關于兩類雙單葉函數的系數估計

敖 恩

（1.赤峰學院 數學與統計學院；2.赤峰學院 應用數學研究所，內蒙古 赤峰 024000）

1 引言

用A表示所有在單位圓盤U={z∈C:|z|＜1}內解析且具有形式

的函數族.記S表示A內在單位圓盤U={z∈C:|z|＜1}內單葉解析函數的全體.用P表示在U內解析且形如同時滿足Re{p(z)}＞0的函數全體,稱其為正實部函數.另外，用 N 表示 P 內滿足條件 ?(0)=0,?'(0)＞0和 ?(U)為關于實軸對稱的區域，且形如的函數的全體.

在文獻[1]中，Koebe-1/4定理[1]得到了如下結論：對于每一個函數f∈S必存在一個逆函數f-1,滿足

和

若f∈A和其逆函數f-1在單位圓盤U內都是單葉，則稱函數f∈A在U是雙單葉解析函數.用σ表示在U內雙單葉解析函數全體.若f-1(ω),則

在文獻[2]中,Robertson引進了擬從屬的概念.設函數f(z),h(z)在單位圓盤U內解析,如果存在解析函數φ(z),使函數在 U 內解析且 |φ(z)|＜1 和 ω(0)=0,|ω(z)|＜1 滿足

則稱函數f(z)在U內擬從屬于h(z),記為f(z)?qh(z).特別地,當φ(z)=1時,f(z)=h(ω(z)),z∈U,稱函數f(z)在U內從屬于函數 h(z),記為 f(z)?h(z);當 ω(z)=z時,f(z)=φ(z)h(z),z∈U.稱函數 f(z)在U內優于函數h(z),記為f(z)?h(z).顯然，“從屬關系”和“優化關系”是擬從屬關系的特殊情況.

在文獻[3]中,Lewin首次引入雙單葉函數族σ,得到了如下結論：若函數 f(z)∈σ,則 |a2|≤1.51.在文獻[4]和[5]中,對于函數f(z)∈σ先后得到了.最近幾年,一些研究者利用擬從屬關系定義與雙單葉函數相關的一些重要子類,并研究相應函數類的起始兩項的系數估計問題[6-9].受以上研究工作啟發，本文利用擬從屬關系引入了下面的兩類雙單葉函數:

則稱f(z)∈Sqσ(γ,λ;?),其中 γ∈C{0},0≤λ≤1，?∈N,g(ω)=f-1(ω).

定義2若函數滿足條件

則稱f(z)Kqσ(γ,λ;?),其中 γ∈C{0},0≤λ≤1，?∈N,g(ω)=f-1(ω).

在本文中,利用復分析的一些方法和正實部解析函數的系數估計和分析技巧,研究了上述兩函數類中函數的起始項a2和a3的邊界估計，得到了全新的結果.

為了得到本文主要結果，引進關于正實部函數解析函數的系數估計.

引理[10]設

2 主要結果

除特別聲明,本文規定

在U內定義函數p1(z),p2(ω)為

則函數p1(z),p2(ω)在U內解析，且p1(0)=p2(0)=1.簡單計算可得

由解析函數 u,v:U→U 可得,函數 p1(z)，p2(ω)∈P.由(2.1)-(2.5)，計算可得

和

定理1設,則

和

證明由于則根據定義 1 和擬從屬關系可知

和

將 f(z)=z+a2z2+a3z3+…和 g(z)=ω+b2ω2+b3ω3+…分別代入(2.10)式和(2.11)式左側,通過簡單計算可得

和

把(2.6)和(2.12)代入到(2.10),比較兩邊同次冪的系數可得

同理，把(2.7)和(2.13)代入到(2.11)式,比較兩邊同次冪的系數可得

由(2.14)和(2.16)得

由(2.15)和(2.17)得

若在(2.18)和(2.19)中利用引理,便可得(2.8)式中的|a2|的上界估計.

接下來，我們再討論|a3|的上界估計.把(2.17)代入到(2.15)可得

再把(2.18)和(2.19)代入到(2.20)式,可得

和

利用引理，并結合(2.20)和(2.21)，可得出關于|a3|的估計式(2.9).定理1證畢.

定理2設,則

和

證明由于則根據定義 2 和擬從屬關系可知和

和

將 f(z)=z+a2z2+a3z3+…和 g(ω)=ω+b2ω2+b3ω3+…分別代入(2.25)式和(2.26)式左側,通過簡單計算可得

和

把(2.6)和(2.27)代入到(2.25),比較兩邊同次冪的系數可得

同理，把(2.7)和(2.13)代入到(2.11)式,比較兩邊同次冪的系數可得

接下來證明過程同定理1類似，可得(2.23)式和(2.24)式成立.定理2證畢.