動量守恒中“毛毛蟲”模型的分析

何江 嚴超

摘 要：動量定理和動量守恒定律，是處理力學問題的三大方法之一，也是高中物理的教學重難點之一。而力學問題中，彈簧類問題又由于其彈力一般不是恒力，使得物理過程較為復雜。特別是解決既包含了彈簧問題，又要使用動量守恒和機械能守恒的這一類綜合問題，對高中生而言顯得尤為困難。將這類復雜問題總結為一類型問題——“毛毛蟲”模型，通過先理論上的分析搞清楚其物理機制，再結合典型例題，幫助學生總結規律，達到熟練掌握這類問題的目的。通過解決難題的過程中，讓學生明白，很多看起來比較困難的問題，只要抓住了解答問題的關鍵方法，不僅對解題提升成績有顯著的效果，更能夠提高學生學習物理的興趣和熱情。并且在克服學習中的畏難情緒上，也有著非常積極的作用。

關鍵詞：動量守恒定律；機械能守恒定律；彈簧問題

運用動量定理和動量守恒定律，是處理力學問題的三大方法之一，其重要性不言而喻。同時，也是適用范圍非常廣的物理規律，不僅適用于直線運動，也適用于曲線運動；不僅適用于單個力，還適用于多個力；不僅適用于恒力，還適用于變力。正因為如此，在高中物理教學中，動量和能量一直是學習和考查的重點，又由于其靈活性和普適性，又是學生學習的難點。在歷年高考中都容易失分。因此，為了學好這部分知識，學生需要在掌握好基本的知識方法后，多總結多分類，才能夠深刻理解，達到舉一反三熟練運用的目的。

這其中有一種和彈簧問題相結合的模型：兩個光滑的物體A、B，將輕彈簧連接并使彈簧處于原長，某一時刻給B球一瞬時初速度v0，則以后A、B兩球和彈簧將一起在光滑水平面邊壓縮拉伸邊向前運動，好像毛毛蟲在地面上爬行，我們將這一類問題統稱為“毛毛蟲”模型?，F在我們結合幾道例題來剖析一下“毛毛蟲”模型的運動過程及運動過程中的能量、動量特點，掌握了這種模型，很多看似復雜的習題都會變得有規律。

我們先來看一個比較有代表性的例題：

【例題】如下圖所示，兩光滑且平行的固定水平桿位于同一豎直平面內，兩靜止小球m1、m2分別穿在兩桿上，兩球間連接一個保持原長的豎直輕彈簧，現給小球m2一個水平向右的初速度v0。如果兩桿足夠長，則在此后的運動過程中（ ）

考慮如上圖所示的運動情況，一輕彈簧的兩端與質量分別為m1，m2的兩物塊A、B相連接，并靜止在光滑水平面上。現使B獲得水平向右的瞬時初速度v0，從此刻開始計時，兩物塊的速度隨時間變化的規律是怎么樣的呢？

情況a和情況b是彈簧原長和彈簧最大形變量這兩種特殊時刻的特征量，但是其他時刻呢？也就是運動的過程中，兩物體的速度隨時間是怎么變化的呢？下面我們來證明，兩物體的運動滿足：（1）系統質心勻速直線運動；（2）兩物體都做變加速直線運動，速度隨時間的變化滿足正弦型函數關系。（此處的證明需要用到微積分的知識，對高中生不做要求。）

（此處也可以用更簡單的思路來得到質心勻速運動的速度，即任取一個特殊時刻算出其質心速度就是質心整個勻速運動的速度，那么我們就選擇彈簧形變量最大時，此時兩物體共速，其速度就是質心勻速運動的速度。）

至此我們證明了，兩物體速度隨時間的變化滿足正弦型函數關系，即v-t圖是正弦型。我們可以繼續分情況討論情況a中，兩物體處于不同的質量關系時，兩物體的運動情況：

分析方法同前兩種情況一樣，有v1=2v共，v2<0。由圖可知，在彈簧再次恢復原長時，m1達到最大值v1，但是此時，m2并不是減小為最小值，而最小值也并不是v2，而是0，這是情況3不同于情況1和情況2的特殊之處。

綜合考慮上面三種情況，我們再來分析例題中的D選項，不難發現，“當m1速度達到最大時，m2速度最小”這種現象要出現，必須要求m1小于等于m2，但是如果此條件不滿足，則當m1還未達到最大速度時，m2就減小到最小速度0了，之后，v1繼續增大，而v2則是開始反向加速了。

通過上面的分析，我們在熟練掌握了動量守恒和機械能守恒的基礎上，靈活運用v-t圖也是可以解決彈簧這一類較困難的“毛毛蟲”模型。

通過對“毛毛蟲”模型理論上的研究，以及對上面例題的求解和分析，我們可以找到學習物理的規律：對一類有共同的特點的物理現象加以研究，掌握這種物理模型的規律，讓我們對物理知識的理解會更透徹，使我們學習物理更輕松有趣，這也是我們學習的重要目的之一。

參考文獻：

[1]趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程·力學[M].高等教育出版社，2004.

[2]漆安慎，杜嬋英.普通物理學教程[M].高等教育出版社，2012.