真北定向測量方法及其對比分析

門茂林，王智，薛慧艷，李勇，張洪德

(青島市勘察測繪研究院，山東 青島 266032)

1 引 言

測繪過程中遇到的北方向主要有三種，即坐標北、磁北以及真北，坐標北是地圖上縱向方格線指示的上方，即為測繪行業中X軸方向，可通過兩個點的高斯平面坐標進行反算得到坐標北方向，坐標北與真北的夾角為子午線收斂角，越靠近中央子午線，坐標北與真北方向越接近[1]；磁北是指南針所指示的北方向，并隨著時間的變化而變化，磁北與真北的夾角為磁偏角，根據最新的國際地磁場參考模型，我國除了新疆、西藏等地磁偏角為東偏，其余地方均為西偏；真北指的是地球的北極，即北緯90°或經圈交匯的地方，通過地球表面某點的真子午線的切線方向即為該點的真子午線方向，真子午線方向指向北極的方向稱作真北方向[2]，三北關系示意圖如圖1所示。

圖1 坐標北、磁北與真北關系圖

在某些工程領域需要定出真北方向，如機場和一些軍事設施的建設。在實際操作中，測定真北方向主要有兩種方法：一種是使用陀螺儀在基準點進行尋北測量，再進行儀器常數改正定出真北方向；另一種先定出基準點的坐標北方向，再計算子午線收斂角，從而定出真北方向。本文對這兩種方法做了對比分析，得出了一些有益的結論。

2 數學模型及實施

2.1 陀螺全站儀尋北定向測量

機械式陀螺儀是利用剛性物體在旋轉時盡量保持其旋轉軸和速度這一特性進行測量或控制方位，它由兩個可旋轉的框架和安裝在其上的轉子構成。轉子在高速旋轉時有著很高的轉動慣量。由于安裝了兩個可旋轉的框架，這樣使得旋轉軸可進行二維轉動，如果忽略地球的自轉，陀螺儀轉動時其轉軸會一直保持最初的空間姿態。當重力作用于轉軸并讓其保持水平時，地球的旋轉將對陀螺儀的轉軸產生一個扭矩。該扭矩作用于轉軸時，轉軸將會圍繞合力的垂直分力產生進動[3]。機械式陀螺儀就是利用穩定性和進動性找出真北方位。

陀螺全站儀是可以獨立測定真北方向的精密測量儀器，其基本的工作原理是利用最新的圖像處理技術進行讀數，隨后高精度馬達把儀器精確地轉到真北方向。如圖2所示是懸掛式陀螺儀結構組成圖。

圖2 懸掛式陀螺儀結構組成圖

利用陀螺儀進行尋北測量時，首先要在已知邊ab上標定儀器常數cg。

cg=Tab+γa-Aab

(1)

式中，Tab為已知邊的坐標方位角，γa為已知邊起點的子午線收斂角，Aab為陀螺儀測出已知邊的真北方位角。

然后在待定基準點M上進行陀螺尋北測量，具體尋北方法依據不同型號的陀螺儀進行選擇，如索佳GYRO懸掛式陀螺儀主要采用逆轉點法或中天法進行尋北測量，經兩次尋北定向精度優于15″?；鶞庶c尋北結束后，使用全站儀在定出的北方向上對之前測出的儀器常數進行改正：

A=AM+cg

(2)

通常情況下，儀器常數為幾十秒，改正后鎖緊儀器水平制動旋鈕或進行置零等操作，此時陀螺儀指示方向即為真北方向。在基準點的真北方向上的適當距離(如 100 m)處，使用木樁、鐵釘等工具進行實地標識，若對真北定向有較高精度要求，標志真北方向的距離應拉長，并采用盤左盤右取平均值，標志點應為清晰細小的十字絲或圓點等標記[4]。

2.2 坐標北加子午線收斂角改正定真北

子午線收斂角是地球橢球體面上一點的真子午線與位于此點所在投影帶中央子午線之間的夾角。即在高斯平面上的真子午線與坐標縱線的夾角，坐標縱線東偏為正，西偏為負。在投影帶的中央經線以東圖幅均為東偏，以西的圖幅均為西偏。對于不同的測站點，子午線收斂角具有不同的值。測站點與中央子午線的經差越大，緯度越高，子午線收斂角越大。

子午線收斂角可以用大地坐標計算，也可利用平面坐標計算，其計算公式分別如下[5]：

(3)

(4)

實際工程應用中，常用查表法或下列簡易公式進行計算：

γ=△λ·sinφ

(5)

式中，△λ為計算點與中央子午線之間的經度差，φ為計算點所在的緯度。實際計算表明，該簡易公式的計算誤差，隨著緯度φ的減小而增大，隨著經度差△λ的增大而增大[6]。

實際工程應用中，使用坐標方位角加子午線收斂角改正定真北可按如下方法進行：

(1)使用GNSS接收機通過采用當地的CORS系統等手段多測回測定待定基準點M的平面坐標(xM，yM)，在M點的大致北方向且距點M足夠遠的點N使用同樣方法測量該點的平面坐標(xN，yN)。

(2)計算MN的坐標方位角TMN：

(6)

(3)根據查表法或者式(5)計算點M的子午線收斂角γM。

(4)在點M架設全站儀，精密對中整平后，后視點N并置零，然后水平讀盤撥動角度TMN+γM，該方向即為真北方向，并通過前文所述方法在實地進行標識。

3 精度分析

3.1 陀螺儀定北精度分析

通過前文所述，利用陀螺全站儀進行真北定向的誤差來源主要包括：

(1)陀螺全站儀自身尋北定向精度m陀螺

陀螺儀由于價格昂貴，作業時間長，且對作業環境要求高，目前仍未普及使用，目前陀螺儀尋北精度最高可達3″，常見的陀螺儀尋北精度一般為5″～20″。

(2)陀螺儀常數測定精度

根據上文式(1)，該項誤差源具體包括已知邊的坐標方位角精度mT、已知邊起算點的子午線收斂角精度mγ以及在已知邊的陀螺儀定向精度m陀螺。其中已知邊坐標方位角的精度取決于已知邊兩個點的坐標精度及邊長的長度，若在兩個相距較遠的高精度控制點進行儀器常數測定，則已知邊的坐標方位角誤差mT可忽略不計；已知邊起算點的子午線收斂角可通過式(5)或者查表法求得，其精度也取決于已知邊基準點坐標的精度；已知邊的陀螺儀定向精度m陀螺同陀螺儀自身尋北定向精度。

(3)定出真北方向后的實地標定精度m標定

該項精度主要與全站儀測角精度以及實地標定與基準點的距離有關，目前1″及0.5″級的全站儀已普遍使用，因此其對真北定向精度的影響遠小于陀螺儀本身尋北精度的影響，實地標定與基準點距離越遠，標定標志越精細，標定精度越高。

根據上文分析及誤差傳播定律，采用陀螺儀進行真北定向的精度為：

(7)

假若采用的陀螺儀的尋北精度為10″，在相距較遠的兩個高精度控制點上mT和mγ均可忽略不計，若標定時采用1″級全站儀，并顧及標定距離及標記標志精度的影響，m標定以2″計，則根據式(7)，采用陀螺儀進行真北定向的精度為14.3″。

3.2 坐標北改正子午線收斂角定北精度分析

利用坐標北加子午線收斂角改正進行真北定向的誤差源主要包括利用邊MN的坐標方位角精度mT-MN以及基準點mT-MN處子午線收斂角精度，與陀螺儀在已知邊測定儀器常數不同，該方法中的M和N需要用儀器測定，而不是已知高等級控制點。

在周邊無控制點可利用的情況下，宜采用GNSS接收機利用CORS進行坐標測定，以青島CORS平面精度 1 cm為例計算，距離 300 m處的兩點坐標方位角誤差為：

(8)

考慮到地球平均曲率半徑上，1″對應的實地距離約為 40 m，坐標 1 cm的誤差對應的經緯度誤差不到0.0003″，根據式(5)基準點子午線的誤差可忽略不計。估計實地標定精度，該方法最終誤差不到10″。因此，坐標北改正子午線收斂角定北的精度主要取決于現場實地基準點M和大致北方向點N的坐標方位角精度，點M與點N間距離越長，該精度越高。

綜上所述，兩種真北定向方法中，坐標北改正子午線收斂角進行定北的誤差來源更少，且實地操作更簡單，實際情況下采用該方法精度也更高，采用陀螺儀進行定北需要在實地花更長的時間，通常需要至少半天的時間，且高精度陀螺儀價格昂貴，在國內并未普及使用。

4 結 論

(1)進行真北定向常用的方法主要有兩種，一種是采用陀螺儀進行真北定向，另一種是對坐標北改正子午線收斂角進行真北定向，根據目前陀螺儀及全站儀的精度及實際操作情況，采用坐標北改正子午線收斂角的方法誤差源更少、實地真北標定操作更簡單，精度也更高。

(2)采用陀螺儀進行真北定向的精度主要與陀螺儀自身尋北精度和儀器常數測定精度有關，目前機械式陀螺儀尋北精度大多在5″～20″，既要在已知邊上測定儀器常數，又要在待測邊上尋北定向，外業作業時間長，且穩定的高精度陀螺儀價格昂貴，鮮有單位使用；儀器常數測定精度取決于已知控制邊的精度，控制點絕對坐標精度越高，點位之間距離越長，儀器常數測定精度越高。

(3)采用坐標北改正子午線收斂角進行真北定向的誤差來源主要有利用邊的坐標方位角精度以及待測基準點處子午線收斂角精度，兩項誤差均與坐標測定的精度有關，坐標可利用周圍已有高精度控制點或者采用CORS等方法測定，利用邊的距離越長，真北標定精度越高。