利用電像變換法巧解電學題
——感知物理科學思維的魅力

許釋文

(華南師范大學物理與電信工程學院 廣東 廣州 510006)

在很多情況下，求解電場和庫侖力的區域內有電荷，一種重要的情形是區域內只有一個或一個以上點電荷，且區域邊界是規則的導體界面，如球形或者無限大平面．這時，要直接利用學生所學公式來計算電場場和電場力就很困難．因為此時導體外的電場應是點電荷Q所激發的電場加上自身感應電場的疊加．而感應電荷的分布難以知道，則其所激發的電場也就難以計算，導致導體外的電場也難以計算．

那么，能否在導體內部引入一個或者幾個假想的點電荷(即像電荷)來替換導體面上的感應電荷產生的電場呢？實際上，由電動力學中的唯一性定理可知，當然可以引入假想的電荷(即像電荷)來替代導體面上的感應電荷．

那么，導體外空間任一點的電場就等于空間外點電荷Q產生的原電場E原加上導體像(或感應)電荷所產生的電場E像．即：E=E原+E像．此種解題的巧妙方法稱為“等效電像變換法”．

所謂電像變換法，其實也就是“猜”的方法，但是又不是毫無根據的猜，而是由給定的已知條件，再憑借一定的經驗去猜，且猜的結果不能改變原有已知條件．例如，求解無限大接地平面外和一個點電荷所產生的電場，我們可以根據無限大導體平面電勢為零，再憑借等量異種電荷所產生的電場，就可“猜測”出的像電荷位置和大小．

1 應用電像變換法解兩類電學題

1.1 求無限大接地平面外一點的場強大小

圖1 例1題圖

分析：求金屬板和點電荷產生的合場強，顯然用現在的公式直接求解比較困難．能否用中學所學的知識靈活地遷移而解決呢？當然可以．

可以利用等量異種電荷的電場線分布來進行等效替換，用電像轉換法來求解，求解的過程非常簡單易懂，體現物理思維方法的等效美、對稱美、簡單美．

(1)

故選項D正確．

利用電像變換法解題的突破口是由題目給定的已知條件，根據對稱性找到聯系，再憑借一定的經驗得到像電荷的位置和大小，進而解決問題．

就拿此高考題目來說，應用電像變換法解題的思路是：由xOy導體平面下方為真空，可得其電勢為零，由此可聯想到等量異種電荷中垂線上的電勢為零，確定像電荷的位置和大小，則接下來就可以利用所學知識得到正確答案．

1.2 求接地均勻導體球外一點的場強和點電荷在該點受的庫侖力

【例2】如圖2所示，在一個接地均勻導體球的右側P點距球心的距離為d，球半徑為R．在P點放置一個電荷量為 +q的點電荷．試求導體球的感應電荷在P點產生的場強大小和點電荷在該點受的庫侖力．

圖2 例2題圖

解析：

感應電荷在球上分布不均勻，靠近P一側較密，關于OP對稱，因此感應電荷的等效分布點在OP連線上一點P′．設P′ 距離O為r，導體球接地，故球心O處電勢為零．

根據電勢疊加原理可知，導體表面感應電荷總電荷量q′在O點引起的電勢與點電荷q在O點引起的電勢之和為零，即

(1)

同理，像電荷位置，應令其在球面上任意點引起的電勢與q在同一點電勢疊加為零，即q′與q在球面上任意點引起的電勢疊加之后為零．得

(2)

其中α為球面上任意一點與O連線和OP的夾角，具有任意性．將q′代入上式并進行數學變換后，得

d2r2-R4=(2Rrd2-2R3d)cosα

根據電場強度決定式可知感應電荷在P點所產生的電場強度

(3)

再根據電場強度和電場力的關系式可得

(4)

由此可以看出，利用電像轉換法解題的關鍵一步是根據變換后電場不變的原則，確定像電荷的大小和位置．

2 電像變換法及使用過程中需注意的問題

電像變換法，多用于接地導體或保持電勢不變的導體外有一個或多個點電荷的情況．通常根據導體面及點電荷的集合位置關系，推斷在所考察區域適當放置一個或多個量值合適的電荷，使之能夠滿足導體面上給定的場強及電勢條件、模擬感應電荷對空間電場的貢獻．這些虛擬的電荷成為“像電荷”．通過等效電像變換的方法，使實際問題易于解決，而其可靠性則源于靜電學的重要原理——唯一性定理．

電像變換法的的實質是在所研究的場域外的適當地方，用假想的 “像電荷” 來代替真實的導體感應電荷或介質的極化電荷對場點的作用．在代替的時候，必須保證原有的電場、邊界條件等不變，不能破壞原有的場分布．

這里要注意幾點：

(1)唯一性定理要求所研究空間的泊松方程不能被改變(即自由點電荷位置、大小不能變)．因此，做替代時，假想電荷必須放在所求區域之外．

(2)由于像電荷代替了真實的感應電荷或極化電荷的作用，因此放置象電荷后，就認為原來的真實的導體或介質界面不存在，即不再考慮導體和介質表面的感應電荷．也就是直接用“像電荷”替代感應電荷．

(3)一旦用了假想(像)電荷，就不再考慮原來的電荷分布．

(4)像電荷是虛構的，它只在產生電場方面與真實的感應電荷或極化電荷有等效作用．而其電荷量并不一定與真實的感應電荷或真實的極化電荷相等，不過在某些問題中，它們卻恰好相等．

(5)電像變換法所適應的范圍是：所求區域有少許幾個點電荷，它產生的感應電荷一般可以用假想點電荷代替；導體或介質的邊界面必是簡單的規則的幾何面(球面、柱面、平面)．

3 電像變換法的“思維魅力”

如果在所要求解的區域內只有一個或者幾個點電荷，區域邊界又是規則且有高度對稱的導體或介質界面，這類問題就可以用電像變換法來求解電場分布、感應電荷分布以及庫侖力．

電像變換法，形象地說，就是一種等效的方法．為什么等效呢？可以從相關的電場的電場線的具體形狀就能夠看出來，將導體板，或者是接地導體板對電荷的作用等效為某點電荷對其的作用．此法簡單易用，是求解的訣竅．

電像可以理解為光學中的平面鏡成像．通過作圖，可以知道其一些特性．給定一個由一片無限平面導體和一個點電荷構成的物理系統，這無限平面導體可以被視為一片鏡子，在鏡子里面的鏡像電荷與鏡子外面的點電荷，所形成的新系統，可以使得導體平面上的電場垂直于導體，與原本系統等價．借此方法，我們可以將問題簡化，很容易地計算出總感應電荷、導體外的電場、代替外電荷受到的庫侖力等等．

利用電像變換法解決問題可讓學生領略到這種找到像電荷進行等效替代的樂趣以及學會等效替代的物理方法和養成嚴謹的科學思維．電像變換法所體現的等效思想的美、簡單美，能夠讓人“如獲至寶”，回味無窮．而它解題過程中需注意的問題，又恰恰體現物理的嚴謹性．因此，利用電像轉換法解電學題，可以帶我們領略物理科學思維的“魅力”．