基于Mathematica可視化矩形波導(dǎo)的電磁波*

侯躍飛 張利絨 劉俊杰

(內(nèi)蒙古大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 內(nèi)蒙古 呼和浩特 010020)

理想波導(dǎo)是用來無損耗傳輸高頻電磁波的裝置，研究理想波導(dǎo)內(nèi)部的電磁場分布特性對促進(jìn)波導(dǎo)在實(shí)際中的應(yīng)用具有十分重要的意義.以理想矩形波導(dǎo)為例，從電磁場的麥克斯韋方程組出發(fā)，代入邊界條件，可以獲得波導(dǎo)內(nèi)部電磁場關(guān)于空間、時間的函數(shù)方程，簡稱場方程.通過場方程理解電磁場分布比較抽象，對此文獻(xiàn)[1]介紹了一種基于Matlab矩形波導(dǎo)的TE10模時變電磁場三維動態(tài)演示，方便了對電磁波傳播特性的理解，但缺少對波導(dǎo)截止情形的討論，同時演示結(jié)果中缺少適當(dāng)?shù)亩筷P(guān)系.文獻(xiàn)[2]基于軟件HFSS實(shí)現(xiàn)了矩形波導(dǎo)電場分布仿真，利用顏色色度的變化表示波導(dǎo)內(nèi)電場密度的變化.文獻(xiàn)[3]給出了TE11和TM11兩種模式下矩形波導(dǎo)橫截面與縱剖面的二維電磁場分布，但圖像與描述不一致，極易造成誤導(dǎo).

本文受到Y(jié).Shibuya發(fā)布在Wolfram網(wǎng)站的平行板波導(dǎo)演示項(xiàng)目的啟發(fā)[1]，同時為了克服以上工作的局限，發(fā)展了基于Mathematica矩形波導(dǎo)內(nèi)電磁波的三維演示項(xiàng)目(下載地址：https://pan.baidu.com/s/1nRv-iErQyUWyjgfVujHl3Q)，可以實(shí)現(xiàn)矩形波導(dǎo)TE波或TM波、主模或高階模、傳輸狀態(tài)或截止?fàn)顟B(tài)波導(dǎo)內(nèi)空間各點(diǎn)的仿真.涉及的演示對象包括電磁場矢量分布、能量密度分布與能流密度沿傳播方向強(qiáng)度的分布.可調(diào)自由度高，可挖掘的信息量大.參照比例尺還可獲得各物理量之間的數(shù)量級關(guān)系，可促進(jìn)對矩形波導(dǎo)特性的學(xué)習(xí)與理解.

1 場方程

如圖1所示，理想導(dǎo)體邊界的矩形波導(dǎo)內(nèi)部電磁場滿足方程組

(1)

(2)

(3)

(4)

圖1 矩形波導(dǎo)

電磁波沿z方向傳輸，設(shè)電場強(qiáng)度矢量為

E(x,y,z,t)=E(x,y)ei(kzz-ωt)

(5)

分離變量并引入矩形波導(dǎo)邊界條件[4]，得到如下形式的電場解

(6)

由式(3)，系數(shù)A1，A2，A3滿足如下關(guān)系

A1kx+A2ky-iA3kz=0

(7)

取A3=0，聯(lián)立式(2)與式(5)，得到振幅常量中只含有一個獨(dú)立變數(shù)的橫電波(TE波)電磁場分布方程[5]

(8)

取A2kx-A1ky=0,同理得到橫磁波(TM波，電磁場分布方程

(9)

波矢沿z方向分量

式中a和b為矩形波導(dǎo)截面寬邊長度和窄邊寬度，m和n取值為0，1，2，…，A和A0為振幅常數(shù)，數(shù)值由激發(fā)源功率確定.

為方便數(shù)值模擬，取

(10)

這樣使得Ex的系數(shù)為1，對應(yīng)其他場分量的系數(shù)也化為了較簡單的形式.但對于TEm0與TE0n兩種模式，特別地，取A=A0=1，以免因ky或kx的值為零造成場方程無意義或行波不存在.

2 傳輸情形下的場和能量特性

依據(jù)式(7)、(8)，通過模擬實(shí)現(xiàn)了矩形波導(dǎo)內(nèi)部行波電磁場的可視化.設(shè)矩形波導(dǎo)寬邊長度3 cm，窄邊長度2 cm，兩邊分別置于直角坐標(biāo)系的x軸和y軸，電磁波沿z方向傳輸.如圖2(a)所示，顯示截面在y=1.25 cm處，藍(lán)色箭頭與紅色箭頭分別表示電場強(qiáng)度矢量與磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量.箭頭起始端為場點(diǎn)位置，箭頭長度反映了矢量相對強(qiáng)弱.右側(cè)曲線表示能流密度矢量z分量沿x軸方向的強(qiáng)度分布，可以看出該分量的強(qiáng)度呈周期性變化，且波導(dǎo)寬邊模數(shù)m為該曲線出現(xiàn)的周期數(shù).從另一角度觀察，如圖2(b)所示，可以看出電場強(qiáng)度與磁感應(yīng)強(qiáng)度處處正交.

(藍(lán)色箭頭表示電場，紅色箭頭表示磁場，曲線表示能流)

圖2

如圖3(a)、(b)所示，在垂直于y軸的波導(dǎo)邊界上，TM波的電場強(qiáng)度方向垂直于波導(dǎo)內(nèi)壁，磁感應(yīng)強(qiáng)度平行于波導(dǎo)內(nèi)壁.矩形波導(dǎo)中的電磁場在傳播方向上表現(xiàn)為行波，在垂直于傳播方向的截面、平行于邊界的方向表現(xiàn)為駐波.由圖3(a)不難看出，波導(dǎo)寬邊模數(shù)m為該方向駐波的半波數(shù).在使用本演示程序時，會發(fā)現(xiàn)存在電場、磁場均沒有沿z方向分量的截面，這種特殊的截面位于駐波的波節(jié)處.應(yīng)當(dāng)注意這并不表示矩形波導(dǎo)可以傳輸TEM波，改變顯示截面位置，可以發(fā)現(xiàn)電場或磁場重新出現(xiàn)了縱向分量.

圖3

事實(shí)上，與平面電磁波不同，矩形波導(dǎo)內(nèi)某時刻任意場點(diǎn)的電場能一般不等于磁場能.由圖4(a)可以看出某一時刻在垂直于傳播方向的截面上電磁能量分布存在周期性，m和n分別為沿寬邊與窄邊分布的周期數(shù).如圖4(b)所示，沿著傳播方向能量分布亦存在周期性，單位長度的能量峰值數(shù)應(yīng)與電磁波源的頻率成正比.

圖4

3 截止情形下的場和能量特性

截止波導(dǎo)在生產(chǎn)生活中應(yīng)用廣泛，它對低于截止頻率的電磁波的“截?cái)唷惫δ苁且粋€十分有趣的物理現(xiàn)象，截止頻率的大小與模式和矩形波導(dǎo)的尺寸有關(guān).當(dāng)場源激發(fā)出的電磁波頻率低于截止頻率，矩形波導(dǎo)不會傳播電磁波，表現(xiàn)形式為沿傳播方向振幅急劇衰減的電磁振蕩[6].

電磁能量也主要區(qū)域性地集中在激發(fā)源附近，不會向遠(yuǎn)方傳輸.在電磁波頻率由低到高逐漸接近截止頻率的過程中，電磁場衰減速率變慢，進(jìn)入波導(dǎo)內(nèi)部的電磁能量逐漸增多，如圖5(a)、(b)所示.當(dāng)激發(fā)源頻率升高至大于截止頻率，波導(dǎo)內(nèi)電磁場性質(zhì)發(fā)生突變，重新出現(xiàn)行波，此時回歸到傳輸情形，如圖5(c)所示.

圖5

4 參數(shù)設(shè)置說明

演示程序操作界面如圖6所示.

波導(dǎo)參數(shù)設(shè)置中，“模式”選項(xiàng)切換TE或TM波形，“模數(shù)m”與“模數(shù)n”的取值為0，1，2，3.應(yīng)注意，矩形波導(dǎo)不存在TMm0與TM0n模式的電磁波.“頻率f”可調(diào)范圍為4.0 GHz～30.0 GHz；“相位φ”調(diào)節(jié)范圍為0～16π；“截面位置(x方向)”可調(diào)范圍0～2 cm，“截面位置(y方向)”可調(diào)范圍0～6 cm，不斷改變截面位置可觀察出場在波導(dǎo)內(nèi)全空間的變化規(guī)律.

對象顯示設(shè)置中，“電/磁場”選項(xiàng)控制打開或關(guān)閉電磁場演示；“能量密度分布”選項(xiàng)控制打開或關(guān)閉能量密度分布演示；“場矢量密度(z方向)Nz”與“場矢量密度(x方向)Nx”選項(xiàng)調(diào)節(jié)單位空間內(nèi)矢量箭頭數(shù)量，較大的箭頭數(shù)量便于觀察波動性質(zhì)，較小的箭頭數(shù)量便于觀察單個場點(diǎn)性質(zhì)；“能量密度比例尺”可改變能量密度標(biāo)度，來解決不同模式下能量密度數(shù)量級差距較大，難以用唯一的標(biāo)度較好演示的問題.

圖6 演示項(xiàng)目操作界面

5 結(jié)束語

本文應(yīng)用軟件Mathematica實(shí)現(xiàn)了矩形波導(dǎo)內(nèi)電磁場的可視化，三維的圖像進(jìn)一步加深了讀者對波導(dǎo)中電磁場分布特性的理解，使原本抽象的TE波、TM波、模數(shù)、截止等概念的物理意義更加明確.同時通過對演示結(jié)果的研究，得到以下結(jié)論：

(1)理想矩形波導(dǎo)內(nèi)電場與磁場處處正交，且滿足理想導(dǎo)體邊界條件，即矩形邊界處電場垂直波導(dǎo)內(nèi)壁，磁場平行波導(dǎo)內(nèi)壁.

(2)理想矩形波導(dǎo)不能傳播純粹的橫電磁波，模數(shù)m和n分別代表沿寬邊、窄邊的電磁駐波半波數(shù)或能量分布的周期數(shù).

(3)造成理想矩形波導(dǎo)出現(xiàn)截止現(xiàn)象的原因是電磁波的急速衰減，且隨著頻率的降低，衰減速率變快.最后讀者可依據(jù)比例尺和給出的數(shù)值進(jìn)行相關(guān)演算，了解數(shù)量級關(guān)系，增強(qiáng)物理感覺.