擦模擬。

有限元建模、脈沖激勵及數據處理如前，計算得到2種約束狀態下鋼絞線中心鋼絲一階縱向導波的頻率-波數曲線，如圖10。

圖10 不同工況鋼絞線中心鋼絲一階縱向導波的頻率-波數曲線Fig. 10 Central wire frequency-wave number curve in steel strands under different conditions

由圖10可知，當外圍鋼絲僅對中心鋼絲施加法向約束作用時，一階縱向導波模態在500 kHz附近出現缺失；當外圍鋼絲對中心鋼絲同時施加法向和切向約束作用時，一階縱向導波模態同樣在500 kHz附近缺失，且300kHz附近出現模態轉角。結果表明，外圍鋼絲對中心鋼絲的切向約束作用是引起一階縱向導波模態轉角的原因，而法向約束作用僅引起一階縱向導波模態部分頻帶缺失。

3.4 模態轉角隨鋼絞線拉應力變化關系

為準確計算模態轉角，對圖9中模態分布云圖進行簡化處理。將通過二維傅里葉變換得到的包含頻率-波數-幅值信息的三維矩陣，按列進行劃分，提取每列的最大值及最大值位置，根據求得的幅值矩陣各列最大值坐標，繪制其在頻率-波數平面的散點圖，并采用直線y=kx+b對投影點進行擬合。模態轉角主要出現在200～400 kHz頻率范圍內，對該頻段簡化之后得到圖11。定義兩直線L(0，1，1)和L(0，1，2)之間的交角為一階縱向導波模態轉角，如圖12。

圖11 簡化模態分布Fig. 11 Implification of mode graph

圖12 模態轉角計算方法Fig. 12 Calculation methods of mode bifurcation angle

工程中常用鋼絞線的抗拉強度標準值為1 860 MPa，分別進行10%、20%、30%、40%、50%、60%、70%、80%、90%、100%倍抗拉強度標準值荷載作用下鋼絞線導波傳播模態分析。按文中模態簡化提取方法進行數據處理，計算直線L(0，1，1)和L(0，1，2)各參數，結果見表2。

表2 參數計算Table 2 Calculation parameters

由表2可知，隨著鋼絞線張拉力的增加，鋼絲間的相互約束逐漸增強，一階縱向導波模態轉角逐漸增大。回歸分析軸向張拉力與模態轉角之間的函數關系如圖13。

圖13 應力與模態轉角的關系Fig. 13 Relationship between mode bifurcation angle and stress

由圖13可知，當拉力較小時，一階縱向導波模態轉角現象不明顯，采用簡化方法計算的轉角誤差較大，不考慮10%荷載等級，擬合鋼絞線應力σ(單位：MPa)與模態轉角關系：

σ= 69.45θ3.275

(10)

3.5 考慮鋼絞線螺距及摩擦系數影響的張拉力計 算簡式

根據S. MACHIDA等[13]的研究成果，七芯鋼絞線中，鋼絲間的法向接觸力p與鋼絞線所受的軸向張拉力成正比：

(11)

式中：F為作用在鋼絞線上的軸向張拉力，N；h為鋼絞線的螺距，m。

采用“罰”摩擦公式模擬鋼絞線間的切向作用時，當未達到臨界切向摩擦力，切向摩擦力τ與法向接觸力p成正比：

(12)

式中：μ為摩擦系數。

由式(12)可知，鋼絞線張拉力與鋼絲間摩擦力呈線性關系，考慮式中螺距和摩擦系數影響，對有限元計算結果進行修正，得：

(13)

式中：A為鋼絞線截面積，A=144 mm2；μ0為有限元計算模型摩擦系數，μ0=0.6；h0為模型鋼絞線螺距，h0=0.26 m。

從而可得到鋼絞線張拉力計算簡式：

4 結 論

1)推導了邊界自由及表面固結條件下單根鋼絲理論頻散曲線分布，基于二維傅里葉變換的有限元仿真計算值與理論計算值完全吻合。

2)隨著鋼絲表面約束剛度增大，一階縱向導波頻散曲線整體向高頻部分偏移，低波數部分偏移現象明顯，在頻率300 kHz附近出現模態轉角。

3)受鋼絞線張拉力作用，鋼絞線外圍鋼絲對中心鋼絲提供了彈性約束作用。對比分析了鋼絲間法向約束作用和切向約束作用模態變化規律，引起300 kHz附近出現模態轉角的原因是鋼絲間的切向約束力。

4)對不同張拉力條件下的模態轉角進行了回歸分析，考慮鋼絞線螺距與鋼絲摩擦系數對回歸式的影響，建立了一階縱向導波模態轉角與鋼絞線張拉力之間的冪函數關系式。