反比例函數與圖形面積

孫連妹

一、學情分析

在中考復習“反比例函數”時，有一類習題是利用反比例函數的圖像求圖形的面積，或利用圖形面積求反比例函數的解析式.在復習此內容之前，學生已經學習了一次函數、二次函數的所有知識及反比例函數的基礎知識.對于簡單的反比例函數的圖像和性質及應用掌握得很好.本次課是復習課，主要是利用數形結合的思想來解決反比例函數的解析式與圖形面積之間的問題.

二、教學目標

（1）了解反比例函數解析式中比例系數k的幾何意義及反比例函數與圖形面積的內在聯系.（2）掌握運用數形結合法雙向解決反比例函數與圖形的面積問題.（3）培養學生自主探究、合作交流的能力，滲透數形結合、轉化等數學思想.

三、教學重點、難點

重點：運用數形結合法雙向解決反比例函數與圖形的面積問題.難點：把所要求解的圖形轉化為“基本圖形”.

四、教學設計

（一）反比例函數與矩形面積

環節1：嘗試解決

1.點A是反比例函數y=6x的圖像上一點，過A點分別向x軸、y軸作垂線，則兩條垂線與坐標軸圍成的矩形的面積為.

2.點A是反比例函數y=-6x的圖像上一點，過A點分別向x軸、y軸作垂線，則兩條垂線與坐標軸圍成的矩形的面積為.設計意圖：設計的這兩個習題，一個比例系數是正數，一個是負數，目的一是記住基本圖形的形狀，目的二是得出：S矩形=|k|.

3.點A是反比例函數y=kx（k≠0）的圖像上一點，過A點分別向x軸、y軸作垂線，所得到的矩形的面積為8，則 k=.設計意圖：這個習題是利用矩形的面積求解析式中的k，因為是兩種情況，所以沒有給出圖示，同時也考查了學生思考問題的全面性.由此題歸納出：k=±S矩形.

4.如圖所示，點A和B是反比例函數y=6x的圖像上一點，過點A和B分別向x軸、y軸作垂線，所得到的兩個陰影部分的面積關系為.設計意圖：此題是變式訓練，圖中兩個陰影并不是基本矩形，需要都加上一個空白矩形才能轉化為基本矩形，此處考查了學生的轉化能力.另外，此題還能體現：在同一支曲線上的不同點向兩坐標軸作垂線，形成的矩形的面積是相等的.

環節2：拓展提升

5.點A是反比例函數y=6x的圖像上一點，點B是反比例函數y=-3x的圖像上一點，且AB∥x軸，過點A和B分別向x軸作垂線，垂足分別是D和C，則矩形ABCD的面積.

設計意圖：此題是用一條與x軸平行的直線去截兩個函數圖像，所求圖形面積等于兩個基本圖形的面積之和，考查學生的觀察能力.

6.點A是雙曲線y=6x在第一象限內的點，點B是雙曲線y=kx（k≠0）在第四象限內的點，且AB∥y軸，過點A和B分別向y軸作垂線，垂足分別是D和C，若矩形ABCD的面積是10，則k=.設計意圖：此題是用一條與y軸平行的直線去截兩個函數圖像，所求圖形面積等于兩個基本圖形的面積之和，得出x軸下方的小矩形面積是4，根據圖像位置求比例系數k是負數，是易錯題.

（二）反比例函數與三角形面積

本類型的設計與上一類型的設計一樣，都是分兩個層次，也是先基礎后拓展的方式，學生基本能獨立完成.

環節1：嘗試解決

7.點A是反比例函數y=6x的圖像上一點，過A點向x軸作垂線，垂足是B，所得到的△AOB的面積為.

8.點A是反比例函數y=kx（k≠0）的圖像上一點，過點A作AB⊥x軸于B，若△AOB的面積是5，則k=.設計意圖：以上兩題，類比反比例函數的圖像與矩形面積的關系，得出：基本圖形是三角形，且由已知k，則S三角形=|k|2；已知S三角形，則k=±2S三角形.

9.如圖所示，點A和B是反比例函數y=6x的圖像上的點，過點A和B分別向x軸作垂線，所得到的兩個陰影部分的面積關系為.

環節2：拓展提升

10.點B是反比例函數y=6x的圖像上一點，過點B作BC⊥x軸于C，交雙曲線y=4x于點A，則△ABO的面積是.設計意圖：本題是用一條與坐標軸平行的直線截兩個函數圖像，考查學生能否發現：所求圖形的面積是兩個基本圖形的面積之差.

11.點A是雙曲線y=kx（k≠0）在第一象限內的一點，點B是雙曲線y=-2x上的一點，且AB∥x軸，若△AOB的面積是3，則k=.設計意圖：本題是用一條與坐標軸平行的直線截兩個函數圖像，考查學生能否發現：所求圖形的面積是兩個基本圖形的面積之和.

五、教學設計說明

本節課在設計時，考慮到學生的認知規律，從典型的基本圖形入手，以矩形面積為基礎，逐步研究一個函數圖像與矩形的面積的關系、兩個函數圖像與矩形的面積的關系，然后采用類比的方法，研究反比例函數與三角形的面積的關系，由特殊到一般，學生很容易接受.另外，本節課培養了學生的觀察能力和數學中重要的“轉化”思想，使學生利用數形結合的思想解決問題的能力上升了一個臺階.