數形結合思想在解題上的應用

王安琪

摘 要：數形結合思想作為一種重要的數學思想方法，建立起“數”與“形”的優(yōu)勢互補，在學生的數學學習與解題中發(fā)揮著不容忽視的關鍵作用。并且，數形結合思想在“雙基”的基礎上，對學生的綜合能力發(fā)展提出了更高的要求，是學生提升探索創(chuàng)新能力與培養(yǎng)發(fā)散性思維的一個強大助力。

關鍵詞：數形結合；解題；發(fā)散性思維；思想方法

一、數形結合的內涵

數學作為一門以客觀世界中的空間形式與數量關系作為研究對象的科學。其中既有形的直觀，又帶著數的抽象，兩者看似對立，實則卻是密不可分、相輔相成。數學家拉格朗日說過：“只要代數同幾何分道揚鑣，它們的進展就緩慢，它們的應用就狹窄，但是當這兩門科學結合成伴侶時，它們就互相吸取新鮮的活力，從那以后，就以快速的步伐走向完善”。因此，數與形兩者的相互結合是數學學習以及研究發(fā)展的必然趨勢，其體現的數形結合思想也是不容忽視的一個關鍵。在中學的數學學習中，數形結合作為重要的數學思想方法之一，是學生學習過程中解決數學問題的得力手段。“數形結合”主要指的是數與形之間的一一對應關系。簡而言之，數形結合就是指將直觀的幾何位置、圖形關系、抽象的數量關系、數學語言相結合，同時通過“以數解形”“以形助數”的方式使抽象問題具體化、復雜問題簡單化，從而優(yōu)化解題方法。即通過形象思維和抽象思維的結合優(yōu)化解題途徑。[1]抓住了形的生動性、數的可操作性，取長補短，才能相得益彰。

二、數形結合思想的教育價值

2.1 數形結合思想有利于學生將代數問題形象化、直觀化，便于求解

代數問題往往繁瑣機械，若適當與圖形相結合，能夠簡化問題的求解過程，為學生的數學學習減輕負擔。做到數與形的雙向溝通，促進表征對象與表征目標間本質結構的深層理解，并且認為這是通過解題而獲得數學理解的一條有效途徑。[2]換言之，數形結合思想融合代數與幾何，做到了優(yōu)化解決數學問題并加深了對數學問題的理解。

2.2數形結合思想有利于學生發(fā)散性思維的培養(yǎng)

通過數與形的有機結合，雙管齊下，才可全面提升學生的抽象思維與形象思維能力。數形結合思想能夠讓學生學會打破思維定式，使得代數、幾何互相溝通，不再局限于片面的思維方式。而是學會發(fā)散性思維，可以從多角度、多層次地去看待問題。有助于加深對數學問題本質的認識，有助于對具體數量關系和具體空間形式進行抽象與概括，拓展了人們思維的深度與廣度，使數學思維更深刻，更具創(chuàng)造性。[3]更有利于學生今后在數學學習上的發(fā)展，實現進一步的研究與提升。

2.3 數形結合思想有利于激發(fā)學生學習數學的興趣

通過數形結合，讓學生不僅僅只是接觸呆板的數學式子與符號，而是結合靈活多變的數學圖形，體會到數學的簡潔美與藝術美。數學的客觀存在的美感，在數與形的結合上表現得十分完美。[4]如果在數學教學過程中，將規(guī)則的文字化為形象易懂的圖畫，則更易化難為易，讓學生充分體驗應用題的奇妙，感受學習數學的無比樂趣。[5]從而激發(fā)學生學習數學的熱情，使得數學學習帶給學生的體驗不再是枯燥乏味，而是飽滿的興趣與滿足感。

三、數形結合思想的例題應用

3.1 不等式中的應用

利用勾股定理，構造合適的長方形ABCD（如下圖1所示）。

相比于方法二，方法一更加簡潔易懂，知識儲備要求也更低。但思維方式更加靈活，如何構造圖形是一個難點。合理利用數形結合思想，能夠使得解題更加輕松方便。

3.2 集合中的應用

四、總結

在數學解題教學過程中，如果能恰當地運用數形結合思想，通過數與形的有機結合，有的放矢地幫助學生、引導學生從靜態(tài)的思維方式向動態(tài)的思維方式跨越，培養(yǎng)學生的主動能動性與創(chuàng)新性。從而讓學生的思維不再局限于單一的代數或幾何，而是學會融會貫通，建立起溝通數與形的橋梁。在數學學習問題解決的過程中，讓學生學會多角度、多層次地去理解并思考問題，培養(yǎng)發(fā)散性思維，這樣才能讓數學學習事半功倍。因此，讓學生建立數形結合思想是數學教學過程中的不二法門。

[參考文獻]

[1] 姚愛梅. 高中數學教學中數形結合方法的有效應用[J]. 學周刊， 2011， No.108（12）： 50.

[2] 羅增儒. 數式與圖形溝通直覺與邏輯互動（續(xù)）[J]. 中學數學教學參考， 2004， 卷缺失（7）： 24-26.

[3] 顧亞萍. 數形結合思想方法之教學研究[D]. [出版地不詳]： 南京師范大學， 2004.

[4] 李花花. 高中數學教學中運用數形結合提高解題能力的研究[D]. [出版地不詳]： 天津師范大學， 2008.

[5] 張加亮. 在初中數學教學中滲透與應用數形結合的思想方法[J]. 中國教育技術裝備， 2011， 卷缺失（13）： 58-59.

（作者單位：臺州學院數學與信息工程學院，浙江 臨海 317000）