癌細胞擴散和治療的預測及分析

李茂生

【摘 要】

癌細胞是一種變異的細胞，是產生癌癥的病源，癌細胞與正常細胞不同，有無限增殖、可轉化和易轉移三大特點，能夠無限增殖并破壞正常的細胞組織。研究癌細胞的擴散與治療對于臨床醫學具有非常重要的意義。本文將Logistic模型引入到癌細胞生長的研究中，并建立了癌細胞在生長環境約束下數量增長的數學模型，同時還進行了定量的分析。此外，本文還考慮了癌細胞與正常細胞的種群競爭關系，基于Lotka-Volterra模型分析了癌細胞與正常細胞生長的變化趨勢，為臨床實驗提供了理論的指導。

【關鍵詞】 癌細胞擴散和治療；Logistic模型； Lotka-Volterra模型 多種群相互抑制

【中圖分類號】R249 【文獻標志碼】

B 【文章編號】1005-0019（2018）14-208-01

1 引言

癌癥是我們熟知的“危險殺手”之一。至今，科研者們的工作主要集中在臨床實驗上，而本文認為利用數學建模來洞悉癌細胞擴散從而達到及早發現及早治療的目的也不失為一種方法。如張鵬鴿等人在《腫瘤細胞的生長模型與預測治療》[1]中建立了腫瘤細胞的增長模型，并用Logistic模型得到了腫瘤細胞倍增次數的計算公式，就為臨床醫學的發展提供了強有力的工具。

首先，本文將建立癌細胞擴散和放射治療的微分方程模型，同時利用方程得到的數據，作出相應的癌細胞數量增長圖像，求出其增長模型。然后，在增長模型的基礎上利用Lotka-Volterra競爭模型了解癌細胞與正常細胞之間的競爭關系及其穩定點，最后制定合理的方案，以便達到早發現，早治療，對正常細胞危害少的目的。

2 考慮生長環境約束的Logistic模型

通常情況下，人們用癌細胞的數量或濃度來衡量癌癥的擴散程度[2]。假設x=x（t）是t時刻癌細胞的總數，單位時間內癌細胞數量的增長率與當時癌細胞的數量成正比，所以本文記比例系數為r。由于癌細胞的生長受環境的限制，本文用Logistic模型來描述癌細胞在組織內的生長：

（1）

其中，K為環境容納量，表示組織所能承受的最大細胞數量。其解析解為：

（2）

這里xo=x（0）是t=0是癌細胞的數量，即若估計出初始時刻癌細胞的數量，則能利用這個模型來正確計算出癌細胞數量隨時間的變化情況。

根據細胞分裂的知識，假設初始時刻的癌細胞的數量為No，那么t時刻癌細胞的數量就為：

（3）

其中k表示癌細胞分裂的次數。鑒于在臨床檢測中能檢測出來癌細胞的最小直徑為1cm，所以得到k約為30。不難得到，細胞倍增30次時細胞的數量大約是1011，代入（3）式可得N0=93。所以假定癌細胞的初始數量為93，r=1.005，再以胃癌細胞90d倍增一次的時間間隔，本文得到了如下圖表：

Logistic模型中癌細胞數量增長與天數的關系

參照圖表，當天數達到1680d左右時癌細胞數量有了明顯的增長，而后的1350d里，癌細胞的數量達到的非常驚人的程度。但由于加入了環境的限制，癌細胞不能無限的增長，于是，我們便得到了一條近似“S”型的曲線。根據可觀察到的癌細胞的大小，我們可以估計2160d至2520d的時間段內，進行癌細胞或腫瘤的檢查比較合適。再參考《腫瘤細胞的生長模型與預測治療》中利用加入權重的雙目標問題得到的解，本文建議癌癥患者每350d到醫院檢查一次。

3 考慮多種群相互抑制的Lotka-Volterra競爭模型

（4）

（5）

在（4）（5）中式中，x1（t）和x2（t）分別表示t時刻健康細胞的細胞濃度和癌細胞的細胞濃度；r1和r2分別是健康細胞和癌細胞的增長率；K1、K2的分別表示一定的環境對這兩種細胞的最大承載量，β1與β2分別是兩種細胞間的競爭系數。

以上兩式又可以改為如下形式

（6）

（7）

a11與a21分別表示兩種細胞的種內競爭系數，化簡可得a11=r1K1、a21=r2K2；a12、a22分別等于β1、β2。

易得，該微分方程有四個穩定點：

計算可得

由前人工作可知，當系數滿足一定的條件時，該方程有不同的解：

①時，方程的解將收斂于，即癌細胞和正常細胞的競爭最終趨向于平穩，兩種細胞的數量達到平衡，共同生存且都保持有一定的數量。

②時，方程的解將按不同的區域收斂與三個點，即兩種細胞中或有一方完全滅絕，或雙方相互共存。

而在沒有進行任何治療時，一般癌細胞總能在競爭中占據主導地位，即系統滿足條件K1β2

4 全文總結

本文利用Logistic模型得到了癌細胞數量增長隨時間變化的圖像，初步認識了癌細胞的潛伏期與暴增期的時間長短，并結合前人的工作與圖像得出的結論給出了癌癥檢查的合適時機；利用Lotka-Volterra模型分析了癌細胞與正常細胞的競爭關系與他們競爭的可能結果。通過對癌細胞數量暴漲期的分析，認為癌癥患者每350d左右檢查一次為最佳。參考兩種細胞的競爭模型，本文得到了競爭的四種可能結果，并分別給出了得到四種結果的條件，希望能對臨床的實驗起到一些輔助作用。本文的優點在于將數學模型與癌細胞的增長相結合，通過建立數學模型的方法來深入研究癌細胞生長和治療的狀況；但不足之處在于對于公式數據的取值還不夠精準，利用微分方程解決兩種細胞的競爭關系也沒有真正的實例。希望醫學學生和研究者能重視用微分方程建模研究一些疾病的方法。

參考文獻

[1] 劉子建.癌癥擴散和治療研究中的微分方程模型[J].科技視界，2016（21）：128.

[2] 張鵬鴿，朱佑彬，高淑萍.腫瘤細胞的生長模型與預測治療[J].山西醫科大學學報，2014，45（01）：20-22.