探究最省力的方案*
——基于核心素養培養的STEM教學案例

王朝祥

(北京市第八十中學 北京 100102)

1 案例開發緣由

搬運重物的問題情境，在日常生活和工程建設中比較常見，探究最省力的移動方案，對生產和生活有重要的實際意義．

本案例的問題情境，取材于教科版高中《物理·必修1》第四章“共點力平衡”的課后習題，學生探究最省力方案的過程，也是應用共點力平衡條件解決實際問題的過程，本案例的教學內容與教材內容的學習融為一體．

2 學習者分析

2.1 生活經驗方面

學生在生活中經常接觸推拉問題，知道移動重物時斜向上拉比斜向下推省力，但也可能形成“拉力與水平方向夾角越大，越省力”的錯誤認識.

2.2 知識概念儲備

學生通過初中物理的學習，知道牛頓第一定律，理解了平衡態的概念，了解平衡力的特點，這為高中的后續學習提供了知識上的儲備.學生在高中《物理·必修1》前幾章的學習中，基本掌握重力、彈力、摩擦力的相關知識，能運用平行四邊形定則進行矢量合成.

2.3 物理思想和數學方法儲備

學生在初中接觸過等效替代、轉化法、控制變量法等典型的物理思想方法，為本節課的“多力平衡轉化為二力平衡”提供了思想依據.

在數學方法層面，學生初步掌握三角函數的合差運算，在提供相關公式的情況下可以進行理論探究；通過初中平面幾何的學習，學生已經具備解三角形的能力.

2.4 學生存在的困難及成因分析

(1)常見的困難.矢量的表述欠規范，數學工具不熟練；論證能力有待提升，不能用簡潔的物理語言論證、表達自己的觀點．

(2)產生學習困難的原因分析.由于高中數學、物理教學內容的銜接問題，學生學習物理必修1的過程中，在矢量運算、三角運算等數學方法上存在困難；在初中物理學習中，學生在理解能力、實驗探究等方面有較大提升，但在理論探究方面訓練不足，思維不順暢．

3 案例設計

3.1 教學目標分析

(1)在理解共點力平衡條件的基礎上，能運用共點力平衡條件分析解決實際問題．

(2)學生在項目驅動下，能基于生活經驗運用科學的思維方法建構理想模型，通過定量推理解決工程技術中的難題，提升物理核心素養．

(3)通過運用三角函數、矢量運算的相關知識探究最省力方案，提升學生的學科整合意識，逐步實現物理知識與數學方法的自覺整合．

3.2 教學環節設計

本案例按照情境創設、模型構建、理論探究、實踐檢驗4個階段進行，教學流程如圖1所示.

圖1 教學流程

4 案例描述

4.1 情境創設階段

教師活動：立足生活生產需求，提出要解決的問題，并提出啟發性問題，引發學生思考．

問題情境：某同學想要向前移動地面上笨重的行李箱，請你幫他設計一個最省力的方案.

問題引導：有的同學提出斜向前推、斜向前拉兩種方法，哪種方法更省力？為什么？

圖2 推拉行李箱

學生活動：基于生活經驗和物理學科知識，做出方案選擇．

學生活動預設：多數學生選擇斜向前拉行李箱的方案．

設計意圖：基于生產生活需要創設情境，培養學生問題意識．通過啟發性問題引導學生做出初步的方案選擇，引發后續研究．

4.2 模型構建階段

教師活動：通過啟發性問題引導學生對影響拉力的因素提出猜想，進一步建構理想模型，從理論上推導拉力的決定式．

問題引導(1)：勻速拉動行李箱時，影響拉力大小的因素有哪些？

問題引導(2)：定量分析拉力F的大小

如圖3所示，某同學用力拉著質量為m的行李箱勻速前進，已知箱子與地面的動摩擦因數為μ，拉力與水平方向的夾角為θ，求繩子拉力F的大小.

(要求有必要的文字說明、受力分析圖、方程，分析結果有明確的表達式. )

圖3 人拉行李箱前進

學生活動：基于生活經驗和物理學科知識，猜想影響拉力大小的因素；從實際情境中抽象出勻速直線運動模型，運用共點力平衡的條件進行定量推理，得出拉力F的表達式．

學生活動預設：

問題(1)猜想可能影響拉力大小的因素有物體質量、地面粗糙程度、拉力方向、地面是否水平等因素．

問題(2)物體做勻速直線運動，根據共點力平衡條件

設計意圖：引導學生通過頭腦風暴的形式分析猜測影響拉力的因素，再從實際問題中抽象出理想模型，利用共點力的平衡條件推導出拉力的表達式，驗證學生的猜想，為下一步的理論探究做好準備．

4.3 理論探究交流評價階段

教師活動：采用控制變量法，控制物體質量和地面粗糙程度不變，啟發學生整合數學方法或等效替代思想進行極值分析，在理論上研究拉力最小的方案，在全班展示交流．

問題引導：在行李箱質量m和地面粗糙程度(用μ表示)一定的情況下，改變拉力F的方向，其大小將發生變化. 利用理論探究的結果分析：當拉力什么方向時(用θ表示)，拉力的大小有最小值？拉力的最小值多大？

請簡要概括你的分析過程和結果. 學有余力的同學可以嘗試多種方法分析本問題.

你可能會用到的數學公式

sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ

cos(α±β)=cosαcosβ?sinαsinβ

學生活動：用三角函數極值、等效替代兩種方法研究拉力最小的方案，并展示交流．

學生活動預設：學生可能呈現的分析方法

方法一：用三角函數方法分析拉力的極值

其中tanφ=μ，因此，當θ=φ=arctanμ時

方法二：用全反力等效替代支持力和摩擦力，全反力與法線的夾角φ=arctanμ.

物體的受力情況如圖4所示，物體在拉力、重力、全反力作用下三力平衡，當拉力與全反力垂直時，拉力最?。?/p>

圖4 受力情況

由幾何關系可知，此時拉力與水平方向的夾角θ=φ=arctanμ.

設計意圖:學生用方法一處理問題時，可參照函數思想，將拉力F看成夾角θ的函數，即F=f(θ) ，從而將探究最小拉力問題轉化為函數極值問題．

學生用方法二處理問題時，體現了等效替代思想和轉換思想，用全反力等效代替支持力和摩擦力，從而將四力平衡轉換為三力平衡，用矢量三角形即可求解．

教師引導學生將數學方法和物理思想相結合處理實際問題，有利于數學方法與物理知識的有機整合，以開拓學生分析解決復雜問題的思路．

在交流評價方面，教師有意識地引導學生自評、互評，最后教師點評，通過多方評價培養學生交流合作意識和批判性思維能力．

4.4 實踐檢驗階段

教師活動:引導學生將理論探究結果付諸實踐，通過模擬實驗進行實踐檢驗．

問題引導：用木塊替代行李箱，定性體驗拉力大小隨方向變化的規律.

可以利用的實驗器材：彈簧測力計、木塊、方木板(含絨布)、鉤碼、量角器等.

學生活動:按照4人一組進行分組，對理論探究結果進行模擬檢驗，如圖5所示．

圖5 學生模擬檢驗

學生活動預設:學生需要先自行設計實驗測定木板與滑塊間的動摩擦因數，從而確定摩擦角φ，才能進行后續的實驗驗證．在小組合作的情況下，學生可以體驗拉力大小隨方向的變化規律，粗略地測定拉力的最小值以及此時的拉力方向．

設計意圖:由于中學實驗器材的精度有限，學生很難通過實驗準確地探究拉力最小的方案．因此，本案例安排學生在理論探究的基礎上進行定性的實驗驗證，體驗拉力大小隨方向變化的規律，既回避了中學實驗的精度缺陷，又能大致地對理論探究結果進行驗證，這種安排較為合理．

5 教學反思

(1)本案例是基于項目任務的數學與物理學科整合教學案例．教學設計的著眼點在于學生核心素養的培養，切入點是學生常見的問題情境——移動地面上笨重的行李箱，教學中以學生為主體，逐步引導學生在生活經驗的基礎上運用科學的思維方法建構理想模型，從物理問題中抽象出數學函數，通過定量推理探究實際問題的解決方案，并對方案進行交流、評估，最后通過實驗檢驗探究結果．教學模式可以概括成下面的示意圖．

圖6 教學模式示意圖

(2)通過課堂觀察與評價，教師發現了學生的一些閃光點，比如：

1)在猜測影響拉力大小的因素時，表現出良好的發散思維能力，能即時生成教學素材；

2)在探究最小拉力時，能運用等效替代思想和轉化思想，將四力平衡轉換為三力平衡，進一步用矢量三角形分析、討論極值問題，有效地簡化了問題的解決過程，體現了物理思想方法的優勢．

(3)學生在教學過程中也顯露出應用數學方法處理物理問題的障礙，在數學建模、函數構建、三角函數運算、矢量運算等方面存在困難，需要教師在后續教學中逐漸滲透、化解．