歐式空間在幾何上的運用研究

郭 茜，吳桂康

（成都師范學院 數學學院，四川 成都 611130）

隨著在實數域上線性空間中引入“內積”的概念，這樣的線性空間就構成了歐幾里德空間(Euclidean Space)，簡稱為歐氏空間，并隨之得到向量的度量性質，如長度、兩個向量的夾角等.通過向量的度量性質在解決幾何問題上有著特殊的地位，比如勾股定理的證明[1]，平行四邊形對角線的平方和等于各邊平方之和[1]等等.

1 歐式空間中的有關結論

定義1[1]設V是實數域R上的一個線性空間，在V上定義了一個二元實函數，稱為內積，記作α，β〉，它具有以下性質：

(1)（α，β）=（β，α）；

(2)（kα，β）=k（α，β）；

(3)（α+β，γ）=（α，γ）+（β，γ）+；

(4)（α，α）≥0，當且僅當α=0時（α，α）=0.

這里α，β，γ是V中任意的向量，k是任意實數，這樣的線性空間V稱為歐幾里得空間.

定理1[1]令W是歐式空間V的一個有限維子空間，那么

因而V的每一向量ξ可以唯一地寫成

這里 η∈W，＜ζ，W＞=0.

我們把子空間W⊥叫作W的正交補.η叫作向量ζ在子空間W上的正射影.

定理2[1]設W是歐氏空間V的一個有限維子空間，ξ是V的任意向量，η是ξ在W上的正射影.那么對于W中任意向量η'≠η，都有

定理2是幾何空間中“垂線是最短距離”在n維歐氏空問中的推廣,ζ在V的子空間W上的正射影η叫做W到ζ的最佳逼近（圖1）.

圖1

定理3[2]在標準正交基下，向量的坐標可以通過內積簡單地表示出來，即

α=〈ε1,α〉ε1+〈ε2,α〉ε2+…+〈εn,α〉εn.

2 主要結論

2.1 夾角和長度方面在幾何上的應用

歐式空間中向量長度和夾角的定義正是解析幾何中向量長度和夾角定義的自然推廣.因此我們常常利用它們的相關性質，去解決幾何上的相關問題.

例1[1]證明：一個三角形如果有一邊是它的外接圓的直徑，那么這個三角形一定是直角三角形.

證如圖 2，設 |α1|=|α2|=|α3|，α1=-α3，ξ1=α3-α2，ξ2=α2-α1，利用“歐式空間中兩個向量正交的充要條件是它們的內積為0”，于是

所以ξ1與ξ2正交，這個三角形是直角三角形.

圖2

例2在實線性空間C[-1,1]中定義內積為：

求向量：α1(x)=1+x，α2(x)=-1，α3(x)=-x構成的三角形的三個內角.

解因為 α1(x)=1+x，α2(x)=-1，α3(x)=-x

則

又

2.2 正射影和距離在幾何上的運用

最佳逼近有著許多重要的應用，比如解線性方程組、求直線型經驗公式和求某些多元函數的極小值等等，下面我們來看一下它在幾何方面的運用.

例3 設R3是三維歐氏空間，W是R3的子空間.且 ε1=(1，0，0)，ε2=(0，1，0)是 W 的一組基.若 α=(2，0，3)∈R3，試求α在W上的正射影是什么向量.

解設α在W上的正射影是β，則

例 4[3]證明：R3中向量（x0，y0，z0）到平面

證 在 R3中設 ζ=（a，b，c），η=（x0，y0，z0）.設 η'=（x'，y'，z'）是在上的正射影，則η-η'⊥W，且|η-η'|是η到W的最短距離.

因為對任意 ζ= （x，y，z）∈W，（ξ，ζ）=ax+by+cz=0，故ζ⊥W，于是向量η在W上的射曩為η'（圖3）.設 ξ與的夾角為 θ，則

圖3