方程與函數思想在高中數學教學中的應用探究

1 方程與函數的基本思想

1.1 方程的思想

方程的思想是應用方程來解決問題。構造方程或方程組，或者使用方程的性質來分析，轉換和解決問題。當某個問題可能與方程有關時，可以構造方程以解決該問題。

1.2 函數的思想

在解決數學問題時，擅長挖掘其中的隱含條件，構造函數關系或建立函數。對給定的問題的分析更加深入，充分和全面。另外，方程問題，不等式問題和一些代數問題也可以轉化為與其相關的問題，即用函數思想來解決非函數問題。

1.3 方程與函數思想之間的聯系

函數和方程的思想是兩個密切相關的數學概念。許多函數的問題還需要方程方法的支持。函數與方程之間的辯證關系 ， 形成了函數方程思想。用函數和方程思想來解決問題，并應做到以下幾點：

（1）對一般函數性質（單調性，奇偶性，周期性，最大值和圖像變換）進行深刻理解，掌握基本初等函數的性質。

（2）密切關注一元二次函數，一元二次方程和一元二次不等式是中學教學的重要內容，它們內涵豐富，關系密切。

（3）善于聯想，對非函數問題構造相關的函數模型。

根據條件列出方程，對于多元問題，要懂得靈活的消元或變換主元。簡而言之，方程函數思想是中學數學的核心內容，也是奠定數學基礎的關鍵，要學好數學，我們必須掌握這樣一種整合各種知識和方法的能力。作為教師，應努力思考，不斷理解和演練，才能在教學道路上教出特色，更好的培養學生。

2 方程與函數思想在高中教學中的體現

2.1 利用具體的函數方程式模型加深對概念的理解

函數方程模型是對一些數學規律的總結，是連接數學思想與現實生活的橋梁。教師可以在高中數學教學課堂中引入函數方程模型作為數學問題的載體，在解釋函數方程模型的過程中，使學生加深對函數方程概念的理解并教導學生解決實際問題。條條大路通羅馬，引導學生應用不同的方法解決同一個問題。

2.2 引導學生建立函數方程關系

函數方程關系可以將某些問題用圖形的方式表達出來，可以把復雜的問題簡單化，同時有利于培養學生的發散思維，將方程與函數思想映射出來，使問題具體化，提高學生學習數學的有效性。

2.3 合理運用現代信息技術來進行函數的教學

老師可以在數學教學過程中利用現代信息技術把數學問題直觀、形象展現在學生的眼前，以利于學生理解并找出最簡便的的方法解決問題。現代化信息技術的應用為學生提供了建立函數方程的模型的便利。可以借助計算機畫出函數中參數的變化，直觀的看出影響它發生變化的各種原因。

2.4 在不等式、方程中的應用

在高中數學教學中，最常見的就是利用函數思想來解決不等式和方程中的問題，不僅可以使學生一目了然的理解問題，還可以提高學生的分析能力，培養學生學習的興趣和邏輯思維能力。

3 函數和方程思想的典型應用

例1， 利用直線方程 ，確定 表示的平面區域教材中運用的方法是：把平面上已知點代入中，觀察所得值的符號，由直線同側的點坐標代入符號相同，異側的點坐標代入符號不同，由此判斷 所表示的平面區域。

4 關于利用方程與函數思想解題的總結

從以上的例子可以看出，函數與方程思想在解決高中數學問題中有著重要的應用，靈活利用方程與函數的數學思想往往可以把復雜抽象的問題轉化得簡單而具體。

在利用方程與函數思想解題的時候，有幾個值得注意的問題：（1）看到一個題目，我們首先要考慮是否可以將代數式抽象成為函數，將字母設為變量，將方程轉化為函數。（2）充分運用函數的性質和圖像來解決問題。（3）若問題不能簡單地化作函數問題來處理，可以聯想構造一個輔助函數。（4）對于問題中暗含的等式關系，構造含有未知數的方程來處理。（5）對于一個方程，應該注意對這個方程根的要求（如根的正負、虛實、范圍等）

5 高中數學課堂中方程與函數思想的教學方法

5.1 數學教師應提高自身數學素養，系統性研究數學課程標準。

數學教師應具備扎實的基礎知識，基本技能，不斷提高教學能力 ，同時還應具有豐厚的數學思想方法素養。

5.2 與數學知識結合，將數學思想方法滲透到課堂中

以數學知識為載體，將數學思想方法滲透到教學計劃和內 容之中，這就要求教師應充分利用數學的現實原型作為反映數學思想方法的基礎。在知識的發生和運用過程中，實現數學知識、方法和思想的整合。

5.3 與數學問題結合，在解決問題的過程中激活數學思想方法

一般來說，數學問題有多種解決方案。在教師的啟發下，帶領學生尋找知識結構中的各個環節，找出多種解決問題的辦法，最后總結和確定最佳解決方案。在遇到非函數或方程問題時，教師要適時詢問：“這么多解法的實質是什么呢？”，引導學生構造相關的函數模型。

5.4 結合“過程教學”，培養學生發現和創造的思維能力

數學教學應該是數學活動過程的教學，突出過程，采用“過程式教學”的方法加強對學生數學思維能力的培養。教師應有目的，有步驟地引導學生參與數學思想的提煉和概括，尤其在章節結束或單元復習中對知識復習的同時，將統攝知識的數學思想方法概括出來它可以增強學生對數學思維和方法運用的認識，也可以使他們更深刻地理解用數學思想解決問題的具體操作方法。它有助于強化所學知識，并形成獨立分析解決問題的能力。

6 結語

函數和方程的思想是高中數學問題解決中最基本的思維方法。在新課堂環境下，高中數學教師要不斷更新教學觀念，豐富教學手段，分散學生的思維，營造生動的課堂氣氛。培養學生的學習興趣，調動學生主動學習，使學生真正參與到教學中來。挖掘學生的潛力，以提高他們的數學素養。

參考文獻

[1]張同君.中學數學解題研究[M].長春：東北師范大學出版社，2002.

[2]丁賽軍.數列中的數學思想.高中數學教與學，2003（11）.

[3]劉嚴.丁平.新編高等數學[M].大連：大連理工大學出版社，2006

[4]邵光華.作為教育任務的數學思想與方法[M]. 上海：上海教育出版社，2009.

[5]李爽.在高中數學中函數思想的應用案例研究[J]. 數學學習與研究，2013（1）.

作者簡介

杜曉莉（1992-），女，碩士研究生在讀，海南師范大學，研究方向：數學學科教學