動態加載條件下土壤承壓沉陷特性仿真研究

馮文選，馬吉勝，何 健，吳大林

(1.陸軍工程大學石家莊校區，石家莊 050003； 2.西京學院， 西安 710123)

車輛越野行駛過程中行駛機構與地面之間的力學相互作用分為垂直應力應變關系和水平應力應變關系。其中，垂直應力應變關系可以用車輛作用于地面垂直方向的載荷與相應載荷下地面沉陷量之間的關系來描述[1]。研究車輛—地面壓力沉陷特性關系對研究車輛在特定地域的通過性和車輛的行駛阻力具有重要作用。

從德國學者Bernstein建立車輪陷入地面深度與接地壓力之間的關系開始，各國學者均對車輛—地面壓力沉陷關系進行了不同的研究。蘇聯學者Goriatchkin將Bernstein公式推廣為指數形式。美國學者bekker在上述二人研究的基礎上，結合土木工程中地基下陷規律提出了bekker公式，并設計出測試地面承壓沉陷特性的試驗方法和儀器。英國科學家Reece[2]考慮土體密度和黏聚力的影響，對bekker方程進行了改進。俄國科學家庫茲可夫提出了雙曲正切模型，日本科學家的雙曲線模型[3—4]。俄羅斯學者Modest Lyasko在總結其他學者實驗結果的基礎上，提出了參數與實驗條件無關的LSA模型[5]。

中國學者在土壤的承壓沉陷特性方面也做了許多研究工作。吉林工業大學莊繼德等人，以新疆沙漠沙為研究對象，提出了描述沙土壓力沉陷特性的模型[6]。楊啟梁等[7]在研究水田載荷—下陷特性中，采用形積當量作為反映測板形狀、尺寸特征的參數，推導出了水田土壤壓力沉陷公式。南京農業大學姚艷等人采用二項式對室內重塑土壤壓力沉陷關系進行擬合，得到了較高的擬合精度，并進行了農田實測數據的驗證[8]。原軍械工程學院趙家豐等人結合土壤承載極限理論，提出一種改進的土壤承載模型，并利用不同土質實驗參數進行驗證，取得較好的擬合精度[9]。

總結國內外研究可以發現，各國學者對車輛—地面壓力沉陷特性的研究主要建立在基于準靜態加載的平板載荷試驗之上。為更加貼近車輛行駛過程于地面相互作用的實際情況，本文采用有限元仿真的方法分析加載速率對車輛—地面壓力沉陷特性的影響，并試圖利用數值逼近的方法建立動態加載條件下車輛—地面壓力沉陷關系模型。

1 土壤力學特性

1.1 土壤本構關系

土壤的應力—應變關系可以用固體力學中的彈塑性理論來描述[10]。土壤的力學行為可以分為彈性行為和塑性行為。彈性行為是土壤在彈性變形范圍內的應力—應變關系，可以用彈性本構模型來描述。彈性模型主要包含兩個參數，彈性模量E和泊松比μ。常見的土壤彈性本構模型包括線彈性模型、多孔介質彈性模型和線粘彈性模型。本文采用適用最廣泛的各向同性彈性模型描述土壤的彈性行為。

土壤的塑性行為主要包括屈服、硬化、剪脹和流動性，可以用塑性本構模型來描述。經典的土壤塑性本構模型主要有Mohr-Coulomb模型、Drucker-Prager模型和臨界狀態塑性模型[11]。本文采用被廣泛應用的Mohr-Coulomb模型描述土壤的塑性行為。Mohr-Coulomb模型中的剪切屈服函數為：

F=Rmcq-ptanφ-c=0

(1)

其中：φ為q-p平面上的摩擦角，c為黏聚力，Rmc為屈服函數在π平面上的形狀參數。

在ABAQUS軟件中，為了避免π平面上屈服面存在尖角導致流動方向不唯一的現象，Mohr-Coulomb模型采用非相關聯的流動準則。并通過指定黏聚力c與等效塑性應變之間的關系，控制土壤的硬化規律。

1.2 土壤參數的確定

土壤本構參數可以通過土工試驗來確定。土體抗剪強度試驗是測定土體剪切特性的試驗的一種，分為室內試驗和現場試驗。室內試驗包括直剪試驗和三軸剪切試驗，直剪試驗儀器設備簡單、操作方便、試驗用土少，可以測量土壤的抗剪強度參數粘聚力c和內摩擦角φ。三軸壓縮試驗作為另一種常見的室內土工試驗，與直剪試驗相比，除了可以測定抗剪強度指標粘聚力c和內摩擦角φ，還可以測定土壤的彈性模量E、泊松比μ和壓縮系數等參數[12]。

采用上述兩種土工試驗對松軟粘土進行參數測定[13]，在含水率5%的情況下，測得土壤內摩擦角φ=27.33°，粘聚力c=6.38 kPa。通過三軸壓縮試驗測得土壤彈性模量E=20.2 MPa，泊松比μ=0.32?？偯芏葹? 932 kg/m3。

2 土壤壓力沉陷試驗有限元分析

2.1 有限元模型建立

有限元仿真采用大型非線性有限元分析軟件ABAQUS為仿真平臺，采取三維實體建模。載荷板為半徑R=0.1 m的圓板。為簡化計算，載荷板采用剛體約束，并設置參考點。綜合考慮土體模型邊界對仿真結果的影響和仿真計算效率，土體采用1 m×1 m×1 m的正方體模型。建立材料分別為鋼和土壤的截面屬性，鋼的材料參數為：密度7 800 kg/m3、彈性模量E=207 GPa、泊松比μ=0.3；土壤本構模型采用各向同性線彈性模型和Mohr-Coulomb模型，參數如1.2所述。

約束土體模型四個側面水平方向位移自由度，底面設置為完全固定約束；約束載荷板參考點水平方向位移自由度和三個方向轉動自由度。整個模型采用八節點線性六面體單元，設置減縮積分、沙漏控制。土體網格拓撲結構采用中間致密四周相對稀疏的方法。設置載荷板參考點豎直方向載荷。裝配體模型如圖1所示。

2.2 動、靜態加載仿真結果對比

ABAQUS軟件提供的Standard求解器可以忽略部件慣性效應的影響，對穩態過程和準靜態過程等靜力學問題具有良好的模擬效果；Explict求解器對時間、質量慣性等動態因素敏感，可以模擬動力學問題[14]?；谏鲜鰞煞N求解器分別對準靜態加載和動態加載條件下的土壤壓力沉陷特性進行分析。

在2.1節模型的基礎上，設置載荷板參考點豎直方向載荷大小50 kN，設置靜力通用分析步模擬土壤壓力沉陷準靜態加載。設置載荷大小不變，加載速率為100 kPa/s，采用顯示動力分析步模擬土壤壓力沉陷動態加載條件。取載荷板參考點豎直方向的位移、載荷數據，并采用經典土壤壓力沉陷公式p=kzn對仿真數據進行擬合，擬合曲線如圖2所示。

從圖2中可得：

1) 對比準靜態加載與動態加載條件下土壤壓力沉陷曲線，可以看出土壤在兩種加載條件下的壓力沉陷特性存在明顯差異，特別是土壤進入塑性變形之后，動態加載時土壤的極限承載力明顯大于準靜態加載時。

2) 從Bernstein方程對土壤壓力沉陷關系擬合效果來看，Bernstein方程對準靜態加載條件下土壤壓力沉陷關系擬合良好，擬合決定系數R2=0.923；但是對動態加載條件下土壤壓力沉陷關系的擬合存在較大誤差，擬合決定系數R2=0.852，擬合效果明顯不如前者。

總結上述，可見加載速率會對土壤壓力沉陷特性產生明顯影響；以準靜態加載為試驗條件的傳統土壤壓力沉陷模型對符合準靜態加載條件的土壤壓力沉陷仿真結果具有良好的擬合效果，但是對動態加載時的土壤壓力沉陷關系不能較好的擬合。

2.3 不同加載速率下土壤承壓沉陷特性分析

車輛越野行駛過程中，隨著車速的不斷提高，車輛對地面施加載荷的速率可以達到幾千千帕每秒。以美軍M4坦克為例，其最大行駛速度42 km/h，總重32 t。文獻[3]中對各國主戰坦克平均最大接地壓力Pmm進行了總結，其中M4坦克的平均最大接地壓力Pmm=282.2 kPa。按照M4坦克履帶接地長度為5 m，寬0.25 m，采用下式計算不同行駛速度對應的對地加載速率：

(2)

式中:P為加載速率(kPa/s)；v為車輛行駛速度(m/s)；l為履帶接地長度(m)。

計算結果如表1所示：

表1 M4坦克行駛速度、加載速率對比

以表1中四種行駛速度所對應的平板加載速率為例，在2.1節建模的基礎上，分別設置不同的加載速率，得到p1～p4四種加載速率下的土壤壓力沉陷關系曲線，如圖3所示。圖3上還有準靜態加載時的土壤壓力沉陷曲線。

從圖3可以看出，首先四種加載速率下得到的土壤壓力沉陷曲線均與準靜態加載時的土壤壓力沉陷曲線存在明顯差異，與1.4節得到的結果一致。其次，動態加載條件下，四種加載速率之間的土壤壓力沉陷關系也存在不同。沉陷量相同時，土壤的承載力隨著加載速率的提高而增大，在土壤進入塑性變形區開始階段尤為明顯。

3 土壤壓力沉陷關系Prony指數函數擬合

上節通過對動態加載條件下土壤壓力沉陷關系與準靜態加載條件下土壤壓力沉陷關系的對比，得出加載速率是影響土壤壓力沉陷關系的重要因素，并且經典土壤壓力沉陷擬合模型對動態加載條件下的土壤壓力沉陷關系具有較大誤差。因此，本節將從數值逼近的角度采用Prony指數型函數逼近方法對土壤壓力沉陷關系進行擬合。

3.1 Prony指數型函數逼近方法

Prony法是以構造形如式2的指數型函數為目的的一種非線性數值逼近算法[15]。

(2)

其中：A，s為待定參數，e為自然底數，t為自變量，f為函數。

Prony法的主要原理為：令t=iT,使得式3成立。

f(iT)=fi，i=0,1,…,2n-1

(3)

其中：T為步長，{fi}為給定型值。

定義變量zj、αi，且分別滿足如下兩式：

zj=esjT,j=1,…，n

(4)

(5)

聯立式(2)、(3)、(4)可得：

(6)

由式(5)、(6)可得：

k=0,1,…,n-1

(7)

由于αn=1，可將式(7)寫為：

(8)

從而求出αi(i=0,1,…,n-1)。然后依據式(5)求解袋代數方程：

zn+αn-1zn-1+…+α1z+α0=0

(9)

得到n個根z1,z2,…,zn。最后按照式(10):

(10)

求解指數sj，再由式(6)求解系數Aj。

3.2 土壤壓力沉陷關系擬合

當n=2時，Prony指數型函數等價于下式：

P=aebz+cedz

(11)

其中：P為土壤承受壓力，z為沉陷量，a、b、c、d為常數。

采用式(11)對圖3中不同加載速率下得到的土壤壓力沉陷曲線進行擬合，擬合結果如表2所示。

表2 土壤壓力沉陷曲線指數函數擬合參數

從表2可以看出，Prony指數型函數對不同加載速率下的土壤壓力沉陷特性曲線均具有很好的擬合效果。其擬合精度R2最低為0.988。

以加載速率p1為例，分別采用Prony指數型函數和Bernstein方程對土壤壓力沉陷關系進行擬合。擬合結果如圖4所示。

由圖4可以看出Prony指數函數對動態加載條件下的土壤壓力沉陷關系擬合精度明顯高于Bernstein方程。對其他加載速率下的土壤壓力沉陷關系進行擬合，也能取得類似的結果。

如圖5所示為準靜態加載條件下上述兩種擬合結果。

從圖5中可得，Prony指數函數與Bernstein方程對準靜態加載時的土壤壓力沉陷關系均有良好的擬合效果，Prony指數函數擬合精度有進一步的提高。

綜上所述，Prony指數函數對準靜態和動態加載條件下的土壤壓力沉陷關系均能取得較高的擬合精度。

3.3 Prony指數函數試驗驗證

Wills BDM[16]在濕黏土中采用尺寸分別為0.050 8×0.304 8、0.076 2×0.407 5、0.101 6×0.609 6 m的矩形平板進行土壤壓力沉陷試驗，并得到土壤壓力沉陷試驗數據。俄羅斯學者Modest Lyasko[5]引用其試驗結果分別采用bekker模型、LSA模型、Kacigin-Guskeo[17]提出來的Kacigin-Guskeo函數進行擬合分析。在此基礎上，采用Prony法對上述濕黏土壓力沉陷試驗數據擬合，得到壓力沉陷曲線如圖6所示。

如圖6(a)所示，采用Prony指數函數對三種尺寸矩形載荷板的壓力沉陷數據進行擬合，按照載荷板尺寸由小到大，其決定系數R2分別為0.996 6、0.999 7、0.999 4，試驗驗證表明土壤壓力沉陷實測結果與采用Prony法模擬的結果一致。與圖6(b)中各模型擬合結果相比，雙指數模型具有更好的擬合效果。

注：圖(a)中●為0.101 6×0.609 6 m試驗值、◆為0.076 2×0.407 5 m試驗值、■為0.050 8×0.304 8 m寸試驗值

4 結論

1) 基于有限元仿真方法，分析了加載速率對土壤壓力沉陷特性關系的影響。發現動態加載時的土壤壓力沉陷特性與準靜態加載時存在明顯差異。不同加載速率對土壤的壓力沉陷特性也存在影響，同一沉陷深度時土壤的承載力隨加載速率的提高而增大。

2) 以Bernstein方程為例，分析了加載速率對經典模型對土壤壓力沉陷特性擬合效果的影響。Bernstein方程對準靜態加載條件下的土壤壓力沉陷關系擬合效果較好，對動態加載條件下的土壤壓力沉陷關系擬合誤差較大。

3) 從數值逼近的角度對土壤壓力沉陷關系進行擬合，發現Prony指數型函數對不同加載速率下的土壤壓力沉陷關系均具有較好的擬合效果。