一種基于多距離約束的高精度組網方法

趙子越，甘曉川，馬驪群

（中國航空工業集團公司北京長城計量測試技術研究所，北京 100095）

0 引言

在航空航天等大型裝配制造領域，數字化測量技術逐步融入到自動化生產線中，并成為控制產品質量的重要手段[1]。其中，制造業現場條件下測量任務的多樣性、測量精度的高需求及測量范圍的需求，使得傳統的大尺寸單一參數的測量或者是由單一站位組網的測量網絡難以滿足測量精度和范圍的要求，需要采用一種多站位或多移動站位的組網方法[2,3]。在滿足測量范圍和測量效率的前提下，盡可能的提高測量精度，是滿足現場復雜測量任務需求的手段[4]。因此，高精度的組網方法成為近年來大尺寸測量的熱點問題，并在大型飛機制造、數字化造船、智能裝配等領域獲得廣泛關注[5,6]。目前，大尺寸距離測量可以達到較高精度，目前AT901-B激光跟蹤儀干涉測距精度可達到±0.5um/m[7]，采用多個距離觀測量進行優化解算是研究高精度組網問題的一個思路。在國外，德國的Etalom公司開發了LaserTracer-NG激光跟蹤干涉測量系統，采用4-5站位激光干涉儀組網測量，可以達到9m測量范圍內0.2um+0.3um/m的精度，是目前文獻可參考的最高精度，目前該技術受國外壟斷[8]。在國內，解放軍工程大學的范百興教授研究了多站位激光跟蹤儀的組網方法，在現場獲得了應用[9]；天津大學的邾繼貴教授團隊研究了空間測量定位系統的組網方法，達到了亞毫米的精度[10,11]。

測量精度是衡量組網性能的重要指標，是能否順利應用到制造業中的關鍵，高精度的組網方法是作為關鍵技術得以重點研究[12]。本文研究了一種基于多距離約束的高精度組網算法，采用多個距離測量站位對空間中多個測量點進行距離測量，利用多個高精度距離值的約束進行優化求解完成高精度組網。首先，介紹了組網的基本原理和數學模型，在此基礎上利用多個距離約束構建約束方程，并根據距離觀測量的不確定度對每個方程進行加權處理，采用Levenberg-Marquardt算法進行最優化求解，為保證迭代過程設計了合理的迭代初值求解方法。最終通過實驗驗證了組網方法的精度，并在工業現場中得到廣泛應用。

1 數學模型

1.1 算法基本原理

基于多距離約束的組網方法的實現途徑是，空間內有m個可進行距離單一參量測量的測量站，具備n個空間測量點，觀測量為每個測量點距離每個測站的距離。記第i（i=1，2，…，m）個測量站觀測到的第j（j=1，2，…，n）個測量點的距離觀測量為Lij。原理示意圖如圖1所示。

圖1 基于多距離約束的組網方法原理示意圖

因此，可以列以下觀測方程：

其誤差方程可以表示為：

式中，(xj，yj，zj)表示第j個測量點的全局坐標系下坐標，(txi，tyi，tzj)表示第i的測量站位的位置，均屬于未知參數。若m個測量站均可對n個測量點進行測量完成組網，考慮到未知參數不包括測量站位的旋轉參數何尺度因子，整個網絡中的未知參數個數k可以表示為：

每測量一個距離值均可列寫一個觀測返程，因此組網方程組中方程的個數k0可表示為：

若方程組可解，要求方程個數大于未知參數個數，可得：

進一步可得，測量站位數m和測量點位數n滿足以下條件：

式中，m，n均未正整數，因此測量站位數和測量點位數均最小為4個，m和n最小的取值對應關系如表1所示。

表1 測量站位數m和測量點位數n的對應關系

從表1中可以看出，若使方程可解，測量站位數最少為4個，同時定向點數最少為12個，隨著測量戰術增加，所需的測量點數可以減少，但是無論測量站位數如何增加，測量點數最少不能少于4個。為保證組網精度，應盡可能多的布置測量點位。

考慮到距離觀測量的不確定度隨著距離增加而增加，例如激光跟蹤儀AT901-B的干涉測距精度可達±0.5um/m，因此可以根據距離的觀測量值給每個方程進行加權處理，從而提高約束效率。方程(2)乘上權值可以表達為：

權值wij的大小與觀測量Lij的不確定度uij有關，可以表示為：

因此，觀測量Lij的不確定度uij越小，約束方程fij的約束就越強，權值wij就越大；反之，觀測量Lij的不確定度uij越大，約束方程fij的約束就越弱，權值wij就越小。

1.2 最優化求解方法

方程(7)為二次方程，一般來講求解這樣的方程組往往比較困難。所以在解的存在性尚未確定的情況下來求解，常常將其轉化為二次泛函形式。記由方程(7)組成的方程組f=0，取函數：

函數φ的極小點即為方程組的最小二乘解，可采用多種非線性優化方法求解[13]。其中Levenberg-Marquardt法是介于牛頓法與梯度下降法之間的一種非線性優化方法，它是利用梯度求最大（最小）值的算法，屬于“爬山”法的一種，該算法魯棒性好，對于過參數化問題不敏感，能有效處理冗余參數問題，使代價函數陷入局部極小值的機會大大減小[14,15]。因此，本文采用Levenberg-Marquardt法求解多距離約束組網問題。

1.3 迭代初值求解

Levenberg-Marquardt算法是一種迭代優化算法，在優化前需要給出合理的迭代初值，且為避免優化陷入局部最優值，要求迭代初值盡量準確，應充分接近全局極值點[16]。因而，迭代初值求解問題是多距離約束組網算法求解的關鍵問題。

基于多距離約束的測量系統坐標系的建立類似于GPS的定位過程，可以將4臺或多于4臺距離測量站位看作是相應數目的衛星，只是測距的方式是激光干涉測距。因此，基于多距離約束的測量系統系統的坐標解算可以借鑒GPS定位的方法[17,18]。本文為闡述方法，以4站為例進行說明。

基于多距離約束的組網問題中距離觀測方程可寫為：

其中：ρi為待求取的點到第i站位的距離，為已知量，i=1，2，3，4；

xi，yi，zi分別為第i站位的位置坐標，為已知量，i=1，2，3，4；

xu，yu，zu為待求取的坐標，為未知量。

式(10)是個非線性方程，其經典解法是利用微分將非線性的偽距方程線性化。求解過程涉及大量的偏導和迭代計算。而Bancroft算法的核心思想是用巧妙的變量替換，將多維非線性方程組轉化為一元二次方程。這樣就不需要再做迭代和求偏導的運算了。下面給出詳細說明利用Bancroft算法來求解距離方程(11)。

首先做如下代換：

代入式(11)，得：

再令：

代入式(13)，得：

后式減去前式，得：

用矩陣形式表示為：

記：

將a，b，c用d來表示，則有：

令：

可以得到：

將上式代入方程a2+b2+c2=d2，得到：

令：

式(22)的解為：

于是，可得到：

共得到兩組解，也就是未知點的坐標，其中一組是不符合要求的，需要舍去。

2 實驗驗證

為驗證組網算法的正確性和精度，在實驗室條件下設計了驗證實驗。實驗中距離傳感單元采用激光跟蹤儀來代替，型號為AT901-B，為節約成本，采用激光跟蹤儀多次移動站位完成測量，精度驗證結果采用一維標準器和正四面體標準器的比對結果給出。實驗現場如圖2所示。

圖2 實驗現場圖

2.1 一維標準器比對實驗

一維標準器是一種現場常用的驗證標準器，采用線膨脹系數較小的殷鋼材料制成，兩端具備可測量點位，且兩點間的距離精確已知；并附帶調姿裝置，能有效保證現場條件下姿態和位置可調。在10m×10m×2m的被測空間內，布置12組一維標準器，且一維標準器的標準長度已知。為達到綜合驗證的目的，一維標準器的方向多樣化（水平、豎直方向均布置）。采用5個站位移動激光跟蹤儀，測量每個站位到一維標準器兩端測量點的距離，以此為觀測量通過上文的組網方法完成組網求解，可得到24個點位坐標。將對應點位求距離，并與一維標準器的標準值做差值，以此誤差作為組網評定的標準。實驗數據如圖3所示。

圖3 一維標準器的比對誤差

由圖可知，橫軸代表一維標準器的個數，縱軸代表比對誤差，單位為um。經過對比可知，最大誤差為2.9um，最小誤差為-2.8um，全部誤差均在±3um以內。可得，基于多距離約束的組網方法距離誤差優于±3um。

2.2 正四面體標準器比對實驗

表2 正四面體標準器的坐標比對結果

為進一步驗證基于多距離約束的組網方法的坐標測量精度，采用正四面體標準器進行比對。正四面體標準器由4個坐標已知的目標點組成，所有目標點由殷鋼桿連接，因此4個目標點的坐標具備極高的穩定性，可采用坐標差值的對比來評價組網精度的優劣。同樣采用激光跟蹤儀移動5次站位，按照上文中闡述的方法完成組網，組網完成后可得到正四面體標準器的4個目標點在測量坐標系下的坐標，將其轉換到正四面體坐標系下進行求差比對，得到結果如表2所示。

在表2中，dX、dY、dZ分別代表X軸、Y軸、Z軸的偏差值，dMag代表坐標偏離值，可由下式計算：

由結果可得，單一坐標軸的偏差X和Y軸均在±2um以內，Z軸在±1um以內，dMag值在6um以內。

另外，以上兩組驗證實驗的結果多次在實驗室條件下完成驗證，具備一定的穩定性。

3 結論

本文介紹了一種基于多距離約束的高精度組網方法，詳細闡述了組網方法的數學模型，在合理構建約束方程的前提下，采用了Levenberg-Marquardt最優化方法完成求解，同時給出了精確的迭代初值獲取方法，最后在實驗室條件上進行了實驗驗證，實驗結果表明，與一維標準器比對的距離測量精度優于±3um，與正四面體標準器比對的坐標測量精度優于6um，滿足制造業中數字化測量的要求。另外，測量站位的布局也是影響測量精度的重要因素，未來可以開展相關技術研究，以適應制造業的快速發展。