新視域下“余弦定理”的教學設計與反思

陳小勇

【摘要】本文介紹高中代數“余弦定理”的教學設計與教學反思，旨在指導教師的教和學生的學.

【關鍵詞】余弦定理；教學目標；教學重難點；教學過程

一、教學目標

認知目標：在創設的問題情境中，引導學生發現并推證余弦定理，且能簡單運用余弦定理解三角形.

能力目標：引導學生通過觀察、推導、比較，由特殊到一般歸納出余弦定理，培養學生的創新意識和觀察與思維能力，利用數形結合將幾何問題轉化為代數問題.

情感目標：面向全體學生，創造平等、和諧的教學氛圍，通過學生之間、師生之間的交流與合作，調動學生學習的主觀能動性，讓學生體驗成功的喜悅，從而培養學生學習數學的興趣和勇于創新的精神.

二、教學重難點

重點：探究和證明余弦定理的過程；理解和掌握余弦定理的內容；初步對余弦定理進行應用.

難點：理解勾股定理和余弦定理之間的特殊關系，并以直角三角形為突破口證明余弦定理；對余弦定理的熟練應用.

三、教學過程

（一）復習引入

師：正弦定理的內容是什么？你能用這個定理解決哪些類型的問題？

（學生回答，教師板書）

師：如圖1所示，某隧道施工隊為了開鑿一條山地隧道，需要測算隧道通過這座山的長度.技術人員先在地面上選一適當的位置C，量出C到山腳A，B的距離，再利用經緯儀測出角C的度數，那么你能算出BC的長度嗎？

生：如果∠C=90°用勾股定理就可以算出.

師：對，∠C=90°時，可以算出AB的長度，那么∠C≠90°時，AB的長度是不是應該是固定的？

生：AB的長度是固定的，因為兩邊及兩邊的夾角確定了，這個三角形就確定了，所以AB應該是唯一確定的.

師：在△ABC中，當∠C=90°時，有c2=a2+b2.若a，b不變，∠C的大小變化時，c2與a2+b2的大小關系如何呢？

教師鼓勵學生積極思考，大膽發言，啟發學生解決問題，學生回答，借助于多媒體動畫演示結果.

如圖2所示，若∠C<90°時，AC與BC的長度不變時，AB的長度明顯變短，有c2

如圖3所示，當∠C>90°時，AC與BC的長度不變時，AB的長度變長，有c2>a2+b2.

學生得到結論：當∠C≠90°時，c2≠a2+b2.

師：我們已經知道，當∠C≠90°時，c2≠a2+b2.那么c2與a2+b2到底有什么等量關系呢？請同學們繼續探究.

教師引導學生分組合作學習，教師也參與各個小組討論，拿出其中兩個小組比較，將比較好的證明和同學一起分享，并讓學生代表上講臺講解.

生1：在△ABC中，a，b的長度不變，∠C的大小變化，我就把C點放在坐標原點，AC放在坐標軸的正半軸上，這樣A點坐標就是（b，0），B點坐標（acosC，asinC），這樣可以利用兩點間的距離公式算出AB的長度，過程是：

從以上分析過程，我們對c2=a2+b2-2abcosC有更清醒的認識，勾股定理是余弦定理的特殊情況，在推出余弦定理中我們就是利用直角三角形到斜三角形的一般到特殊的關系，利用數形結合的方法.

四、教學反思

1.本課中，教師立足于所創設的情境，通過學生自主探索、合作交流，親身經歷了提出問題、解決問題、應用反思的過程.

2.余弦定理的發現從直角入手，體現了由特殊到一般的認識過程，運用了分類討論和數形結合的數學思想.

3.余弦定理表述了三角形的邊與角的關系，勾股定理是它的一種特例.用這個定理可以解決“已知三角形的兩邊及夾角求第三邊”和“已知三角形的三邊求內角”的兩類問題.