向量優(yōu)化問題的一類非線性標量化定理

太原科技大學應科學院數(shù)學系 王玉鵬

在廣泛的數(shù)學中，向量優(yōu)化屬于較為重要的規(guī)劃分支。目前對向量優(yōu)化進行研究的重要課題為向量值目標函數(shù)轉變成為數(shù)值函數(shù)標量化技巧，其中，在對偶、數(shù)值計算等方面應用標量化方法有著至關重要的作用。分析研究線性標量化的方法中，與其等價以及凸集分離定理的“擇一定理”有著重要的作用。為此，在一般情況下，需要要求問題目標的約束函以及函數(shù)均滿足凸性條件，但是因過多的實際問題導致不能夠滿足凸性條件的假設，因此大多數(shù)學者從一開始就找尋性質較好非線性標量化函數(shù)，方便給出最理想的向量優(yōu)化問題的非線性標量化結果。其中，非線性標量化函數(shù)如下：△函數(shù)和Minkowski型的Gerstewitz泛函。分析性質較好為Gerstewitz泛函，在條件許可下，能夠單調遞增、次可加、正齊次、連續(xù)的，為此，在一般情況下大多數(shù)學者在對向量優(yōu)化問題的對偶以及近似解等進行研究時，均采用Gerstewitz泛函。目前，在向量優(yōu)化理論研究中，向量優(yōu)化問題的近似解已經成為研究的重點，主要源于如下方面：（1）在非緊性條件下，即為弱，可有效一般不存在，而近似（弱）有效解在較弱的條件下可能存在；（2）在計算的過程中，應用數(shù)值算法在一般的情況下產生是優(yōu)化問題的近似解；（3）優(yōu)化模型的建立通常是在對實際問題作出簡化假設的基礎上建立的，模型反映現(xiàn)實問題一般有誤差。由此可見，從理論以及應用的角度，對向量優(yōu)化問題的近似解研究均為有意義的存在。

根據有關資料證實，是學者Loridan以及Kutateladze提出了向量優(yōu)化問題的近似解概念，隨即White又提出了6種E有效解的概念。現(xiàn)如今，Gutierrez等學者將利用co-radient集定義了向量優(yōu)化問題的（G￡）——（弱）有效解的概念，同時對相關性質進行了研究。利用Gerstewitz泛函通過非線性標量化方法建立了（GE）一弱有效解的一個必要條件。由上述可見，在以往研究的過程中，有諸多學者發(fā)現(xiàn)了許多近似解都是它特殊的情況。

為了更好地分析和研究Minkowski型Gerstewitz泛函在向量優(yōu)化中的應用概念，進行如下報道。

一、預備知識

設x，y是實拓撲線性空間，集合A c y非空。A拓撲的內部、拓撲閉包和拓撲邊界分別記為int（A），cl（A），bd（A）。若≠A≠Y，稱集合A是真的；如果對任意的d∈A，a＞1，都有ad∈A，則稱A是co-radiant集合；如果存在q∈A使得ag+（1-Q）y∈A，Vy∈A，Va∈（0，1），則稱A是星形的，且將A中滿足上面式子的所有a組成的集合記為kern（A）。記A（ε）=εAA（0）=Uε＞0A（ε）。

據Guti6rrez等學者對星形真co-radiant集提出的性質，得出如下均論：

引理1.1 設Ccy是星形的真co-radiant集，而且int（kernC）≠0，則C具備如下性質：

根據有關資料引理得知：

故只需證明ε=0的情形。再由d的任意性即證得式：cl（C（0））+R++qCint（C（0））（kernC）。

因q∈int（kern（C）），則存在零鄰域V0，使得（kern（C））。

對任意的d∈cl（C（o）），t＞0。因d∈cl（C（o）），則存在網{da}∈c（o），使得limada=d。

再由d的任意性即證得式（1.2）。

接下來證明：

因q∈int（kern（C）），則存在零鄰域V0，使得（kern（C））。

對任意的d∈cl（C（o）），t＞0。因d∈cl（C（o）），則存在網，使得limada=d。

此時對于零鄰域V0和t＞0，存在ao，使得對任意的a≥ao，有d-da∈tV0，從而a+1/t（d-da）int（kern（C））。于是由式（1、2）知，對任意的a≥ao，d+tq=da+t（q+1/t（d-da））∈int（C（0））。

再由d和t的任意性即證得（1.3）式。

注1.1（i）引理1.1是對文[11]中引理5.2的進一步完善。

（P）min，f（ㄨ）

s.t.ㄨ∈ S。

其中，：X—Y，g≠S c

Y。

定義1.1 設ε≥0，X拔∈S。

（i）如果

（f，（X拔）一C（ε））n f（s）C{，（X拔）），

則稱X拔是問題（P）的（c，ε）-有效解。（P）的所有（c，ε）一有效解構成的集合AE（f，C，ε）。

（ii）如果

（f（X 拔）-intC（ε））n，（S）=0，

則稱X拔是問題（P）的（c，ε）一弱有效解。（P）的所有（c，ε）一弱有效解構成的集合記為WAE（f，C，ε）。對于數(shù)值優(yōu)化問題

（SP）minψ（X），

（i）若

則稱X拔是問題（SP）的嚴格ε-最優(yōu)解。（SP）的嚴格ε-最優(yōu)解集記為AMin（ψ，0）。

（ii）若

ψ（z）＞ψ（X拔）-0，Vz∈z＼{X拔），

GSpfert等人考慮了如下形式的Minkowski型Gerstewitz泛函。

其中，0≠G c Y，q∈Y。

引理1.2設G c Y是一個真的、具有非空內部的集合，q∈Y滿足

cl（G）+R++gc int（G）

由引理1.1可知，當C c Y是星形的真co-radiant集，且in（tkernC）≠0時，則有

cl（C（e））+R++gCint（C（e）），Vq ∈ kern（C），ε≥0

由此，利用引理1.2的結果，可以直接得到關于星形真coradiant集的如下分離性質。

引理1.3設C c

Y是星形的真co-radiant集，且in（tkernC）≠g。取q∈in（tkernC），則

利用上述非線性標量化函數(shù)類，我們對向量優(yōu)化問題（P）考慮如下相應的標量化問題：

其中y∈Y，q∈int（kern（C）），￡≥0。

注1.2當C是星形co-radiant集且q∈int（kren（C））時，對任意的E≥0，條件“cl（c（E））+++q∈int（C（e））”成立，且有q，cl（c（（·）=口，G（。）（·）。所以，本文是在星形條件下利用Gerstewitz泛函‰，G忙）通過非線性標量化方法研究I；-J J題（P）的（C，ε）。（弱）有效解的等價性刻畫。而文f[11]考慮的是E＞o時問題（P）的（C，ε）一弱有效解的必要條件，故本文是對文[11]的進一步改進與完善。

考慮向量優(yōu)化問題：

2（C，ε）-（弱）有效解的刻畫

首先，估計出其對應的非線性標量化函數(shù)φq，c（ε）在零點處的值。引理2.1設CcY是星形的真co-radiant集，且int（kernC）≠0。取q∈int（kernC），則

（i）當 ε＞o時，φq，c（ε）（0）=ε·φq，c（ε）（0）∈[0，ε）；

（ii）當 ε=0 時，φq，c（ε）（0）=0。

證明（i）當ε＞0時，有

下面只需證明：φq，c（0）∈[0，1），

（ii）當ε=0時，因C是真co-radiant集且q∈int（kernC）C，故 φq，c（ε）（0）=inf{t：tqε（o）}=inf{t：tq ∈ UεC）=o

現(xiàn)在證明式，（f（s）-，f（X拔））n（-（c（ε）））c{o}。

（ii）定理在C是星形真co-raHiant集且q∈int（kren（C））的條件下，利用Gerstewitz泛函q1C（ε）通過非線性標量化方法給出了問題（P）的（C，ε）。弱有效解的等價性刻畫，并說明了標量化問題（SP。^Ⅳ）的嚴格最優(yōu)近似解是問題（P）的（C，￡）一有效解。這里需說明，當C是不含零點的閉集時，問題（SPqey）的嚴格最優(yōu)近似解可以刻畫問題（P）的（C，ε）一有效解，即蠆X拔εAE（f，C，ε）X拔∈SAMin（q，C（ε），f（X 拔 of，β）），ε＞0

總之，在本次研究中，將證實最大嚴格單調函數(shù)的廣泛應用前景以及重要性。并圍繞Gerstewitz泛函與最大嚴格單調函數(shù)進行深入的研究和探討，希望開拓新的內容，建立新結果。