圓錐曲線參數方程在高中數學解題中的應用

王成

【摘要】圓錐曲線參數方程在高中數學解題中的應用一直是高中數學的難點，如何巧妙的結合圓錐曲線的定義進行求解是我們要重視的問題。掌握圓錐參數方程不僅能夠幫助解題，還能夠培養學生發散性思維和舉一反三的解題能力。下面我們針對圓錐曲線定義在高中數學解題中的應用做簡單分析探討。

【關鍵詞】高中數學 圓錐曲線參數

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）27-0144-01

一、圓錐曲線的定義

圓錐曲線在高中數學解題中主要反映在拋物線、橢圓與雙曲線上，掌握這三種曲線的定義即掌握橢圓與雙曲線的定義。在進行求解時，需注意解得曲線中某點與焦點之間的關系式關鍵，通過這種關系我們可以完成曲線的判定，然后在結合定義求解。有一種情況比較特殊，如果圓錐曲線上的一點與兩焦點構成三角形，涉及到焦點或者是準線的時候，我們可以運用第一定義結合正余弦定理進行解題。應用過程中的重難點在于讓學生養成巧妙運用定義深入剖析題目并解題的意識，所以需要讓學生在學習和運用的過程中樹立等價轉換的思想，尤其注意數形結合， 在解題中將圓錐曲線的各自定義和解題難點切入點進行有效區別和聯系。

二、利用定義求軌跡

圓錐曲線定義的應用是解題中常用方法，也是求軌跡的典型方法。比如當我們知道2個定圓O1，O2的半徑為a，b，且|O1 O2|=c，存在一個動圓M與圓O1 內切，且與圓O2 外切，以此建立坐標系，求解動圓心M的軌跡方程。這個題目的解決很明顯可以利用圓錐曲線的定義來解決解題過程也并不復雜，以O1 O2 的中點O為原點O1 O2所在直線為x軸建立平面直角坐標系，從而得到O1與O2坐標。 接下來通過假設法進行求解，假設動圓M的半徑是r，根據已知調節得出|MO1|和|MO2|的值，然后通過相互關系來求得M的軌跡。確定軌跡之后通過焦點與圓中任意一點的關系求得軌跡方程，并根據軌跡方程確定判斷該軌跡方程是雙曲線的一支。

例1：F1、 F2 是橢圓 + =1（a>b>0）的兩焦點，P 是橢圓上任一點，從任一焦點引∠F1 PF2 的外角平分線的垂線，求垂足Q的軌跡。

解：我們可以根據已知條件進行圖解法求解（見圖一），延長F1Q、F2P相交于點A，由于焦點引∠F1PF2 的外角平分線的垂線，因此三角形APF1為等腰三角形。所以 |PF1|=|AP|從而 |AF2|=|AP|+|PF|=|PF1|+|PF2|=2a，所以|OQ| = |AP|=a確定垂足為Q的軌跡為圓。

三、利用定義和正余弦定理求焦點三角形

比如常見的求解焦點三角形面積問題，如下題：已知雙曲線（a>0，b>0），P為雙曲線上任一點，∠F1PF2 =θ，求F1PF2的面積。

這個題目的解答需要在結合定義分析的基礎上熟知并巧用正余弦定理，利用面積公式和正余弦得到①和②。

SΔF PF = |PF1|·|PF2|sinθ ①

（2c）2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cosθ ②

結合圓錐曲線中雙曲線定義得到：|PF1|-|PF2|=2a

即|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4a2 ③

通過② 與③得到|PF1|·|PF2|= ④代入①得出三角形面積SΔF PF =b2 =b2cot ，從而完成題目的解答。

在焦點三角形題目解答中，還有一類常見題目， 即求某點的坐標。比如下題：已知 A（ ，3）為一定點，F為雙曲線 - =1 的右焦點，M在雙曲線右支上移動，當|AM|+ |MF|最小時，求M點的坐標。

這種是常見的考查距離和最差值的問題，通常需要考慮三角形兩邊和與差同第三條邊之間的關系， 其中利用定義來轉換1/2數量關系來解題是常見手法， 這在本題目中也較為典型。

解 過 M 作 MP 垂直準線于點 P，則 |MF|=|MP|，所以|AM|+ |MF|=|AM| +|MP|≤|AP|。當A、M、P三點共線時，|AM|+ |MF|最小。

我們以下面這道題為例，假設 P（x，y）是橢圓 + =1（a>b>0）上一點，F1、F2為橢圓的兩焦點，求|PF1|·|PF2|的最大值和最小值。這道題可結合橢圓的第二定義得到|PF1|與|PF2|的表達式，根據0 ≤x2 ≤a2得到最大值與最小值。

四、利用定義解求證題

高考常見題目中， 解求證類題目中經常會遇到需要應用第二定義證明的求證拋物線焦點弦為直徑的圓與準線相切或以橢圓焦點弦為直徑的圓與相對應的準線相離，以雙曲線焦點弦為直徑的圓與相應的準線相交等題目，比如過拋物線y2=2px的焦點F任作一條直線 m，交這拋物線于P1P2兩點，求證P1P2為直徑的圓和這拋物線的準線相切。

這道題目就是運用拋物線的定義和平面幾何知識來證的典型題目，我們假設P1P中點為P0，過P1、 P2、P0分別向準線引垂線P1Q1、P2Q2、P0Q0，得到垂足Q1、Q2、Q0，則|P1F|=|P1Q1|， |P2F|=|P2Q2|，所以|P1P2|=|P1F|+|P2F|=|P1Q1|+|P2Q2|=2|P0Q0|，從而確定P0Q0是P1P2為直徑的圓P0的半徑，且P0Q0⊥l，證實圓與準線相切。

總之，利用圓錐曲線定義解決題目，對定義的了解和應用是根本，結合定義、正余弦定理等解決焦點、三角形、準線、圓錐曲線上的點等題目，可謂事半功倍。

結語

在高中數學中求范圍的題所占的比例也很大，圓錐曲線參數方程在高中數學中的應用非常廣泛，我們將其進行綜合分析，圓錐曲線參數方程在高中數學中的應用，也就是求解最值、定值、點的運動軌跡方程、取值范圍等，不管是圓錐曲線參數方程在5種參數方程的哪一種，在高中數學的應用都是相對較多的，所以圓錐曲線參數方程在高中數學中屬于重點，也屬于難點，需要學生認真的學習，在使用圓錐曲線方程進行解題的過程中，不能盲目地解題， 需要鍛煉解題思維，鍛煉數學思維，在遇到數學問題時，就會沉著應對。通過將曲線方程轉化為參數方程，將題的難度降低，運用數學思維解決問題，提高解題效率。