利用幾何畫板輔助指數函數教學的案例分析

祝佳佳

【摘要】在指數函數教學中，利用幾何畫板輔助作圖，以動態、直觀的形式引導學生觀察、思考、總結、歸納，不僅激發了學生的學習興趣，還大大提高了學習效率.幾何畫板作圖還可以推廣到對數函數和冪函數的教學中，更好地促進函數的教學，實現高效課堂.

【關鍵詞】幾何畫板；指數函數；教學

函數是高中數學最重要的內容之一，但由于其抽象性強，多數學生難以理解.教學大綱要求學生能從函數圖像中提取信息并運用這些信息解決問題.在傳統教學模式中，教師徒手繪圖問題不少，比如，耗時、多個函數在同一坐標系中圖像雜亂、參數變化時函數圖像的變化情況難以動態顯現出來等.如何解決這些問題？筆者借助幾何畫板，動態、直觀展現函數圖像，引導學生觀察、思考、總結、歸納.現結合“指數函數及其性質”的教學設計淺談幾何畫板在函數教學中的輔助作用.

一、教學內容分析

“指數函數及其性質”是人教版普通高中課程標準實驗教科書《數學必修1》第2.1.2節.考慮到筆者所執教班級學生數學基礎差，將本節分兩個課時，第一課時研究指數函數的概念、圖像及性質，第二課時研究指數函數應用.本文案例是第一課時.指數函數是很重要的基本初等函數，不僅是后面學習對數函數和冪函數的基礎，而且在生產生活中應用廣泛，因此，需要重點研究.

二、學情分析

此前學生已經學習了函數的概念、函數的表示方法以及函數的性質.已了解函數有多種表示方法，常見的有解析式和圖像法.初步懂得這兩種表示法可以結合起來研究函數，即我們常說的“數形結合”.但是還沒有應用此法對一類函數進行過深入分析，而指數函數剛好給學生一個應用的機會.

三、教學目標

1.理解指數函數的概念，感受什么是指數爆炸增長.會用幾何畫板畫具體的指數函數的圖像，同時會通過列表描點連線的方法畫底數為2，12等較為簡單的指數函數的大致圖像.

2.借助幾何畫板，通過觀察不同底的指數函數圖像，分類并歸納、總結出指數函數性質，由感性認識上升到理性認識.同時，培養學生自主探究、團隊協作的能力.

3.能利用指數函數相關知識解決簡單的數學問題.

四、教學重難點

重點：指數函數概念，指數函數性質及研究方法.

難點：借助函數圖像研究函數性質；指數函數性質.

五、教學過程設計

（一）情境創設

問題1：如果1號同學在自己的本子上畫2個圓點，2號同學在自己的本子上畫4個圓點，3號同學畫6個，按照這樣的規律，8號同學該在自己的本子上畫多少個圓點？

問題2：如果1號同學畫2個圓點，2號同學畫4個，3號同學畫8個，4號同學畫16個，按照這個規律，8號同學該畫多少個圓點？

設計意圖：《必修1》2.1節開頭提出我國GDP的增長問題和生物體內炭14的衰減問題，這讓學生感受到指數函數和生產生活有緊密聯系，但也讓學生感到復雜煩瑣，望而卻步，比如，這兩個問題涉及的函數分別為y=1.073x，x∈N*，x≤20和P=12t5730.因此，創設情境，一來調動全班同學學習積極性，二來讓學生在問題情境中感受到一次函數和指數函數的不同.特別地，以如下表格形式呈現問題1，2的結果，對比發現問題2中隨著學號增加，圓點個數增長比較厲害，讓學生感受到指數函數爆炸增長.

問題3：在上述問題中，如果學號x的同學應畫圓點個數用y表示，那函數解析式分別是什么？

設計意圖：嘗試讓學生寫函數解析式，為學習指數函數的定義做準備.根據經驗，定義域是學生容易忽略的問題，可通過分析學生的不同結果，提醒其注意定義域.

（二）探索新知

1.指數函數的定義.

問題4：《必修1》第2.1節開頭的問題1和上述問題2的函數解析式分別是y=2x，x∈N*，x≤80和y=1.073x，x∈N*，x≤20，是函數家族的新面孔吧？它們的形式相同嗎？能給這類函數一個類似于一次、二次函數的一般形式，并給它起個名字嗎？

設計意圖：讓學生發現此類函數的特征并嘗試命名，激發學生興趣，加深學生對指數函數形式的理解.學生很快能寫出y=ax，教師強調：底數是常數，自變量在指數位置.

問題5：對于指數函數模型，在實際中我們希望自變量x可以任意取值，在這個前提下底數a可取任意實數嗎？

設計意圖：經過自主思考和合作交流，同學們會根據“負數沒有偶次方根，零的負分數指數冪不存在”得到a>0.但是為什么又規定a≠1呢？當a=1時y=1x這個函數確實存在，但由于y=1x即y=1，x∈R，是常函數，不再歸為指數函數.通過生生互動和師生互動，得出形如y=ax（a>0且a≠1）的函數叫指數函數，加深學生對底數限制條件的印象.教師通過數軸巧妙地把底數a的范圍轉化為a>1和1>a>0，為下面學習指數函數性質時如何進行分類討論做鋪墊.

問題6：判斷下列函數是否為指數函數？

設計意圖：注意對底數a的限定，并注意利用指數冪的運算性質化簡后再觀察其形式.

2.指數函數的圖像及性質.

根據學生的認知規律和思維習慣，按照動手操作，觀察猜想，幾何畫板作圖驗證猜想的思路進行教學.

（1）動手操作.

問題7：同學們還記得畫函數圖像的方法嗎？請奇數學號的同學在同一直角坐標系中畫指數函數y=2x和y=3x的圖像，偶數學號的同學在同一直角坐標系中畫y=12x和y=13x的函數圖像.

設計意圖：對于底數比較簡單的指數函數，讓學生通過列表、描點、連線的方法畫函數圖像，這是學生畫指數函數大致圖像的最基本的要求.展示同學們的畫圖結果，發現奇偶號同學的圖差別較大，引發學生思考底數對圖像的影響.

（2）觀察猜想

問題8：觀察這四個指數函數的大致圖像，它們有什么共同點和不同點？指數函數有什么性質？

設計意圖：讓學生通過觀察圖像分析指數函數的性質.

（Ⅰ）圖像都過點（0，1）；

（Ⅱ）函數定義域為R，值域為（0，+∞）；

（Ⅲ）a>1時，函數圖像呈上升趨勢，即函數在R上單調遞增；1>a>0時，函數圖像呈下降趨勢，即函數在R上單調遞減.

（3）利用幾何畫板作圖驗證猜想.

（Ⅰ）教師利用幾何畫板演示

由于底數a可取任意大于0且不等于1的實數，因此，在幾何畫板中對a設置滑動條，即用一端固定于x軸的豎直線段的長度表示a的值，當鼠標拉動滑動條變長變短時，a的值就隨著變大變小，而a的值和對應的指數函數y=ax的解析式則一一顯示在幾何畫板中，方便同學們觀察a取不同值時函數y=ax的圖像.如圖1所示，當a>1時，從上到下拖動滑動條，隨著滑動條長度越來越接近1，即a的值越來越接近1，圖像就越來越接近直線y=1，特別地，a=1時圖像就是直線y=1.同時，a>1時，圖像呈上升趨勢，并且a值越大，在第一象限內的圖像越接近y軸.

同樣的方法，教師演示1>a>0時，a的值和對應的指數函數y=ax的解析式及圖像.最后讓同學們觀察這些圖像（圖2），發現指數函數的性質，驗證自己剛才關于指數函數性質的猜想是否正確.

設計意圖：研究同類函數的方法通常是在同一坐標系中，做出多個函數的圖像，通過觀察和比較得到函數的性質.通過幾何畫板可以快速繪制函數圖像，并能清楚地顯示參數a變化時函數圖像的變化，使學生更清楚、更直觀地發現數學規律，并驗證自己的發現和猜測.利用幾何畫板輔助作圖，一方面，大大提高了課堂效率，另一方面，突出了研究函數的方法，突破了重難點.

（Ⅱ）學生利用幾何畫板繪圖.

設計意圖：同學們可以親自利用幾何畫板繪制任意想要的指數函數的圖像，活躍課堂氣氛，并借機進一步深化指數函數相關知識，比如，什么是指數增長，經濟中的“復利率”以及高利貸為什么那么可怕等等.還可以幫同學們總結指數函數圖像和性質的口訣“左右無限上沖天，永與橫軸不沾邊，大1增，小1減，圖像恒過（0，1）點”，提高記憶效率，增強記憶效果.

六、教學反思

本節課的亮點是利用幾何畫板輔助作圖，與傳統的手工畫圖教學比較，利用幾何畫板輔助函數教學主要有以下優點.

（一）精準作圖，省時高效

傳統的手工畫圖耗時、耗力，畫簡單函數的大致圖像時經常用到，但是畫任意的指數函數的精確圖像很難實現.幾何畫板可以精準作圖，省時高效.

（二）動態演示，形象直觀

本節課在研究指數函數的圖像和性質時，通過幾何畫板動態演示底數a變化時的指數函數圖像的變化，給學生創設一個直觀形象的平臺，讓學生更快、更直接地發現并領悟指數函數的性質.學生通過觀察、思考、總結和歸納，對所學知識從感性認識上升為理性認識.

（三）突破難點、驗證猜想

本節課的教學難點是研究一類函數的方法及指數函數的性質.幾何畫板輔助作圖有效地突破了教學難點.事實上，學生自己手工做出兩個簡單的具體的指數函數的圖像后，對指數函數的性質已經有了初步猜想，但不是十分肯定，而通過幾何畫板可以做出任意的指數函數的圖像，由具體到一般，驗證了學生的猜想.眾所周知，由于函數的高度抽象性，高中生談“函數”色變，利用幾何畫板輔助作圖幫助他們驗證猜想，可以增強學生學習函數的自信心.

（四）激發興趣、授之以漁

幾何畫板的應用，引起了學生的注意力，激發了學生學習的興趣，活躍了課堂氣氛.讓學生親自利用幾何畫板做出任意的指數函數的圖像，不僅增強了學生動手操作的能力，還給學生滲透了一種方法，即遇到復雜的難以用手工畫圖的函數時，可以借助現代信息技術，如幾何畫板作圖.“授之以魚不如授之以漁”，教給學生方法和思路對學生今后學習數函數和冪函數會有很大的幫助.

總之，在函數教學中，教師可以在手工畫圖的基礎上，結合幾何畫板作圖的優勢，更好地促進函數教學，實現高效課堂.

【參考文獻】

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[2]車錦洋.幾何畫板優化數學教學的案例淺談[J].教育現代化，2016（29）：344-345.