“函數(shù)概念”教學(xué)之我見

作為高中一線教師，函數(shù)概念的教學(xué)是高一階段的難點之一，學(xué)生對函數(shù)概念的理解相當(dāng)困難。課本是從三個實例入手，引導(dǎo)學(xué)生從對應(yīng)的角度去歸納出三個實例的共同特征，從而給出函數(shù)的嚴(yán)格定義。這樣的處理并不符合高一新生的認(rèn)知特點，在教學(xué)中作了以下嘗試：

首先讓學(xué)生回憶初中是如何給函數(shù)下定義的？這個問題上課前一天就留給學(xué)生，學(xué)生提前查閱了初中課本，所以很快給出了定義，并板書在黑板上：

在一個變化過程中有兩個變量x和y，如果對于x的每一個值，y都有唯一的值與它對應(yīng)，那么就說y是x的函數(shù)，其中x叫做自變量。

初中生對函數(shù)概念理解的焦點在前部分，是一種動態(tài)的理解：必須有兩個變量，其中一個隨另一個在發(fā)生變化，從而使他們忽略了對定義后半句的理解和重視。而這恰恰又是高中階段函數(shù)概念的核心，所以函數(shù)概念的教學(xué)必須幫助學(xué)生實現(xiàn)從動態(tài)到靜態(tài)理解的轉(zhuǎn)化。

隨之便設(shè)計了一個具有實際背景的函數(shù)模型，并提出問題：

一輛汽車從銀川出發(fā)，以每小時80公里的速度駛往320公里之遙的固原，請問：

1.在整個行駛過程中，汽車行駛的路程s是不是時間t的函數(shù)？

這個問題對學(xué)生來說，是比較容易回答的：是，并且函數(shù)關(guān)系式為s=80t，時間t是自變量，路程s是因變量。

2.如果把汽車在整個行駛過程中的時間t的取值構(gòu)成的集合記作A，路程s的取值構(gòu)成的集合記作B.你能寫出集合A和B嗎？

學(xué)生會很快給出答案A={t|0≤t≤4}，B={s|0≤s≤320}.

3.在整個行駛過程中，汽車行駛的時間t是不是路程s的函數(shù)？

學(xué)生回答：是，且函數(shù)關(guān)系式是，其中s是自變量，t是因變量，且s取值構(gòu)成的集合A={s|0≤s≤320}，時間t取值構(gòu)成的集合B={t|0≤t≤4}

學(xué)生在初中函數(shù)知識和高一第一章節(jié)集合知識的支持下，對以上問題的回答都是水到渠成，所以趁熱打鐵，提出了第4個問題：

4.在整個行駛過程中，汽車行駛的速度v是不是時間t的函數(shù)呢？

這個問題一提出來，全班學(xué)生異口同聲地回答：不是，理由很簡單：時間t是變量，但速度v不是變量，是一常量，這完全違背了初中函數(shù)概念“在一個變化過程中有兩個變量x和y”的描述。

這個時候矛盾產(chǎn)生了，如何解決？告訴學(xué)生：這就要求我們對初中函數(shù)概念加以完善。如果這個時候直接給出高中函數(shù)的概念，學(xué)生覺得很突然，難以接受。在教學(xué)中又作了以下嘗試：

（1）汽車在整個行駛過程中，行駛的路程s是時間t的函數(shù)關(guān)系，這個關(guān)系能不能理解為是非空數(shù)集A={t|0≤t≤4}到B={s|0≤s≤320}的一種特殊的對應(yīng)？這種特殊對應(yīng)則表現(xiàn)為：對于集合A中的任何一個時間t，在集合B中都有唯一的路程和它對應(yīng)。給學(xué)生充足的時間去思考，學(xué)生最終的回答是：可以這樣理解，并且和初中的定義不矛盾，本質(zhì)上是一致的。

（2）有了對問題1的詮釋，學(xué)生自然給出了：汽車在整個行駛過程中，汽車行駛的時間t是路程s的函數(shù)可以理解為：非空數(shù)集A={s|0≤s≤320}到B={t|0≤t≤4}的一種特殊對應(yīng)：即對集合A中任意一個路程s，在集合B中都有唯一一個時間t和它對應(yīng)，并且實現(xiàn)對應(yīng)關(guān)系的橋梁是式子。

乘勝追擊，提出問題（3）：汽車在整個行駛過程中，時間t取值集合A={t|0≤t≤4}，速度v取值構(gòu)成的集合B={80}，對于A中的任何一個時間t，在集合B中是不是都有唯一的速度80和它對應(yīng)呢？學(xué)生回答是。路程和時間（或時間和路程）的這種特殊關(guān)系我們稱之為函數(shù)關(guān)系，那速度和時間的特殊對應(yīng)關(guān)系就不能成為函數(shù)關(guān)系呢？此時學(xué)生便理直氣壯地回答：完全可以，并且函數(shù)關(guān)系式可以表示為：v=80（t∈[0，4]）。這時，老師有義務(wù)告訴學(xué)生：這個函數(shù)稱之為常函數(shù)，一般表示式為y=a（其中a為常數(shù)，x∈R），其圖象是與x軸平行或重合的一條直線。

通過以上循序漸進(jìn)地引導(dǎo)，完全可以讓學(xué)生嘗試給出高中函數(shù)概念：

一般的，設(shè)A，B是非空數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)。記作：y=f（x），x∈A.

其中x叫自變量，集合A是函數(shù)的定義域，與x相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合C={f（x）|x∈A}叫做函數(shù)的值域，且C？哿B。

有了函數(shù)的概念，再回過頭讓學(xué)生對課本中三個引例作出判斷：

①炮彈距離地面的高度h是時間t的函數(shù)，理由是：對非空數(shù)集A={t|0≤t≤26}中任意一個時間t，在集合B中都有唯一的高度h和它對應(yīng)，并且實現(xiàn)這一對應(yīng)的法則f是式子h=130t-5t2。

②南極上空臭氧層空洞的面積S是時間t的函數(shù)，理由是：對非空數(shù)集A={t|1979≤t≤2001}中的任意一個時間t，在集合B中都有唯一的面積S和它對應(yīng)，且實現(xiàn)這一對應(yīng)的法則是圖象。

③從1991年到2001年間我國城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)y是時間t的函數(shù)，理由是：對非空數(shù)集A={t∈N|1991≤t≤2001}中的任意一個時間t，在集合B={53.8，52.9，50.1，49.9，49.9，48.6，46.4，44.5，41.9，39.2，37.9}中都有唯一的y和它對應(yīng)，實現(xiàn)這一對應(yīng)的法則是表格。

以上三例中，實現(xiàn)從非空數(shù)集A到B的特殊對應(yīng)的法則不同，使得函數(shù)的表示有三種方法——解析法、圖象法和列表法，從而為下節(jié)課“函數(shù)的表示法”奠定了基礎(chǔ)。

學(xué)生對函數(shù)的概念徹底理解了，但新的問題又產(chǎn)生了。學(xué)生對函數(shù)概念中“值域是集合B的子集”理解又有了困難。針對這一困難，又作了以下嘗試：

問題1中，汽車行駛的路程是時間的函數(shù)，且其定義域A={t|0≤t≤4}，值域C={s|0≤s≤320}，如果把集合C改為B={s|0≤s≤400}，從集合A到集合B的這種對應(yīng)還是不是函數(shù)？學(xué)生回答是。那此時函數(shù)的值域C和集合B又是什么關(guān)系呢？這樣處理，學(xué)生就很輕松地明白了定義中的補(bǔ)充“值域是集合B的子集。”

高中數(shù)學(xué)的特點之一——高度的抽象性，所以學(xué)生在理解上有一定的困難。如何讓學(xué)生能輕松自如地理解每一個數(shù)學(xué)概念和每一個數(shù)學(xué)公式，這就需要我們老師認(rèn)真研究教材，研究學(xué)生，盡可能地用淺顯易懂的方法去講授抽象的數(shù)學(xué)知識。相信通過我們老師的不懈努力，會讓學(xué)生喜歡上數(shù)學(xué)，并且學(xué)好數(shù)學(xué)。

作者簡介：楊淑霞（1970—）女，寧夏育才學(xué)校高級教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教材教法研究。