線性條件下變壓器的一般處理

郭海濱 黃亦斌 李霖

(江西師范大學物理與通信電子學院 江西 南昌 330000)

變壓器是利用電磁感應實現變壓的元件，含原、副線圈，分別處在原、副電路中．線圈包住磁性材料，其磁化效應非常大，可資利用．本文從基礎的電磁感應出發探討一系列理論問題．

1 一般電流情形

首先假定兩線圈(包括內部的鐵芯)是線性元件(鐵芯無磁滯、渦流等鐵損)，于是可定義自感L1,L2和互感M．如圖1所示建立各物理量的正方向，其中副電路中電流i2的正方向可要求M>0(i2在鐵芯內產生的磁通方向與i1產生的一致)而確定．于是，根據法拉第電磁感應定律，兩線圈的感生電動勢(自感與互感之和)分別為

(1)

圖1 變壓器

線圈本身由金屬制成，滿足歐姆定律．設兩線圈的內阻分別為R1,R2，則

u1=-e1+i1R1

u2=e2-i2R2

(2)

上述兩組方程構成以下討論的基礎．

考慮無漏磁情形．此時，每匝線圈的磁通量Φ都相等，故原、副線圈的自感電動勢又可以寫為

于是，結合式(1)，有

(3)

由于i1(t)、i2(t)獨立，故有

即

(4)

在能量方面，由式(2)和(1)易得

(5)

其意義非常明顯：輸入功與輸出功之差提供了線圈內阻的焦耳熱和介質中磁能的變化．如果線圈內阻為零，則由式(2)、(3)得到電壓比公式

(6)

2 交流電情形

圖2 變壓器兩端連接二端網絡

(7)

且由式(2)和(1)，有

(8)

解方程組(7)、(8)，可得

(9)

(10)

結果表明電路中的電壓、電流如何由電路中的各種參數來確定．

我們還可以得到非常一般的等效替換公式(圖3)．

圖3 變壓器的等效替換

(11)

(12)

只與變壓器和原電路有關．這就是對副電路的右部分而言，原電路和變壓器構成的整體的等效參數．等效替換公式(11)、(12)跟結果(9)、(10)完全等價，但形式上更簡單．

3 各種條件導致的簡化

如果考慮無漏磁條件(4)，則等效替換公式(11)和(12)中的兩個等效復阻抗分別變為

(13)

(14)

注意兩電壓反相．

以下默認變壓器無漏磁且無內阻．要想表達式足夠簡單，必須做進一步簡化．如果

(15)

則等效公式(11)變為

(16)

(17)

則等效公式(12)變為

(18)

如果條件(15)和(17)同時成立，則由式(10)可得到我們熟知的電流變比公式

(19)

注意兩電流反相．

(20)

(21)

(22)

其他情形都可以從一般結果(9)～(13)中得到．

(23)

(結果復雜，從略)，取其實部就得到：平均輸入功率與平均輸出功率之差提供線圈的焦耳熱．當然，這一結果也可以由式(5)對時間取平均而得到．對于變壓器無內阻、無漏磁且副電路無源情形，由式(14)和(21)以及式(4)，可以更簡單地得到

(24)

4 理想變壓器的定義

在以上的推理中，我們先后做了如下假定.

a:鐵芯是線性介質，無鐵損(磁滯和渦流)．磁介質跟電介質不同之處在于：線性磁介質都跟真空沒有多大區別(|μr-1|?1)，而磁化效應強的介質都是非線性的鐵磁質，從而在數學上不好處理．鐵磁質不僅非線性，而且其磁化情況還依賴于歷史(非單值)，存在磁滯回線，造成能量耗散．變壓器中的鐵芯通常都是用磁滯回線細窄的軟鐵制成，從而可以忽略磁滯．但非線性特征仍然存在，這使得B∝I,Φ∝I和式(1)都不成立．故而，我們還要求介質工作時遠離磁化飽和區，這樣就可以近似將其視為線性介質，使得自感系數L和互感系數M獲得意義．此外，鐵芯是導體(主要是硅鋼)，交變磁場會在其中引起渦流和焦耳熱，也造成能量耗散．用彼此絕緣的硅鋼片制成鐵芯，可以極大地減少渦流損耗，從而可以忽略之．

b:無漏磁．有漏磁情形在數學上可以處理，但表達式復雜[見式(9)、(10)]，且連電動勢的比值關系(3)都沒有，更別說我們熟悉的電壓比和電流比公式了．

c:線圈內阻可忽略(無銅損)．此時平均輸入功率等于平均輸出功率．

d:兩線圈自感(鐵芯磁導率)很大，感抗趨于無窮[見式(15)和(17)]．此時，空載電流[見式(20)～(22)]可忽略．

這4個條件的重要性依次遞減．條件a是基礎，沒有它本文中除能量守恒外其他結論皆不成立．只在專門的電工學中才研究非線性和鐵損問題．條件a使得我們可以用比較簡單的數學來處理問題，尤其是使得方程(1)成立．僅靠這一條，我們已經得到了結果(9)、(10)和等效替換公式(11)、(12)，只是不夠簡單而已．條件b為進一步簡化結果提供了很大便利，而如果只考慮條件a,c的話，結果得不到多少簡化．由前3個條件可以得到電壓比公式(6)和(14)，而由所有4個條件才得到電流比公式(19)和等效替換公式的常見形式(16)和(18)．

而且，條件a,b只跟變壓器自身情況有關，而條件c,d則有賴于外在情況．比如，副線圈短路時條件c不成立，斷路時條件d不成立．所以把條件c,d當成對變壓器的要求多少有些奇怪，更合適的說法是對“變壓器處于理想狀態”的要求．所以條件c,d應該排在a,b之后．

那么，什么是理想變壓器？大學教材[1～3]對其的定義普遍包括了以上4條，只是順序各異，未按重要性排列．故綜合來說，滿足上述4個條件的變壓器稱為理想變壓器，其常用性質是電壓比公式(14)、電流比公式(19)和等效替換公式(16)和(18)．

另外要說明的是，本文標題中的“線性條件”包含兩層意思：線圈包圍的介質是線性的；交流電路中的所有元件都是線性的．例如歐姆定律的成立就意味著該元件是線性的．如果電路中含二極管，那么本文從第二部分開始的所有討論都不成立(但第一部分仍成立)．

5 對中學物理教材處理理想變壓器問題的建議

中學教材是如何處理理想變壓器的呢？教材[4]和[5]給出的定義都是沒有能量損失(線圈銅損、鐵芯鐵損)的變壓器，但它們又都出現了電壓比公式．顯然，該定義中只涉及條件a,c，而電壓比公式的成立還需條件b．這是二者的一個缺憾．

交流電和理想變壓器是一項高考內容[6]．2016年全國高考理綜Ⅰ卷第16題就考查了理想變壓器的知識[7]．文獻[8]對該題進行了詳盡分析，其中用到了電壓比和電流比公式(或等效替換公式)．然而，題干中說的是“理想變壓器”，而根據高中教材，“理想變壓器”只是符合條件a,c而已，其邏輯推論只是式(9)、(10)或(11)、(12)(令R1=R2=0)．這顯然不是出題者的本意．題目顯然希望考察學生對電壓比和電流比公式的掌握，然而二者的其他前提b和d是獨立于a和c的．

也許會有意見說，高中教材中的“無能量損失”條件包括了無漏磁，因為有漏磁時變壓器外會有變化的磁場，導致電磁波向外輻射能量．這一說法不能說錯，但它跟在日常問題中考慮相對論效應一樣沒有什么意義．實際上，這一輻射的能量極小，因為變壓器的尺度遠小于相應的波長，從而完全應該視為似穩電路[1]．如果要在條件a之前再加一條的話，那就是：電路是似穩的，從而不考慮電磁波輻射．這是理所當然被默認而無需指明的，人們只會去談論鐵損、銅損，不會提及電磁波，正如討論化學反應中的質量是否守恒時不會去計較愛因斯坦質能關系一樣．