中學數學解題策略的探索與體會

江蘇省新沂市實驗學校 高騮娜

一般地說，對于人類的復雜行為的心理研究，首先要考慮的是策略的產生與應用這個關系全局的問題。策略對于解決問題的重要意義已越來越受到人們廣泛的關注，關于策略的研究與運用，也越來越深入地滲透到現代人類活動的各個領域，“策略學”“謀略學”的理論體系正在形成。筆者著重討論初中數學解題策略的問題。

一、研究中學數學解題策略的可行性

從整體上看，解題策略的產生是直覺思維起主導作用。直覺思維的特點是非邏輯性與自發性，往往表現為邏輯程序的高度簡約與跳躍，自發地、突然地對整個問題的解決途徑產生的一種“頓悟”。由于當前腦科學的發展水平，我們還難以對直覺思維的心理機制作出完全科學的解釋。目前國內外關于這方面的理論闡述，都是通過思維輸入、輸出的宏觀分析，對人腦中的“黑箱”所作的主觀性很強的判斷，從而使得對數學解題策略的探索的心理機制帶有不可捉摸的神秘色彩，造成數學解題策略在數學教育界未能引起足夠的重視。事實上，學生數學能力可以通過解題策略技能訓練而得到提高。當前，國際數學教育界關于“問題解決”的訓練研究已取得了可喜的成效。在我國經濟高速發展的現代，我們要結合實際，深入開展并進一步加強數學解題策略這一課題的研究。

二、幾種常見的具體的解題策略

1.整體考慮方法的解題策略。

在審題階段，即形成對問題的整體的概約的表象，從全局的觀點把握條件與結論的聯系，跳越常規步驟，使問題簡潔明快得到解決。我們稱它為整體考慮的策略，這是數學觀念與系統論中整體思想原則在解題方法中的表現。

2.考慮到一切可能的解題策略。

有的數學問題，其外延的種種可能是可以枚舉的，而一時又無法將其中的大部分或一部分用邏輯的方法加以排除，就必須考慮其一切可能。用邏輯劃分的思想把我們感興趣的討論劃分為兩兩互斥的子域，通過利用各種策略如完全歸納法、反證法中的枚舉法、分域討論法，實現分解目標的逐步達成。值得注意的是，有些問題整體上未必使用此策略，而在局部的中間過程總離不開它，所以“考慮到一切可能”是一種重要的策略原則。在邏輯劃分時，要確定一個明確的劃分標準，使劃分不重、不漏。

3.運用正反相輔方法的解題策略。

如在解決有關變元的問題時，人們有時會一籌莫展，而常量與變量，已知與未知的換位，可收到“立竿見影”的效果。這充分體現了正與反相輔助的策略思想。

4.運用尋找中途點的解題策略。

對于比較復雜的數學問題，不能或很難直接解答的，可通過找中途點的方法。中途點的確定，常用“綜合——分析”法進行探索。一方面由已知條件往下推，由因導果；一方面從結論往上找，執果索因。在下推上找的過程中，一般應能逐步地形成一條由中途點序列組成的由已知通往結論的通路。

因此，我們可以看出，尋找中途點是否成功和繁簡程度，取決于以下三點：(1)主體S的認知結構中必須儲備有直線方程的各種不同形式，并明確知道各參數的意義；(2)經過審題，特別是對已知信息的辨別，主體要聯想各種形式的直線方程，并合理地選擇、提取出來，使之處于工作狀態；(3)主體必須有強烈的減少以至消除方程中不定參數的目的意識，以合理地確定中途點。

對于比較困難的問題，適當地設置輔助定理、引理也是中途點策略的表現形式。無論采取哪種形式，都要防止以偏概全的毛病。

5.運用化歸思想的解題策略。

運用化歸解題策略，需要注意歸納、類比、聯想在化歸中的作用。

在中學數學中，把復雜的題目簡化為相對較為簡單的題目，都是這種化歸策略的應用。通過實例可初步認識到，在應用化歸策略時，聯想是最重要的發現化歸方向的思維方式。聯想因素產生于觀察，對數學以及關系結構的分析與探究，以它作為出發點，通過縱橫聯系、因果關系的分析與想象，接通聯想線路，進行多方向、多層次的發散性的輸出，再通過目標控制或實踐決定取舍。因此，我們應強化目標意識，致力于審視、聯系和想象，而對復雜的問題還需與歸納、類比、直覺等思維形式相互結合，才能比較順利地產生聯想因素，接通確定聯想線路，取得聯想效果，實現化歸的目的。

通過具體例子可以看出，找出處理問題一般原型，只是為解決問題打開了一條途徑，要最終解決問題，還必須由一般原型的研究轉化為具體問題的解，這是特殊化歸，所以在解決問題時，“特殊”要同“一般”相互結合。

數學教學重在培養能力，能力的培養要靠解題來實現，而解題要有策略方法。因此，我們研究數學解題策略是有現實意義的。那種不講方法策略而盲目地教學，是很難取得成效的，更不能培養學生的數學能力。當然，方法策略是建立在具體解題之上的，它是經驗和教訓的總結。也就是說，方法策略來之于實踐，又用之于實踐。