結構可靠度中心點法

摘 要：基于可靠度理論，概括了可靠度分析方法，主要介紹了一次二階矩陣方法中的中心點法，概括了中心點法的優點、缺點。并介紹一個簡單的中心點法算例，以及用MATLAB編制計算程序。

關鍵詞：可靠度；分析方法；中心點法；算例；MATLAB；

鋼、木、磚石、混凝土及鋼筋混凝土等建造的工業與民用建筑的承重結構，公路和鐵路的橋梁、涵洞，港口工程的碼頭，水利工程的堤壩、渡槽、水閘，給水排水構筑物的水池、水管等，統稱為工程結構。工程結構可靠度是指工程結構在規定的時間和在規定的條件下完成預定功能的能力。關于可靠度理論的研究國際上起始于20 世紀20 、30 年代的軍事領域， 并逐步擴展到工程結構領域之中。這無疑是結構工程學科的重大進展之一， 從此可靠度的理論得到了較快的發展。目前國際上（Borges 等人）把可靠度理論的發展分為三個水準[1]：即半經驗半概率法， 它是把對影響結構可靠度的某些參數進行數理統計分析， 并與經驗結合， 再引入某些經驗系數來計算；近似概率法， 亦即一次二階矩法， 它是運用概率論和數理統計知識對工程結構的可靠概率進行計算；全概率法是嚴格基于概率論的結構可靠度的精確的分析計算方法， 由于此方法存在不易解決的數學困難， 目前尚處于研究段。

1 可靠度分析方法綜述

結構可靠度計算按研究對象可分為單一失效模式的可靠度計算和系統可靠度計算。單一失效模式按求解手段可分為采用數學近似方法的解析概率法和應用計算機技術的數值模擬法兩種，系統可靠度計算主要分為點估計法和區間估計法。工程結構可靠度的分析具有大量的不確定性，如結構外部環境的不確定性， 包括荷載類型和結構所處的位置等；結構本身的不確定性， 包括構件材料的性能， 截面幾何參數和計算模型的精度等。可靠度的計算方法從研究對象來說可以分為結構點（構件）可靠度計算法和結構體系可靠度計算法。由于可靠度研究本身的復雜性和全概率法中的難以解決的數學困難， 結構體系的可靠度的研究目前還很不成熟， 仍處于探索階段[2]。

趙國藩提出了實用分析法，引用加權分位值、靈敏系數的概念，正態化隨機變量求可靠指標β值[3]。

2 一次二階矩方法

一次二階矩法是將非線性功能函數做了線性化處理， 所以它是計算可靠指標（β）的最簡單的方法。只需要考慮隨機變量的前一階矩（均值）和二階矩（標準差）以及功能函數展開式的常數項和一次項， 以隨機變量為前提在平面直角坐標系內來求解可靠指標。由于一次二階矩計算法相對較簡便， 大多數情況下計算精度可以滿足工程要求， 因此廣泛應用于各工程計算中[4]。一次二階矩方法分為中心點法和設計驗算點法。中心點法不顧及變量的概率分布；基本的驗算點法只處理正態隨機變量，JC法、映射法和使用分析法還能夠處理其他概率分布隨機變量。

2.1 中心點法

中心點法是結構可靠度研究初期提出的一種方法，其基本思想是首先將非線性功能函數在隨機變量的平均值（中心點）處作泰勒級數展開并保留至一項，然后近似計算功能函數的平均值和標準差。可靠度指標直接用功能函數的平均值和標準差表示。其結構可靠度指標表示為[2]：

（1）

由于中心點法計算結果比較粗糙，一般只用于結構可靠度要求不高的情況，如鋼筋混凝土結構正常使用極限狀態的可靠度分析。

設結構的功能函數具有一般形式，即：

（2）

其中基本隨機向量各個分量相互獨立，其均值為 標準差為。

將功能函數Z在均值點X處展開成Taylor級數并保留至一次項，即

（3）

則Z的均值和方差可分別表示為

（4）

（5）

將式 （4）和（5）帶入得到式（1）。

上述非線性功能函數Z的近似值和近似標準差所用的Taylor級數方法通常稱為 方法，工程師通常稱式（5）為誤差傳播公式。這種方法將功能函數Z在隨機變量X的均值點展成Taylor級數并取一次項，利用X的一階矩和二階矩計算Z的可靠度，所以稱為均值一次二階矩法或中心點法。當已知X的均值和方差時，可用此方法方便的估計結構可靠度指標的近似值。但此方法對于相同意義但形式不同的極限狀態方程，可能會給出不同的可靠度指標。這是因為中心點不在極限狀態面上，在中心點處做Taylor展開后的超曲面可能會明顯偏離原極限狀態面。此外，中心點法沒有利用基本隨即變量的概率分布，只利用了隨機變量的前兩階矩陣，這也是它的明顯不足之處。中心點法計算簡便，若分析精度要求不太高，仍有一定的使用價值。

2.2 中心點法算例及在MATLAB中的編程

例：圓截面直桿承受軸向拉力P=100KN。設桿的材料的屈服極限和直徑d為隨機變量，其均值和標準差分別為 =290N/mm2， =25 N/mm2； =30mm， =3mm。求桿的可靠度指標。

解： 由式（1）得到桿的可靠度指標

（b）

以軸力表示的極限狀態方程為Z=g（，d）=—P=0 （c）

將式（c）中的g（，d）代入式（b）并化簡，得桿的可靠度指標

以應力表示的極限狀態方程為Z=g（，d）=—=0 （d）

將式（d）中的g（，d）代入式b并化簡，得桿的可靠度指標

在MATLAB中的程序清單如下：

clear；clc；

muX=[290；30]；sigmaX=[25；3]；

g=pi/4*muX（2）^2*muX（1）-1e5；

gX=[pi/4*muX（2）^2；；pi/2*muX（1）*muX（2）]；

bbetaC1=g/norm（gX.*sigmaX）

g=muX（1）-4/pi*1e5/muX（2）^2；

gX=[1；8*1e5/pi/muX（2）^3]；

bbetaC2=g/norm（gX.*sigmaX）

計算結果為bbetaC1= 2.3517；bbetaC2= 3.9339。

3 結語

中心點法是針對基本隨機變量服從正態分布或是對數正態分布， 狀態函數為線性形式或可以等效轉化為線性形式且結構可靠指標β =1 ～ 2 的情況， 計算結果比較粗糙， 一般適用于結構可靠度要求不高的情況， 而設計點法僅適用于β 值較大（β >4 .5）或是設計值遠不滿足極限狀態方程的情況采用MATLAB語言進行結構可靠度的數值計算，可充分發揮利用矩陣運算功能及各種工具箱的快速和便捷，從而大大提高編程和計算的效率。對結構體系可靠度而言，通過MATLAB編程語言，以高效精確的算法實現復雜結構，避免很多重復性的勞動，解決了結構可靠度的分析問題。

參考文獻

[1]解偉， 李昆良， 彭萬春.水工結構可靠度設計[ M] .鄭州：河南科學技術出版社， 1997 .

[2]姚澤良，李寶平，周雪峰.結構可靠度分析的一次二階矩方法與二次二階矩方法[J].西北水利發電.2005.

[3]李艷.基于最優化方法的結構可靠度計算及MATLAB程序實現[D].武漢：武漢工業學院，2012.

[4]李秋實，歐可活.工程結構可靠度分析方法研究[ J] .公路與汽運， 2004 .12

作者簡介

張焱飛（1995-），男，漢族，河南三門峽市人，碩士，河南大學土木建筑學院建筑與土木工程專業，研究方向：巖土邊坡穩定分析。