優(yōu)化算法在金融投資組合問題中的應(yīng)用及比較研究

李 蒙

（渭南師范學(xué)院，陜西 渭南 714000）

一、Markowitz均值-方差模型

投資組合是研究如何配置各種不同的金融資產(chǎn)，實現(xiàn)資產(chǎn)組合的最佳投資配置。1952年Markowitz提出均值-方差模型，這一模型旨在尋找一個具有較高收益和較低風(fēng)險的最佳投資組合方法，之后人們根據(jù)市場信息和投資者的行為，對該模型進行了各種改進。

現(xiàn)在我們的目的不在于研究模型的有效性與精準性，而在于將最優(yōu)化理論中所學(xué)的優(yōu)化方法運用于實際問題，通過實際編程計算來理解體會各種算法的優(yōu)缺點和算法的有效性。所以在此我們選擇最基本的均值-方差模型，即M-V模型。

M-V模型

在Markowitz的投資組合理論中，用資產(chǎn)收益率的平均值作為資產(chǎn)的期望收益率度量指標，用資產(chǎn)收益率的方差作為投資組合的風(fēng)險度量指標。Markowitz均值-方差模型是經(jīng)典的帶約束二次優(yōu)化問題，在給定期望收益時，方差最小解唯一（可行解域為凸）。

二、求解算法

（一）二次規(guī)劃問題（Quadratic Programming,QP）

帶不等式約束的二次規(guī)劃問題，即

其中H,A,Aeq是矩陣，且H為n階對稱矩陣，f,b,beq,lb,ub,x是列向量。當H是半正定矩陣，（2）為凸二次規(guī)劃，否則為非凸規(guī)劃。對于凸二次規(guī)劃，目標函數(shù)q(x)是一個凸函數(shù)。若有至少一個向量x滿足約束條件且q(x)在可行域有下界，二次規(guī)劃問題就有全局最小解。當H是正定矩陣，（2）為嚴格凸二次規(guī)劃，此時全局最優(yōu)解若存在，則其必唯一。上述二次規(guī)劃問題通過matlab中的quadprog函數(shù)即可求解，即

（二）遺傳算法

遺傳算法（Genetic Algorithm,GA）是模擬生物界自然選擇和群體“適者生存”、“優(yōu)勝劣汰”的進化機制形成的一種全局尋優(yōu)算法。將每個可能的問題解表示成“染色體”，從而得到一個由染色體組成的“群體”，這個群體被限制在問題特定的環(huán)境里，根據(jù)預(yù)定的目標函數(shù)對每個個體進行評價，得到個體適應(yīng)度值。對生存環(huán)境適應(yīng)度更高的個體往往具有較高的生存概率。開始時總是隨機的產(chǎn)生一些個體，即候選解，利用遺傳算法對這些個體按“適者生存”的原則進行交叉組合產(chǎn)生后代，后代由于繼承了父代的一些優(yōu)良形狀，因而明顯優(yōu)于上一代，這樣“染色體”的群體將逐步朝著更優(yōu)解的方向進化。再結(jié)合物種進化過程中的基因突變等遺傳操作，就可能產(chǎn)生更適應(yīng)環(huán)境的后代。

遺傳算法主要由染色體編碼、初始種群設(shè)定、適應(yīng)度函數(shù)設(shè)定、遺傳操作（交叉、變異）設(shè)計等幾大部分所組成。編碼是指把實際問題的解結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)槿旧w結(jié)構(gòu)。常用的編碼方法有：二進制編碼、浮點數(shù)編碼、符號編碼等。選擇是指按照選擇概率和各個染色體的適應(yīng)度值，從當前種群中選出若干個適應(yīng)度更高的個體。適應(yīng)度決定了個體的生存能力，通常采用輪盤賭選擇或錦標賽選擇。交叉是指按照交叉概率和交叉策略把兩個染色體的部分基因進行交配重組，產(chǎn)生新的個體。交叉策略一般有單點交叉和多點交叉。變異是指按照變異概率和變異策略對染色體中的某些基因進行變異，這是遺傳算法產(chǎn)生新個體的另一種方法。例如，二進制編碼方式下，傳統(tǒng)的變異操作只是簡單地將基因的二進制取反，即將“0”變?yōu)椤?”、“1”變?yōu)椤?”。

（三）引理

在選擇算子前或選擇算子后保留最優(yōu)解的遺傳算法，能以概率1收斂到全局最優(yōu)解。

圖1 遺傳算法流程圖

遺傳算法的執(zhí)行步驟：

1.選擇編碼策略（二進制編碼），將問題搜索空間中每個可能的點用相應(yīng)的編碼策略表示出來，即形成染色體；

2.定義遺傳策略，包括種群規(guī)模N，交叉、變異方法，以及選擇概率Pr、交叉概率Pc、變異概率Pm等遺傳參數(shù)；

3.令迭代次數(shù)t=0，隨機選擇染色體初始化種群P(O)，定義適應(yīng)度函數(shù) f(f＞ 0)；

4.計算每個染色體的適應(yīng)度值；

5.通過選擇運算實現(xiàn)“適者生存”過程，選出較優(yōu)個體群；

6.對所選出的較優(yōu)染色體按概率pc進行交叉運算（單點交叉）；

7.對染色體中的基因，以概率Pm參與變異運算（依變異概率Pm指定變異點，對變異點進行取反運算），得到新一代種群P(t+1)；

8.判斷群體性能是否滿足預(yù)設(shè)定的終止標準，若不滿足，則返回（4）。

（三）數(shù)值實驗

我們選取的是滬深300指數(shù)中的十個成分股（蘇寧電器、上港集團、寶鋼股份、中國石化、中信證券、招商銀行、中國聯(lián)通、上海汽車、貴州茅臺、中國平安）從2009年1月5日至2009年6月4日100個交易日的收盤價（單位：元），數(shù)據(jù)來源于新浪財經(jīng)數(shù)據(jù)中心（附錄中表4）。

因為我們所有的數(shù)據(jù)是各股票的歷史收盤價，而實際中我們需要用到各股票的收益率（算術(shù)收益率），協(xié)方差等，所以先進行數(shù)據(jù)預(yù)處理，得到以下結(jié)果。

表1 股票的收益率均值

表2 股票的方差-協(xié)方差矩陣

對Markowitz均值-方差模型進行參數(shù)設(shè)定：r為表2中的收益率均值組成的向量，V為表3中的方差-協(xié)方差矩陣。N=10，即投資組合中共考慮十個金融資產(chǎn)。μ=0.0075，即考慮期望收益為0.0075。L=ones(1,10)，即一行十列的全一矩陣。U=zeros(1,10)，即一行十列的全零矩陣。

通過二次規(guī)劃算法、遺傳算法matlab編程求解、遺傳算法工具箱三種方法分別對上述Markowitz均值-方差模型進行求解，并對比分析求解結(jié)果。

表3 投資組合優(yōu)化模型3種方法計算結(jié)果

圖2 遺傳算法工具箱求解界面

圖3 遺傳算法迭代過程函數(shù)

四、三種算法結(jié)果的比較

二次規(guī)劃算法（QP）收斂速度較快，且其收斂速度與初值選取有關(guān)，投資分散性不是很好。遺傳算法在全局搜索方面性能優(yōu)異，但局部搜索能力不足，使得后期收斂速度較慢，其投資分散性較QP好一些。因此，遺傳算法對于金融投資組合問題的求解更加快捷、簡便、有效，但是鑒于實際中，我們模型中的值并不大，所以該問題的復(fù)雜度也大大降低，遺傳算法和二次規(guī)劃算法對于該問題的有效性并沒有太大區(qū)別。所以，當考慮投資的股票范圍不大時，二次規(guī)劃算法和遺傳算法均能提供有效的投資組合建議。